이차곡면과 곡면 그리기 연습문제

41.OpenStax 3권 · 2.6절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이차곡면의 방정식이 주어진다.

a. 완전제곱식을 이용하여 방정식을 표준형으로 나타내세요. b. 어떤 곡면인지 밝히세요.

${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}+6x+9=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equation of a quadric surface is given.

a. Use the method of completing the square to write the equation in standard form. b. Identify the surface.

${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}+6x+9=0$

정답·풀이 보기

a. ${(x+3)}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}=0;$ b. $(-3,0,0)$ 을 중심으로 하고 z축을 대칭축으로 하는 타원뿔

원본 교재 풀이(영어)

a. ${(x+3)}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}=0;$ b. Elliptic cone centered at $(-3,0,0),$ with the z-axis as its axis of symmetry

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 43번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

42.OpenStax 3권 · 2.6절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이차곡면의 방정식이 주어진다.

a. 완전제곱식을 이용하여 방정식을 표준형으로 나타내세요. b. 어떤 곡면인지 밝히세요.

${x}^{2}-{y}^{2}+{z}^{2}-12z+2x+37=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equation of a quadric surface is given.

a. Use the method of completing the square to write the equation in standard form. b. Identify the surface.

${x}^{2}-{y}^{2}+{z}^{2}-12z+2x+37=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 7번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

43.OpenStax 3권 · 2.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

원점을 중심으로 하고 세 점 $A(2,0,0),B(0,0,1),$ $C\left(\frac{1}{2},\sqrt{11},\frac{1}{2}\right)$ 을 지나는 타원면의 방정식을 표준형으로 쓰세요.

영어 원문 보기

Write the standard form of the equation of the ellipsoid centered at the origin that passes through points $A(2,0,0),B(0,0,1),$ and $C\left(\frac{1}{2},\sqrt{11},\frac{1}{2}\right).$

정답·풀이 보기

$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}+{z}^{2}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}+{z}^{2}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 59번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

44.OpenStax 3권 · 2.6절 · 44번대학 수준우리말 번역

점 $P(1,1,0)$ 을 중심으로 하고 세 점 $A(6,1,0),B(4,2,0)$ $C(1,2,1)$ 을 지나는 타원면의 방정식을 표준형으로 쓰세요.

영어 원문 보기

Write the standard form of the equation of the ellipsoid centered at point $P(1,1,0)$ that passes through points $A(6,1,0),B(4,2,0)$ and $C(1,2,1).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 1번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

45.OpenStax 3권 · 2.6절 · 45번대학 수준우리말 번역

타원뿔 ${x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}=0$ 과 대칭방정식 $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=z$ 로 주어진 직선의 교점을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine the intersection points of elliptic cone ${x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}=0$ with the line of symmetric equations $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=z.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(1,-1,0)$ 과 $\left(\frac{13}{3},4,\frac{5}{3}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$(1,-1,0)$ and $\left(\frac{13}{3},4,\frac{5}{3}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 47번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

46.OpenStax 3권 · 2.6절 · 46번대학 수준우리말 번역

매개변수 방정식 $x=3t,y=2t,z=19t$ 로 나타내어지는 직선과 쌍곡포물면 $z=3{x}^{2}-2{y}^{2}$ 의 교점을 구하세요. 단, $t\in \mathbb{R}.$

영어 원문 보기

Determine the intersection points of parabolic hyperboloid $z=3{x}^{2}-2{y}^{2}$ with the line of parametric equations $x=3t,y=2t,z=19t,$ where $t\in \mathbb{R}.$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 31번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

47.OpenStax 3권 · 2.6절 · 47번대학 수준우리말 번역

점 $Q(0,-1,0)$ 과 방정식이 $y=1$ 인 평면에서 같은 거리에 있는 점 $P(x,y,z)$ 로 이루어진 이차곡면의 방정식을 구하세요. 그리고 그 곡면이 무엇인지 말하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the quadric surface with points $P(x,y,z)$ that are equidistant from point $Q(0,-1,0)$ and plane of equation $y=1.$ Identify the surface.

정답·풀이 보기

${x}^{2}+{z}^{2}+4y=0$ , 타원포물면

원본 교재 풀이(영어)

${x}^{2}+{z}^{2}+4y=0,$ elliptic paraboloid

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 4번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

48.OpenStax 3권 · 2.6절 · 48번대학 수준우리말 번역

점 $Q(0,2,0)$ 과 방정식이 $y=-2$ 인 평면에서 같은 거리에 있는 점 $P(x,y,z)$ 로 이루어진 이차곡면의 방정식을 구하세요. 그리고 그 곡면이 무엇인지 말하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the quadric surface with points $P(x,y,z)$ that are equidistant from point $Q(0,2,0)$ and plane of equation $y=-2.$ Identify the surface.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 29번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

49.OpenStax 3권 · 2.6절 · 49번대학 수준우리말 번역

포물면 반사경의 표면이 방정식 $400z={x}^{2}+{y}^{2}$ 으로 나타내어질 때, 이 반사경의 초점을 구하세요.

영어 원문 보기

If the surface of a parabolic reflector is described by equation $400z={x}^{2}+{y}^{2},$ find the focal point of the reflector.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(0,0,100)$

원본 교재 풀이(영어)

$(0,0,100)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 53번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

50.OpenStax 3권 · 2.6절 · 50번대학 수준우리말 번역

방정식 $z=20{x}^{2}+20{y}^{2}$ 으로 나타내어지는 포물면 반사경을 생각하세요. 이 반사경의 초점을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the parabolic reflector described by equation $z=20{x}^{2}+20{y}^{2}.$ Find its focal point.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 10번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

51.OpenStax 3권 · 2.6절 · 51번대학 수준우리말 번역

이차곡면 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+2xy+2xz+2yz+x+y+z=0$ 이 두 평행 평면으로 정리됨을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that quadric surface ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+2xy+2xz+2yz+x+y+z=0$ reduces to two parallel planes.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 35번

# 이차곡면과 곡면 그리기증명·논술자동 분류

52.OpenStax 3권 · 2.6절 · 52번대학 수준우리말 번역

이차곡면 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2xy-2xz+2yz-1=0$ 이 두 평행 평면으로 정리됨을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that quadric surface ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2xy-2xz+2yz-1=0$ reduces to two parallel planes passing.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 57번

# 이차곡면과 곡면 그리기증명·논술자동 분류

53.OpenStax 3권 · 2.6절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 원기둥 ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=1$ 과 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4$ 의 교선을 비비아니 곡선이라고 한다.

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 구 하나를 직원기둥 하나가 세로로 관통하고 있다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 있다.

a. 두 곡면의 방정식으로 이루어진 연립방정식을 풀어 교선의 방정식을 구하세요. (힌트: $x$ 와 $y$ 를 $z$ 에 대한 식으로 나타내세요 $z.)$ b. 컴퓨터 대수 시스템을 이용하여 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4$ 위에 있는 교선을 시각화하세요.

영어 원문 보기

[T] The intersection between cylinder ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=1$ and sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4$ is called a Viviani curve.

This figure is a surface inside of a box. It is a sphere with a right circular cylinder through the sphere vertically. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

a. Solve the system consisting of the equations of the surfaces to find the equations of the intersection curve. (Hint: Find $x$ and $y$ in terms of $z.)$ b. Use a computer algebra system (CAS) to visualize the intersection curve on sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4.$

정답·풀이 보기

a. $x=2-\frac{{z}^{2}}{2},y=\pm \frac{z}{2}\sqrt{4-{z}^{2}}$ , 단, $z\in [-2,2];$

b.

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 구의 옆면에 8자 모양의 곡선이 그려져 있다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $x=2-\frac{{z}^{2}}{2},y=\pm \frac{z}{2}\sqrt{4-{z}^{2}},$ where $z\in [-2,2];$

b.

This figure is a surface inside of a box. It is a sphere with a figure eight curve on the side of the sphere. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 41번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석자동 분류

54.OpenStax 3권 · 2.6절 · 54번대학 수준우리말 번역

한 겹 쌍곡면 $25{x}^{2}+25{y}^{2}-{z}^{2}=25$ 와 타원뿔 $-25{x}^{2}+75{y}^{2}+{z}^{2}=0$ 이 두 곡면의 교선과 함께 다음 그림에 나타나 있습니다. 교선이 어떤 곡선인지 밝히고 교선의 방정식을 구하세요. (힌트: 두 곡면의 방정식으로 이루어진 연립방정식에서 y 를 구하세요.)

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 쌍곡포물면과 두 겹 쌍곡선이 서로 만나고 있다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 매겨져 있다.

영어 원문 보기

Hyperboloid of one sheet $25{x}^{2}+25{y}^{2}-{z}^{2}=25$ and elliptic cone $-25{x}^{2}+75{y}^{2}+{z}^{2}=0$ are represented in the following figure along with their intersection curves. Identify the intersection curves and find their equations (Hint: Find y from the system consisting of the equations of the surfaces.)

This figure is a surface inside of a box. It is a hyperbolic paraboloid with a hyperbola of two sheets intersecting. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 17번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석자동 분류

55.OpenStax 3권 · 2.6절 · 55번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] CAS를 사용하여 원기둥 $9{x}^{2}+4{y}^{2}=18$ 과 타원면 $36{x}^{2}+16{y}^{2}+9{z}^{2}=144$ 의 교선을 그리고, 그 교선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Use a CAS to create the intersection between cylinder $9{x}^{2}+4{y}^{2}=18$ and ellipsoid $36{x}^{2}+16{y}^{2}+9{z}^{2}=144,$ and find the equations of the intersection curves.

정답·풀이 보기

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 속이 찬 타원체를 타원기둥이 세로로 가로지르고 있다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 있다.

평면 $z=\pm 2\sqrt{2}$ 에서 방정식이 $\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{2}}=1$ 인 두 타원

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a surface inside of a box. It is a solid oval with an elliptical cylinder vertically intersecting. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

two ellipses of equations $\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{2}}=1$ in planes $z=\pm 2\sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 49번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

56.OpenStax 3권 · 2.6절 · 56번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 회전타원면은 두 반축의 길이가 같은 타원면이다. 예를 들어, z축을 대칭축으로 하는 회전타원면의 방정식은 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$ 이다. 여기서 $a$ 와 $c$ 는 양의 실수이다. 회전타원면은 $c<a$ 이면 납작한 회전타원면, $c>a$ 이면 길쭉한 회전타원면이라고 한다.

a. 눈의 각막은 눈을 축으로 하는 길쭉한 회전타원면으로 근사되며, $a=8.7\,\text{mm 그리고}\,c=9.6\,\text{mm}$ 이다. 각막을 나타내는 회전타원면의 방정식을 쓰고 그 곡면을 그리세요. b. 길쭉한 회전타원면 모양의 물체의 예를 두 가지 드세요.

영어 원문 보기

[T] A spheroid is an ellipsoid with two equal semiaxes. For instance, the equation of a spheroid with the z-axis as its axis of symmetry is given by $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1,$ where $a$ and $c$ are positive real numbers. The spheroid is called oblate if $c<a,$ and prolate for $c>a.$

a. The eye cornea is approximated as a prolate spheroid with an axis that is the eye, where $a=8.7\,\text{mm and}\,c=9.6\,\text{mm}.$ Write the equation of the spheroid that models the cornea and sketch the surface. b. Give two examples of objects with prolate spheroid shapes.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 43번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석자동 분류

57.OpenStax 3권 · 2.6절 · 57번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 지도 제작에서는 지구를 구가 아니라 납작한 회전타원면으로 근사한다. 적도와 극에서의 반지름은 각각 약 $3963$ mi, $3950$ mi 이다.

a. 지구의 모양을 나타내는 타원면의 방정식을 표준형으로 쓰세요. 지구의 중심은 원점에 있고, 평면 $z=0$ 이 만드는 자취가 적도에 해당한다고 가정하세요. b. 그래프를 그리세요. c. xy평면과 평행한 평면 $z=1000$ 과 이 곡면의 교선 곡선의 방정식을 구하세요. 이 교선 곡선을 위도선이라고 한다. d. z축을 지나는 평면 $x+y=0$ 과 이 곡면의 교선 곡선의 방정식을 구하세요. 이 교선 곡선을 자오선이라고 한다.

영어 원문 보기

[T] In cartography, Earth is approximated by an oblate spheroid rather than a sphere. The radii at the equator and poles are approximately $3963$ mi and $3950$ mi, respectively.

a. Write the equation in standard form of the ellipsoid that represents the shape of Earth. Assume the center of Earth is at the origin and that the trace formed by plane $z=0$ corresponds to the equator. b. Sketch the graph. c. Find an equation of the intersection curve of the surface with plane $z=1000$ that is parallel to the xy-plane. The intersection curve is called a parallel. d. Find an equation of the intersection curve of the surface with plane $x+y=0$ that passes through the z-axis. The intersection curve is called a meridian.

정답·풀이 보기

a. $\frac{{x}^{2}}{{3963}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{3963}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{3950}^{2}}=1;$

b.

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 구 모양이다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 매겨져 있다.

;

c. 교선 곡선은 방정식 $\frac{{x}^{2}}{{3963}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{3963}^{2}}=\frac{(2950)(4950)}{{3950}^{2}}$ 의 타원이며, 교선은 타원이다.; d. 교선 곡선은 방정식 $\frac{2{y}^{2}}{{3963}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{3950}^{2}}=1$ 의 타원이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{{x}^{2}}{{3963}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{3963}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{3950}^{2}}=1;$

b.

This figure is a surface inside of a box. It is a sphere. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

;

c. The intersection curve is the ellipse of equation $\frac{{x}^{2}}{{3963}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{3963}^{2}}=\frac{(2950)(4950)}{{3950}^{2}},$ and the intersection is an ellipse.; d. The intersection curve is the ellipse of equation $\frac{2{y}^{2}}{{3963}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{3950}^{2}}=1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 55번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석자동 분류

58.OpenStax 3권 · 2.6절 · 58번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 윙윙 소리 나는 마술 자석(또는 “방울뱀 알”) 한 세트에는 반짝이고 매끄럽게 연마된, 매우 강력한 회전타원체 모양의 자석 두 개가 들어 있으며, 어린이 장난감으로 잘 알려져 있다. 각 자석은 길이가 $1.625$ 인치이고 가운데 부분의 폭이 $0.5$ 인치이다. 이 자석들을 공중으로 던지면 서로 끌어당기면서 윙윙 소리가 난다.

a. 자석 하나의 모양을 나타내는, 원점을 중심으로 하는 길쭉한 회전타원체의 방정식을 쓰세요. b. 윙윙 소리 나는 마술 자석의 모양을 나타내는 길쭉한 회전타원체들의 방정식을 쓰세요. CAS를 사용하여 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] A set of buzzing stunt magnets (or “rattlesnake eggs”) includes two sparkling, polished, superstrong spheroid-shaped magnets well-known for children’s entertainment. Each magnet is $1.625$ in. long and $0.5$ in. wide at the middle. While tossing them into the air, they create a buzzing sound as they attract each other.

a. Write the equation of the prolate spheroid centered at the origin that describes the shape of one of the magnets. b. Write the equations of the prolate spheroids that model the shape of the buzzing stunt magnets. Use a CAS to create the graphs.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 47번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

59.OpenStax 3권 · 2.6절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 하트 모양의 곡면이 방정식 ${\left({x}^{2}+\frac{9}{4}{y}^{2}+{z}^{2}-1\right)}^{3}-{x}^{2}{z}^{3}-\frac{9}{80}{y}^{2}{z}^{3}=0$ 으로 주어져 있다.

a. CAS를 사용하여 이 모양을 나타내는 곡면의 그래프를 그리세요. b. 하트 모양 곡면이 xz평면과 만나서 생기는 자취를 구하고 그 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] A heart-shaped surface is given by equation ${\left({x}^{2}+\frac{9}{4}{y}^{2}+{z}^{2}-1\right)}^{3}-{x}^{2}{z}^{3}-\frac{9}{80}{y}^{2}{z}^{3}=0.$

a. Use a CAS to graph the surface that models this shape. b. Determine and sketch the trace of the heart-shaped surface on the xz-plane.

정답·풀이 보기

a.

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 곡면은 하트 모양이다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 있다.

b. 교선은 ${({x}^{2}+{z}^{2}-1)}^{3}-{x}^{2}{z}^{3}=0$ 이다.

이 그림은 직교좌표계 위의 곡선이다. y축을 중심으로 한 하트 모양이다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

This figure is a surface inside of a box. It is a heart. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

b. The intersection curve is ${({x}^{2}+{z}^{2}-1)}^{3}-{x}^{2}{z}^{3}=0.$

This figure is a curve on a rectangular coordinate system. It is the shape of a heart centered about the y-axis.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 45번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석자동 분류

60.OpenStax 3권 · 2.6절 · 60번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] z축에 대해 대칭인 고리 모양 원환면(토러스)은 위상수학에서 다루는 특별한 곡면이며, 그 방정식은 ${({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+{R}^{2}-{r}^{2})}^{2}=4{R}^{2}({x}^{2}+{y}^{2})$ 이다. 단, $R>r>0$ 이다. 수 $R$ 와 $r$ 을 각각 이 곡면의 큰 반지름, 작은 반지름이라고 한다. 다음 그림은 $R=2\,\text{이고}\,r=1$ 인 고리 모양 원환면을 나타낸 것이다.

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 도넛 모양의 원환면(토러스)이다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 매겨져 있다.

a. $R=2\,\text{이고}\,r=1$ 인 고리 모양 원환면의 방정식을 쓰고, 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 이 곡면의 그래프를 그리세요. 그 그래프를 주어진 그림과 비교하세요. b. a의 고리 모양 원환면이 xy평면 위에 만드는 자취의 방정식을 구하고, 그 자취를 그리세요. c. 고리 모양 원환면 모양인 물체의 예를 두 가지 드세요.

영어 원문 보기

[T] The ring torus symmetric about the z-axis is a special type of surface in topology and its equation is given by ${({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+{R}^{2}-{r}^{2})}^{2}=4{R}^{2}({x}^{2}+{y}^{2}),$ where $R>r>0.$ The numbers $R$ and $r$ are called are the major and minor radii, respectively, of the surface. The following figure shows a ring torus for which $R=2\,\text{and}\,r=1.$

This figure is a surface inside of a box. It is a torus, a doughnut shape. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

a. Write the equation of the ring torus with $R=2\,\text{and}\,r=1,$ and use a CAS to graph the surface. Compare the graph with the figure given. b. Determine the equation and sketch the trace of the ring torus from a. on the xy-plane. c. Give two examples of objects with ring torus shapes.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 10번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석자동 분류