벡터와 공간 전체 연습문제

541.APEX · 10.6절 · 31번대학 수준우리말 번역

점 $Q$ 가 평면 위에 있으면 거리 공식이 점과 평면 사이의 거리를 올바르게 $0$ 으로 준다는 것을 보이세요.

영어 원문 보기

Show why if the point $Q$ lies in a plane, then the distance formula correctly gives the distance from the point to the plane as $0$ .

정답·풀이 보기

$P$ 가 평면 위의 임의의 점이고 $Q$ 도 평면 위에 있으면, $\overrightarrow{PQ}$ 는 평면과 평행하고 법선벡터 $\vec n$ 과 수직이다. 따라서 $\vec n\cdot \overrightarrow{PQ}=0$ 이므로 거리는 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $P$ is any point in the plane, and $Q$ is also in the plane, then $\overrightarrow{PQ}$ lies parallel to the plane and is orthogonal to $\vec n$ , the normal vector. Thus $\vec n\cdot \overrightarrow{PQ}=0$ , giving the distance as 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 14번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

542.APEX · 11.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서 $\left\|\vec r(t)\right\|$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ .

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find $\left\|\vec r(t)\right\|$ .

$\vec r(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ .

정답·풀이 보기

$\left\|\vec r(t)\right\| = \sqrt{t^2+t^4} = |t|\sqrt{t^2+1}$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec r(t)\right\| = \sqrt{t^2+t^4} = |t|\sqrt{t^2+1}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 13번

# 벡터함수와 공간곡선계산자동 분류

543.APEX · 11.1절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서 $\left\|\vec r(t)\right\|$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,3\sin t\right\rangle$ .

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find $\left\|\vec r(t)\right\|$ .

$\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,3\sin t\right\rangle$ .

정답·풀이 보기

$\left\|\vec r(t)\right\| = \sqrt{25\cos^2t+9\sin^2 t}$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec r(t)\right\| = \sqrt{25\cos^2t+9\sin^2 t}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 29번

# 벡터함수와 공간곡선계산자동 분류

544.APEX · 11.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서 $\left\|\vec r(t)\right\|$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 2\cos t,2\sin t,t\right\rangle$ .

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find $\left\|\vec r(t)\right\|$ .

$\vec r(t) = \left\langle 2\cos t,2\sin t,t\right\rangle$ .

정답·풀이 보기

$\left\|\vec r(t)\right\| = \sqrt{4\cos^2t+4\sin^2 t+t^2} = \sqrt{t^2+4}$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec r(t)\right\| = \sqrt{4\cos^2t+4\sin^2 t+t^2} = \sqrt{t^2+4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 3번

# 벡터함수와 공간곡선계산자동 분류

545.APEX · 11.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서 $\left\|\vec r(t)\right\|$ 를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle \cos t,t,t^2\right\rangle$ .

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find $\left\|\vec r(t)\right\|$ .

$\vec r(t) = \left\langle \cos t,t,t^2\right\rangle$ .

정답·풀이 보기

$\left\|\vec r(t)\right\| = \sqrt{\cos^2t+t^2+t^4}$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec r(t)\right\| = \sqrt{\cos^2t+t^2+t^4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 11번

# 벡터함수와 공간곡선계산자동 분류

546.APEX · 11.1절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서, 주어진 구간에서 $\vec r(t)$ 의 평균변화율을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ , 구간 $[-2,2]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find the average rate of change of $\vec r(t)$ on the given interval.

$\vec r(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ on $[-2,2]$ .

정답·풀이 보기

$\left\langle 1,0\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\langle 1,0\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 25번

# 벡터함수와 공간곡선계산자동 분류

547.APEX · 11.1절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 구간에서 $\vec r(t)$ 의 평균변화율을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t,t+\sin t\right\rangle$ , 구간 $[0,2\pi]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find the average rate of change of $\vec r(t)$ on the given interval.

$\vec r(t) = \left\langle t,t+\sin t\right\rangle$ on $[0,2\pi]$ .

정답·풀이 보기

$\left\langle 1,1\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\langle 1,1\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 29번

# 벡터함수와 공간곡선계산자동 분류

548.APEX · 11.1절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 구간에서 $\vec r(t)$ 의 평균변화율을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t,2\sin t,t\right\rangle$ , 구간 $[0,2\pi]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find the average rate of change of $\vec r(t)$ on the given interval.

$\vec r(t) = \left\langle 3\cos t,2\sin t,t\right\rangle$ on $[0,2\pi]$ .

정답·풀이 보기

$\left\langle 0,0,1\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\langle 0,0,1\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 13번

# 벡터함수와 공간곡선계산자동 분류

549.APEX · 11.1절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 구간에서 $\vec r(t)$ 의 평균변화율을 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle t,t^2,t^3\right\rangle$ , 구간 $[-1,3]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find the average rate of change of $\vec r(t)$ on the given interval.

$\vec r(t) = \left\langle t,t^2,t^3\right\rangle$ on $[-1,3]$ .

정답·풀이 보기

$\left\langle 1,2,7\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\langle 1,2,7\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 35번

# 벡터함수와 공간곡선계산자동 분류

550.APEX · 11.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 주어진 극한의 값을 구하세요.

$\displaystyle \lim_{t\to 5} \left\langle 2t+1,3t^2-1,\sin t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, evaluate the given limit.

$\displaystyle \lim_{t\to 5} \left\langle 2t+1,3t^2-1,\sin t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\left\langle 11,74,\sin 5\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\langle 11,74,\sin 5\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 30번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

551.APEX · 11.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 주어진 극한의 값을 구하세요.

$\displaystyle \lim_{t\to 3} \left\langle e^t,\frac{t^2-9}{t+3}\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, evaluate the given limit.

$\displaystyle \lim_{t\to 3} \left\langle e^t,\frac{t^2-9}{t+3}\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\left\langle e^3,0\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\langle e^3,0\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 11번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

552.APEX · 11.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 주어진 극한의 값을 구하세요.

$\displaystyle \lim_{t\to 0} \left\langle \frac{t}{\sin t}, (1+t)^{\frac1t}\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, evaluate the given limit.

$\displaystyle \lim_{t\to 0} \left\langle \frac{t}{\sin t}, (1+t)^{\frac1t}\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\left\langle 1,e\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\langle 1,e\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3장 복습 · 10번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

553.APEX · 11.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 주어진 극한의 값을 구하세요.

$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{\vec r(t+h)-\vec r(t)}{h}$ , 여기서 $\vec r(t) = \left\langle t^2,t,1\right\rangle$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, evaluate the given limit.

$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{\vec r(t+h)-\vec r(t)}{h}$ , where $\vec r(t) = \left\langle t^2,t,1\right\rangle$ .

정답·풀이 보기

$\left\langle 2t,1,0\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\langle 2t,1,0\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 19번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

554.APEX · 11.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–10에서 $\vec r(t)$ 가 연속인 구간을 찾으세요.

$\vec r(t) = \left\langle t^2,1/t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 9–10, identify the interval(s) on which $\vec r(t)$ is continuous.

$\vec r(t) = \left\langle t^2,1/t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$(-\infty,0) \bigcup (0,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

$(-\infty,0) \bigcup (0,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 27번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

555.APEX · 11.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–10에서 $\vec r(t)$ 가 연속인 구간을 찾으세요.

$\vec r(t) = \left\langle \cos t, e^t, \ln t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 9–10, identify the interval(s) on which $\vec r(t)$ is continuous.

$\vec r(t) = \left\langle \cos t, e^t, \ln t\right\rangle$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(0,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

$(0,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 33번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

556.APEX · 11.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$\vec r(t) = \left\langle \cos t, e^t, \ln t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, find the derivative of the given function.

$\vec r(t) = \left\langle \cos t, e^t, \ln t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec r\,'(t) = \left\langle -\sin t, e^t, 1/t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r\,'(t) = \left\langle -\sin t, e^t, 1/t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 59번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

557.APEX · 11.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \frac 1t, \frac {2t-1}{3t+1}, \tan t\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, find the derivative of the given function.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \frac 1t, \frac {2t-1}{3t+1}, \tan t\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec r\,'(t) = \left\langle -1/t^2, 5/(3t+1)^2, \sec^2 t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r\,'(t) = \left\langle -1/t^2, 5/(3t+1)^2, \sec^2 t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 41번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

558.APEX · 11.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = (t^2)\left\langle \sin t, 2t+5\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, find the derivative of the given function.

$\displaystyle \vec r(t) = (t^2)\left\langle \sin t, 2t+5\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec r\,'(t) = (2t)\left\langle \sin t,2t+5\right\rangle + (t^2) \left\langle \cos t, 2\right\rangle = \left\langle 2t\sin t + t^2\cos t, 6t^2+10t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r\,'(t) = (2t)\left\langle \sin t,2t+5\right\rangle + (t^2) \left\langle \cos t, 2\right\rangle = \left\langle 2t\sin t + t^2\cos t, 6t^2+10t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 35번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

559.APEX · 11.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$\displaystyle r(t) = \left\langle t^2+1, t-1\right\rangle \cdot \left\langle \sin t, 2t+5\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, find the derivative of the given function.

$\displaystyle r(t) = \left\langle t^2+1, t-1\right\rangle \cdot \left\langle \sin t, 2t+5\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec r\,'(t) = \left\langle 2t,1\right\rangle \cdot \left\langle \sin t,2t+5\right\rangle + \left\langle t^2+1,t-1\right\rangle \cdot\left\langle \cos t, 2\right\rangle =$

$(t^2+1)\cos t+2t\sin t + 4t+3$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r\,'(t) = \left\langle 2t,1\right\rangle \cdot \left\langle \sin t,2t+5\right\rangle + \left\langle t^2+1,t-1\right\rangle \cdot\left\langle \cos t, 2\right\rangle =$

$(t^2+1)\cos t+2t\sin t + 4t+3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 22번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

560.APEX · 11.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2+1, t-1,1\right\rangle \times \left\langle \sin t, 2t+5,1\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, find the derivative of the given function.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2+1, t-1,1\right\rangle \times \left\langle \sin t, 2t+5,1\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec r\,'(t) = \left\langle 2t,1,0\right\rangle \times \left\langle \sin t,2t+5,1\right\rangle + \left\langle t^2+1,t-1,1\right\rangle \times\left\langle \cos t, 2,0\right\rangle =$

$\left\langle -1, \cos t - 2t, 6t^2+10t+2+\cos t - \sin t - t\cos t \right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r\,'(t) = \left\langle 2t,1,0\right\rangle \times \left\langle \sin t,2t+5,1\right\rangle + \left\langle t^2+1,t-1,1\right\rangle \times\left\langle \cos t, 2,0\right\rangle =$

$\left\langle -1, \cos t - 2t, 6t^2+10t+2+\cos t - \sin t - t\cos t \right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 25번

# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류

벡터와 공간 전체 문제