빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

외적

외적으로 수직인 벡터, 평행사변형 넓이, 평행육면체 부피, 토크를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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103문제 · 3 / 6쪽

41.OpenStax 3권 · 2.4절 · 41번대학 수준우리말 번역

영벡터가 아닌 벡터 u,v, 그리고 w\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{w} 중 하나가 나머지 두 벡터의 일차결합일 때, 이 벡터들은 일차종속이라고 한다. 예를 들어, 0이 아닌 두 실수 α\alpha 와 β\beta 가 존재하여 w=αu+βv\text{w}=\alpha \text{u}+\beta \text{v} 이다. 그렇지 않으면 이 벡터들을 일차독립이라고 한다. u,v, 그리고 w\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{w} 가 한 평면 위에 있을 필요충분조건은 이 벡터들이 일차종속인 것임을 보이세요.

영어 원문 보기

Nonzero vectors u,v, and w\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{w} are said to be linearly dependent if one of the vectors is a linear combination of the other two. For instance, there exist two nonzero real numbers α\alpha and β\beta such that w=αu+βv.\text{w}=\alpha \text{u}+\beta \text{v}. Otherwise, the vectors are called linearly independent. Show that u,v, and w\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{w} are coplanar if and only if they are linear dependent.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 19번
# 외적증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
42.OpenStax 3권 · 2.4절 · 42번대학 수준우리말 번역

벡터 u=⟨1,4,−7⟩,\text{u}=\langle 1,4,-7\rangle , v=⟨2,−1,4⟩,\text{v}=\langle 2,-1,4\rangle , w=⟨0,−9,18⟩,\text{w}=\langle 0,-9,18\rangle , p=⟨0,−9,17⟩\text{p}=\langle 0,-9,17\rangle 을 생각하자.

a. 스칼라 삼중곱을 이용하여 u,v, 그리고 w\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{w} 가 한 평면 위에 있음을 보이세요. b. w=αu+βv\text{w}=\alpha \text{u}+\beta \text{v} 를 만족하는 0이 아닌 두 실수 α\alpha 와 β\beta 가 존재한다는 정의를 이용하여 u,v, 그리고 w\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{w} 가 한 평면 위에 있음을 보이세요. c. u,v, 그리고 p\text{u},\text{v},\,\text{그리고}\,\text{p} 가 일차독립임을 보이세요. 즉, 어느 벡터도 나머지 두 벡터의 일차결합이 아님을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider vectors u=⟨1,4,−7⟩,\text{u}=\langle 1,4,-7\rangle , v=⟨2,−1,4⟩,\text{v}=\langle 2,-1,4\rangle , w=⟨0,−9,18⟩,\text{w}=\langle 0,-9,18\rangle , and p=⟨0,−9,17⟩.\text{p}=\langle 0,-9,17\rangle .

a. Show that u,v, and w\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{w} are coplanar by using their triple scalar product b. Show that u,v, and w\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{w} are coplanar, using the definition that there exist two nonzero real numbers α\alpha and β\beta such that w=αu+βv.\text{w}=\alpha \text{u}+\beta \text{v}. c. Show that u,v, and p\text{u},\text{v},\,\text{and}\,\text{p} are linearly independent—that is, none of the vectors is a linear combination of the other two.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 7번
# 외적증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
43.OpenStax 3권 · 2.4절 · 43번대학 수준우리말 번역

점 A(0,0,2),A(0,0,2), B(1,0,2),B(1,0,2), C(1,1,2),C(1,1,2), D(0,1,2)D(0,1,2) 를 생각하세요. 벡터 AB⃗,\vec{AB}, AC⃗,\vec{AC}, AD⃗\vec{AD} 는 일차종속인지(즉, 이 벡터 중 하나가 나머지 두 벡터의 일차결합인지) 판단하세요.

영어 원문 보기

Consider points A(0,0,2),A(0,0,2), B(1,0,2),B(1,0,2), C(1,1,2),C(1,1,2), and D(0,1,2).D(0,1,2). Are vectors AB⃗,\vec{AB}, AC⃗,\vec{AC}, and AD⃗\vec{AD} linearly dependent (that is, one of the vectors is a linear combination of the other two)?

정답·풀이 보기

예, AD⃗=αAB⃗+βAC⃗\vec{AD}=\alpha \vec{AB}+\beta \vec{AC} 이고 여기서 α=−1\alpha =-1 이고 β=1\beta =1 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes, AD⃗=αAB⃗+βAC⃗,\vec{AD}=\alpha \vec{AB}+\beta \vec{AC}, where α=−1\alpha =-1 and β=1.\beta =1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 44번
# 외적계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
44.OpenStax 3권 · 2.4절 · 44번대학 수준우리말 번역

벡터 i+j,\text{i}+\text{j}, i−j,\text{i}-\text{j}, i+j+k\text{i}+\text{j}+\text{k} 가 일차독립임을, 즉 i+j+k=α(i+j)+β(i−j)\text{i}+\text{j}+\text{k}=\alpha (\text{i}+\text{j})+\beta (\text{i}-\text{j}) 를 만족하는 0이 아닌 두 실수 α\alpha 와 β\beta 가 존재하지 않음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that vectors i+j,\text{i}+\text{j}, i−j,\text{i}-\text{j}, and i+j+k\text{i}+\text{j}+\text{k} are linearly independent—that is, there do not exist two nonzero real numbers α\alpha and β\beta such that i+j+k=α(i+j)+β(i−j).\text{i}+\text{j}+\text{k}=\alpha (\text{i}+\text{j})+\beta (\text{i}-\text{j}).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 59번
# 외적증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
45.OpenStax 3권 · 2.4절 · 45번대학 수준우리말 번역

u=⟨u1,u2⟩\text{u}=\langle {u}_{1},{u}_{2}\rangle 와 v=⟨v1,v2⟩\text{v}=\langle {v}_{1},{v}_{2}\rangle 를 이차원 벡터라 하자. 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 의 외적은 정의되지 않는다. 그러나 두 벡터를 각각 삼차원 벡터 u~=⟨u1,u2,0⟩\tilde{\text{u}}=\langle {u}_{1},{u}_{2},0\rangle 와 v~=⟨v1,v2,0⟩\tilde{\text{v}}=\langle {v}_{1},{v}_{2},0\rangle 로 생각하면, 이 경우에는 u~\tilde{\text{u}} 와 v~\tilde{\text{v}} 의 외적을 정의할 수 있다. 특히 행렬식 표기로, u~\tilde{\text{u}} 와 v~\tilde{\text{v}} 의 외적은 다음과 같다.

u~ × v~=∣ijku1u20v1v20∣.\tilde{\text{u}}\,\times \,\tilde{\text{v}}=|\begin{array}{ccc}\text{i} & \text{j} & \text{k} \\ {u}_{1} & {u}_{2} & 0 \\ {v}_{1} & {v}_{2} & 0\end{array}|.

이 결과를 이용하여 (icos⁡ θ+jsin⁡ θ) × (isinθ−jcosθ)(\text{i}\cos \,\theta +\text{j}\sin \,\theta )\,\times \,(\text{i}sin\theta -\text{j}cos\theta ) 의 값을 구하세요. 여기서 θ\theta 는 실수이다.

영어 원문 보기

Let u=⟨u1,u2⟩\text{u}=\langle {u}_{1},{u}_{2}\rangle and v=⟨v1,v2⟩\text{v}=\langle {v}_{1},{v}_{2}\rangle be two-dimensional vectors. The cross product of vectors u\text{u} and v\text{v} is not defined. However, if the vectors are regarded as the three-dimensional vectors u~=⟨u1,u2,0⟩\tilde{\text{u}}=\langle {u}_{1},{u}_{2},0\rangle and v~=⟨v1,v2,0⟩,\tilde{\text{v}}=\langle {v}_{1},{v}_{2},0\rangle , respectively, then, in this case, we can define the cross product of u~\tilde{\text{u}} and v~.\tilde{\text{v}}. In particular, in determinant notation, the cross product of u~\tilde{\text{u}} and v~\tilde{\text{v}} is given by

u~ × v~=∣ijku1u20v1v20∣.\tilde{\text{u}}\,\times \,\tilde{\text{v}}=|\begin{array}{ccc}\text{i} & \text{j} & \text{k} \\ {u}_{1} & {u}_{2} & 0 \\ {v}_{1} & {v}_{2} & 0\end{array}|.

Use this result to compute (icos⁡ θ+jsin⁡ θ) × (isinθ−jcosθ),(\text{i}\cos \,\theta +\text{j}\sin \,\theta )\,\times \,(\text{i}sin\theta -\text{j}cos\theta ), where θ\theta is a real number.

정답·풀이 보기

−k-\text{k}

원본 교재 풀이(영어)

−k-\text{k}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 43번
# 외적계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
46.OpenStax 3권 · 2.4절 · 46번대학 수준우리말 번역

점 P(2,1)P(2,1), Q(4,2)Q(4,2), R(1,2)R(1,2) 를 생각하세요.

a. 삼각형 P,Q, 그리고 RP,Q,\,\text{그리고}\,R 의 넓이를 구하세요. b. 점 RR 에서 두 점 P 와 QP\,\text{와}\,Q 를 지나는 직선까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider points P(2,1),P(2,1), Q(4,2),Q(4,2), and R(1,2).R(1,2).

a. Find the area of triangle P,Q, and R.P,Q,\,\text{and}\,R. b. Determine the distance from point RR to the line passing through P and Q.P\,\text{and}\,Q.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 39번
# 외적활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
47.OpenStax 3권 · 2.4절 · 47번대학 수준우리말 번역

x축과 점 P(1,2,4)P(1,2,4) 를 지나는 평면에 수직이고 크기가 1010 인 벡터를 구하세요.

영어 원문 보기

Determine a vector of magnitude 1010 perpendicular to the plane passing through the x-axis and point P(1,2,4).P(1,2,4).

정답·풀이 보기

⟨0,±45,∓25⟩\langle 0,\pm 4\sqrt{5},\mp 2\sqrt{5}\rangle

원본 교재 풀이(영어)

⟨0,±45,∓25⟩\langle 0,\pm 4\sqrt{5},\mp 2\sqrt{5}\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 45번
# 외적계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
48.OpenStax 3권 · 2.4절 · 48번대학 수준우리말 번역

z축과 점 A(3,1,−2)A(3,1,-2) 를 지나는 평면에 수직인 단위벡터를 구하세요.

영어 원문 보기

Determine a unit vector perpendicular to the plane passing through the z-axis and point A(3,1,−2).A(3,1,-2).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 2번
# 외적계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
49.OpenStax 3권 · 2.4절 · 49번대학 수준우리말 번역

u\text{u} 와 v\text{v} 를 두 삼차원 벡터라 하자. 외적 벡터 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 의 크기가 벡터 u\text{u} 의 크기의 kk 배라면, v\text{v} 의 크기는 kk 이상임을 보이세요. 여기서 kk 는 자연수이다.

영어 원문 보기

Consider u\text{u} and v\text{v} two three-dimensional vectors. If the magnitude of the cross product vector u × v\text{u}\,\times \,\text{v} is kk times larger than the magnitude of vector u,\text{u}, show that the magnitude of v\text{v} is greater than or equal to k,k, where kk is a natural number.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 5번
# 외적증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
50.OpenStax 3권 · 2.4절 · 50번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 영벡터가 아닌 두 벡터 u\text{u} 와 v\text{v} 의 크기를 알고 있다고 하자. 함수 f(θ)=∥u∥∥v∥sin⁡ θf(\theta )=\| \text{u}\| \| \text{v}\| \sin \,\theta 는 외적 벡터 u × v\text{u}\,\times \,\text{v} 의 크기를 나타낸다. 여기서 θ∈[0,π]\theta \in [0,\pi ] 는 u 그리고 v\text{u}\,\text{그리고}\,\text{v} 가 이루는 각이다.

a. 함수 ff 의 그래프를 그리세요. b. 함수 ff 의 최솟값과 최댓값을 구하세요. 결과를 해석하세요. c. ∥u∥=5\| \text{u}\| =5 이고 ∥v∥=2\| \text{v}\| =2 일 때, 두 벡터의 외적 벡터의 크기가 99 이면 u 그리고 v\text{u}\,\text{그리고}\,\text{v} 가 이루는 각을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Assume that the magnitudes of two nonzero vectors u\text{u} and v\text{v} are known. The function f(θ)=∥u∥∥v∥sin⁡ θf(\theta )=\| \text{u}\| \| \text{v}\| \sin \,\theta defines the magnitude of the cross product vector u × v,\text{u}\,\times \,\text{v}, where θ∈[0,π]\theta \in [0,\pi ] is the angle between u and v.\text{u}\,\text{and}\,\text{v}.

a. Graph the function f.f. b. Find the absolute minimum and maximum of function f.f. Interpret the results. c. If ∥u∥=5\| \text{u}\| =5 and ∥v∥=2,\| \text{v}\| =2, find the angle between u and v\text{u}\,\text{and}\,\text{v} if the magnitude of their cross product vector is equal to 9.9.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 43번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
51.OpenStax 3권 · 2.4절 · 51번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 벡터 u,v,그리고 w\text{u},\text{v},\text{그리고}\,\text{w} 가 주어졌습니다.

a. 삼중 스칼라곱 u⋅(v × w)\text{u}\cdot (\text{v}\,\times \,\text{w}) 를 구하세요. b. 인접한 세 모서리가 u,v,그리고 w\text{u},\text{v},\text{그리고}\,\text{w} 인 평행육면체의 부피를 구하세요.

방정식 ⟨1,1,1⟩ × w=⟨−1,−1,2⟩\langle 1,1,1\rangle \,\times \,\text{w}=\langle -1,-1,2\rangle 을 만족하는 모든 벡터 w=⟨w1,w2,w3⟩\text{w}=\langle {w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}\rangle 를 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, vectors u,v,and w\text{u},\text{v},\text{and}\,\text{w} are given.

a. Find the triple scalar product u⋅(v × w).\text{u}\cdot (\text{v}\,\times \,\text{w}). b. Find the volume of the parallelepiped with the adjacent edges u,v,and w.\text{u},\text{v},\text{and}\,\text{w}.

Find all vectors w=⟨w1,w2,w3⟩\text{w}=\langle {w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}\rangle that satisfy the equation ⟨1,1,1⟩ × w=⟨−1,−1,2⟩.\langle 1,1,1\rangle \,\times \,\text{w}=\langle -1,-1,2\rangle .

정답·풀이 보기

w=⟨w3−1,w3+1,w3⟩\text{w}=\langle {w}_{3}-1,{w}_{3}+1,{w}_{3}\rangle , 여기서 w3{w}_{3} 은 임의의 실수이다.

원본 교재 풀이(영어)

w=⟨w3−1,w3+1,w3⟩,\text{w}=\langle {w}_{3}-1,{w}_{3}+1,{w}_{3}\rangle , where w3{w}_{3} is any real number

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 53번
# 외적활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
52.OpenStax 3권 · 2.4절 · 52번대학 수준우리말 번역

방정식 w × ⟨1,0,−1⟩=⟨3,0,3⟩\text{w}\,\times \,\langle 1,0,-1\rangle =\langle 3,0,3\rangle 을 푸세요. 여기서 w=⟨w1,w2,w3⟩\text{w}=\langle {w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}\rangle 는 크기가 33 인 영벡터가 아닌 벡터이다.

영어 원문 보기

Solve the equation w × ⟨1,0,−1⟩=⟨3,0,3⟩,\text{w}\,\times \,\langle 1,0,-1\rangle =\langle 3,0,3\rangle , where w=⟨w1,w2,w3⟩\text{w}=\langle {w}_{1},{w}_{2},{w}_{3}\rangle is a nonzero vector with a magnitude of 3.3.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 29번
# 외적계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
53.OpenStax 3권 · 2.4절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 정비공이 12인치 렌치로 볼트를 돌린다. 렌치는 수평선과 30∘30^\circ 의 각을 이룬다. 정비공이 렌치 손잡이에 수직 방향으로 1010 파운드의 힘을 가한다면, 점 PP 에서의 토크의 크기는 얼마인지 구하세요(다음 그림 참조). 답을 피트파운드 단위로 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

이 그림은 오픈엔드 렌치를 나타낸 것이다. 렌치의 아래쪽 끝부분이 점 P에 있다. 렌치의 길이는 “12 인치”이다. 렌치가 P에서 그은 수평선과 이루는 각은 30도이다. 렌치의 위쪽 끝에는 아래 방향의 수직 벡터가 있고 “10 파운드”라고 표시되어 있다.

영어 원문 보기

[T] A mechanic uses a 12-in. wrench to turn a bolt. The wrench makes a 30∘30^\circ angle with the horizontal. If the mechanic applies a vertical force of 1010 lb on the wrench handle, what is the magnitude of the torque at point PP (see the following figure)? Express the answer in foot-pounds rounded to two decimal places.

This figure is the image of an open-end wrench. The lower portion of the wrench is at point P. The wrench has a length of “12 I n.” The angle the wrench makes with a horizontal line from P is 30 degrees. At the top of the wrench is a downward vertical vector labeled “10 l b.”

정답·풀이 보기

8.66 ft-lb

원본 교재 풀이(영어)

8.66 ft-lb

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 1번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
54.OpenStax 3권 · 2.4절 · 54번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 한 소년이 자전거의 6인치 크랭크가 수평선과 40∘40^\circ 의 각을 이룰 때 페달에 2020 파운드의 힘을 아래쪽으로 가하여 브레이크를 작동시킨다(다음 그림 참조). 점 PP에서의 토크를 구하세요. 답을 피트파운드 단위로 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

이 그림은 자전거의 페달, 크랭크, 체인을 나타낸 것이다. 크랭크를 따라 위쪽 페달까지의 거리는 6인치이다. 크랭크는 수평선과 40도의 각을 이루며, 이 각은 뒤쪽을 향해 잰 것이다. 위쪽 페달에는 아래 방향의 벡터가 있고 “20 파운드”라고 표시되어 있다.

영어 원문 보기

[T] A boy applies the brakes on a bicycle by applying a downward force of 2020 lb on the pedal when the 6-in. crank makes a 40∘40^\circ angle with the horizontal (see the following figure). Find the torque at point P.P. Express your answer in foot-pounds rounded to two decimal places.

This figure shows the pedals, cranks, and chain of a bicycle. The distance along the crank to the top pedal is 6 in. The angle of the crank is 40 degrees with the horizontal, measured toward the rear. The top pedal has a downward vector labeled “20 lb”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 33번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
55.OpenStax 3권 · 2.4절 · 55번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 양의 y축 방향에 놓인 길이 20-cm 렌치의 끝에 가해야 하는 힘의 크기를 구하세요. 단, 힘은 ⟨0,1,−2⟩\langle 0,1,-2\rangle 방향으로 가해지며, 원점에 있는 볼트에 100100 N·m 의 돌림힘(토크)을 만든다.

영어 원문 보기

[T] Find the magnitude of the force that needs to be applied to the end of a 20-cm wrench located on the positive direction of the y-axis if the force is applied in the direction ⟨0,1,−2⟩\langle 0,1,-2\rangle and it produces a 100100 N·m torque to the bolt located at the origin.

답 쓰고 채점
N
정답·풀이 보기

559 N

원본 교재 풀이(영어)

559 N

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 27번
# 외적계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
56.OpenStax 3권 · 2.4절 · 56번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 길이 1-ft 렌치의 끝에 35∘35^\circ 의 각도로 힘을 가하여 2020 ft-lbs 의 돌림힘(토크)을 만들려면, 필요한 힘의 크기는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] What is the magnitude of the force required to be applied to the end of a 1-ft wrench at an angle of 35∘35^\circ to produce a torque of 2020 ft-lbs?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 1번
# 외적계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
57.OpenStax 3권 · 2.4절 · 57번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 전하량이 1.6 × 10−19C1.6\,\times \,{10}^{-19}\text{C} (쿨롱 단위)인 양성자가 자기장 B\text{B} 안에서 움직일 때 양성자에 작용하는 힘 벡터 F\text{F} 는, 속도 벡터 v\text{v} 에 대하여 F=1.6 × 10−19(v × B)\text{F}=1.6\,\times \,{10}^{-19}(\text{v}\,\times \,\text{B}) 로 주어진다(여기서 v\text{v} 는 초속 미터, B\text{B} 는 테슬라 [계산기 사용], F\text{F} 는 뉴턴 [N] 단위로 나타낸다). 자기장 B=0.3j\text{B}=0.3\text{j} 안에서 xy평면 위를 속도 v=105i+105j\text{v}={10}^{5}\text{i}+{10}^{5}\text{j} (초속 미터)로 움직이는 양성자에 작용하는 힘을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The force vector F\text{F} acting on a proton with an electric charge of 1.6 × 10−19C1.6\,\times \,{10}^{-19}\text{C} (in coulombs) moving in a magnetic field B\text{B} where the velocity vector v\text{v} is given by F=1.6 × 10−19(v × B)\text{F}=1.6\,\times \,{10}^{-19}(\text{v}\,\times \,\text{B}) (here, v\text{v} is expressed in meters per second, B\text{B} is in tesla [T], and F\text{F} is in newtons [N]). Find the force that acts on a proton that moves in the xy-plane at velocity v=105i+105j\text{v}={10}^{5}\text{i}+{10}^{5}\text{j} (in meters per second) in a magnetic field given by B=0.3j.\text{B}=0.3\text{j}.

정답·풀이 보기

F=4.8 × 10−15k N\text{F}=4.8\,\times \,{10}^{-15}\text{k}\,\text{N}

원본 교재 풀이(영어)

F=4.8 × 10−15k N\text{F}=4.8\,\times \,{10}^{-15}\text{k}\,\text{N}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 51번
# 외적활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
58.OpenStax 3권 · 2.4절 · 58번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 전하량이 1.6 × 10−19C1.6\,\times \,{10}^{-19}\text{C} 인 양성자가 자기장 B\text{B} 안에서 움직일 때, 속도 벡터 v 에 대해 양성자에 작용하는 힘 벡터 F\text{F} 는 F=1.6 × 10−19(v × B)\text{F}=1.6\,\times \,{10}^{-19}(\text{v}\,\times \,\text{B}) 로 주어집니다(여기서 v\text{v} 는 초속 미터로, B\text{B} 는 T\text{T}, 그리고 F\text{F} 는 N)\text{N}) 로 나타냅니다). 양성자에 작용하는 힘 F\text{F} 의 크기가 5.9 × 10−175.9\,\times \,{10}^{-17} N 이고, 양성자가 크기 2.4 T 인 자기장 B\text{B} 안에서 300 m/sec 의 속력으로 움직일 때, 양성자의 속도 벡터 v\text{v} 와 자기장 B\text{B} 가 이루는 각의 크기를 구하세요. 답은 도 단위로 반올림하여 정수로 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] The force vector F\text{F} acting on a proton with an electric charge of 1.6 × 10−19C1.6\,\times \,{10}^{-19}\text{C} moving in a magnetic field B\text{B} where the velocity vector v is given by F=1.6 × 10−19(v × B)\text{F}=1.6\,\times \,{10}^{-19}(\text{v}\,\times \,\text{B}) (here, v\text{v} is expressed in meters per second, B\text{B} in T,\text{T}, and F\text{F} in N).\text{N}). If the magnitude of force F\text{F} acting on a proton is 5.9 × 10−175.9\,\times \,{10}^{-17} N and the proton is moving at the speed of 300 m/sec in magnetic field B\text{B} of magnitude 2.4 T, find the angle between velocity vector v\text{v} of the proton and magnetic field B.\text{B}. Express the answer in degrees rounded to the nearest integer.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 5번
# 외적활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
59.OpenStax 3권 · 2.4절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 시각 t∈[0,30]t\in [0,30] 에서 입자의 위치 벡터가 r(t)=⟨cos⁡ t,sin⁡ t,2t⟩\text{r}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t,2t\rangle 라고 하자. 여기서 r\text{r} 의 성분은 센티미터 단위, 시간은 초 단위로 나타낸다. OP⃗\vec{OP} 를 11초 후 입자의 위치 벡터라 하세요.

a. tt초 후 입자의 순간 속도 벡터를 v(t)\text{v}(t), 가속도 벡터를 a(t)\text{a}(t) 라 할 때, 외적 벡터 v(t) × a(t)\text{v}(t)\,\times \,\text{a}(t) 의 방향을 갖는 단위 벡터 B(t)\text{B}(t) (종법선 단위 벡터라 한다)를 구하세요. b. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여, 입자의 경로와 함께 점 PP 에서 시작하는 벡터 v(1),\text{v}(1), a(1),\text{a}(1), B(1)\text{B}(1) 을 시각화하세요.

영어 원문 보기

[T] Consider r(t)=⟨cos⁡ t,sin⁡ t,2t⟩\text{r}(t)=\langle \cos \,t,\sin \,t,2t\rangle the position vector of a particle at time t∈[0,30],t\in [0,30], where the components of r\text{r} are expressed in centimeters and time in seconds. Let OP⃗\vec{OP} be the position vector of the particle after 11 sec.

a. Determine unit vector B(t)\text{B}(t) (called the binormal unit vector) that has the direction of cross product vector v(t) × a(t),\text{v}(t)\,\times \,\text{a}(t), where v(t)\text{v}(t) and a(t)\text{a}(t) are the instantaneous velocity vector and, respectively, the acceleration vector of the particle after tt seconds. b. Use a CAS to visualize vectors v(1),\text{v}(1), a(1),\text{a}(1), and B(1)\text{B}(1) as vectors starting at point PP along with the path of the particle.

정답·풀이 보기

a. B(t)=⟨2 sin⁡ t5,−2 cos⁡ t5,15⟩;\text{B}(t)=\langle \frac{2\,\sin \,t}{\sqrt{5}},-\frac{2\,\cos \,t}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\rangle ;

b. 이 그림은 3차원 좌표계의 제1팔분공간을 나타낸다. 증가하는 곡선이 그려져 있다. 곡선 위에 "P"라고 표시된 점이 있다. 점 P에는 곡선에 접하는 접선 벡터가 있으며 "v(1)"이라고 표시되어 있다. 또한 점 P에서 곡선의 안쪽을 향하는 벡터가 있으며 "a(1)"이라고 표시되어 있다. 마지막으로, 점 P에서 z축을 향하는 벡터가 있으며 "B(1)"이라고 표시되어 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. B(t)=⟨2 sin⁡ t5,−2 cos⁡ t5,15⟩;\text{B}(t)=\langle \frac{2\,\sin \,t}{\sqrt{5}},-\frac{2\,\cos \,t}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\rangle ;

b. This figure is the first octant of the 3-dimensional coordinate system. There is a curve sketched that is increasing. On the curve is a point labeled “P.” At P there is a tangent vector to the curve labeled “v(1).” Also from P there is a vector towards the inside of the curve labeled “a(1).” Finally, there is a vector from P labeled “B(1)” pointing towards the z-axis.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 55번
# 외적활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
60.OpenStax 3권 · 2.4절 · 60번대학 수준우리말 번역

어떤 집의 지붕에 태양 전지판이 설치되어 있다. 이 패널은 좌표(미터 단위)가 A(8,0,0),A(8,0,0), B(8,18,0),B(8,18,0), C(0,18,8),C(0,18,8), D(0,0,8)D(0,0,8) 인 점에 놓여 있다고 볼 수 있다(다음 그림 참조).

이 그림은 지붕 위에 놓인 직사각형 모양의 태양 전지판을 나타낸다. 꼭짓점에는 "A, B, C, D"라고 표시되어 있다. 또 A에서 D로 향하는 벡터가 그려져 있다. 직사각형의 아랫변을 따라 A에서 B로 향하는 또 다른 벡터가 있다.

a. 태양 전지판의 면에 수직인 벡터 n=AB⃗ × AD⃗\text{n}=\vec{AB}\,\times \,\vec{AD} 를 구하세요. 답은 표준 단위벡터를 사용하여 나타내세요. b. 하루 중 특정 시각에 단위벡터 s=13i+13j+13k\text{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{k} 가 태양을 향하고, 태양 에너지의 흐름이 F=900s\text{F}=900\text{s} (단위: 제곱미터당 와트 [W/m2{\text{W/m}}^{2}])라고 하자. 벡터 F\text{F} 와 n\text{n} 의 내적으로 주어지는, 패널이 생산할 수 있는 전력의 예상량(와트 단위)을 구하세요. c. 태양 전지판에 대한 태양의 고도각을 구하세요. 답은 도 단위로 반올림하여 정수로 나타내세요. (힌트: 벡터 n\text{n} 과 s\text{s} 사이의 각과 고도각은 서로 여각이다.)

영어 원문 보기

A solar panel is mounted on the roof of a house. The panel may be regarded as positioned at the points of coordinates (in meters) A(8,0,0),A(8,0,0), B(8,18,0),B(8,18,0), C(0,18,8),C(0,18,8), and D(0,0,8)D(0,0,8) (see the following figure).

This figure shows a rectangular set of solar panels on a roof. The corners are labeled “A, B, C, D.” Also there is a vector drawn from A to D. There is another vector along the bottom of the rectangle from A to B.

a. Find vector n=AB⃗ × AD⃗\text{n}=\vec{AB}\,\times \,\vec{AD} perpendicular to the surface of the solar panels. Express the answer using standard unit vectors. b. Assume unit vector s=13i+13j+13k\text{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{k} points toward the Sun at a particular time of the day and the flow of solar energy is F=900s\text{F}=900\text{s} (in watts per square meter [W/m2{\text{W/m}}^{2}]). Find the predicted amount of electrical power the panel can produce, which is given by the dot product of vectors F\text{F} and n\text{n} (expressed in watts). c. Determine the angle of elevation of the Sun above the solar panel. Express the answer in degrees rounded to the nearest whole number. (Hint: The angle between vectors n\text{n} and s\text{s} and the angle of elevation are complementary.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 39번
# 외적그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)