빌드라인 스쿨

중학 수학 · 도형의 성질 · 22강

도형의 닮음

닮음 조건, 닮음비와 넓이·부피의 비, 평행선과 선분의 비

5:19 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Elementary Algebra 2e, 8.7절 연습문제 43 · 51 (Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/elementary-algebra-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

삼각형의 닮음 조건: 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다(SSS), 두 쌍의 대응변의 길이의 비와 그 끼인각의 크기가 같다(SAS), 두 쌍의 대응각의 크기가 같다(AA)

닮음비가 m:nm:n이면 넓이의 비는 m2:n2m^2:n^2, 부피의 비는 m3:n3m^3:n^3입니다.

삼각형 ABCABC에서 변 ABAB, ACAC 위의 점 DD, EE에 대하여 BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE}이면 AD‾:AB‾=AE‾:AC‾=DE‾:BC‾\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{AC}=\overline{DE}:\overline{BC}. 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이의 12\frac{1}{2}입니다.

연습문제

원문 · OpenStax Elementary Algebra (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 1번우리말 번역

비례식 풀기

다음 문제에서 푸세요.

x56=78\frac{x}{56}=\frac{7}{8}

영어 원문 보기

Solve Proportions

In the following exercises, solve.

x56=78\frac{x}{56}=\frac{7}{8}

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4949

원본 교재 풀이(영어)

4949

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 9번우리말 번역

비례식 풀기

다음 문제에서 푸세요.

a−8=−4248\frac{a}{-8}=\frac{-42}{48}

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77

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# 도형의 닮음계산자동 분류
2.OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 15번우리말 번역

비례식 풀기

다음 문제에서 푸세요.

cc−104=−58\frac{c}{c-104}=-\frac{5}{8}

영어 원문 보기

Solve Proportions

In the following exercises, solve.

cc−104=−58\frac{c}{c-104}=-\frac{5}{8}

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4040

원본 교재 풀이(영어)

4040

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 19번우리말 번역

비례식 풀기

다음 문제에서 푸세요.

2p+48=p+186\frac{2p+4}{8}=\frac{p+18}{6}

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3030

이 문제로 이어서 풀기
# 도형의 닮음계산자동 분류
3.OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 29번우리말 번역

재니스는 캐나다로 여행을 가려고 미국 달러 $250을 캐나다 달러로 바꾸려고 합니다. 현재 환율로 미국 $1는 캐나다 $1.01와 같습니다. 재니스는 여행을 위해 캐나다 달러를 얼마나 받게 됩니까?

영어 원문 보기

Janice is traveling to Canada and will change $250 US dollars into Canadian dollars. At the current exchange rate, $1 US is equal to $1.01 Canadian. How many Canadian dollars will she get for her trip?

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캐나다 달러
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252.5 Canadian dollars252.5\,\text{Canadian dollars}

원본 교재 풀이(영어)

252.5 Canadian dollars252.5\,\text{Canadian dollars}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 37번우리말 번역

엘리자베스는 캐나다에서 미국으로 돌아가는 중입니다. 그녀는 남은 300 캐나다 달러를 미국 달러 $230.05로 환전합니다. $1는 캐나다 달러로 얼마의 가치가 있었나요?

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캐나다 달러
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1.30 Canadian dollars1.30\,\text{Canadian dollars}

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# 도형의 닮음계산자동 분류
4.OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 43번우리말 번역

닮은 도형의 활용 문제 풀기

다음 문제에서 ΔABC\Delta ABC 는 ΔXYZ\Delta XYZ 와 닮음입니다. 표시된 변의 길이를 구하세요.

위 그림에는 두 삼각형이 있다. 큰 삼각형은 A B C로 표시되어 있다. A에서 B까지의 길이는 15이다. A에서 C까지의 길이는 b이다. B에서 C까지의 길이는 9이다. 작은 삼각형은 X Y Z로 표시되어 있다. X에서 Y까지의 길이는 10이다. X에서 Z까지의 길이는 8이다. Y에서 Z까지의 길이는 x이다.

변 b

영어 원문 보기

Solve Similar Figure Applications

In the following exercises, ΔABC\Delta ABC is similar to ΔXYZ\Delta XYZ. Find the length of the indicated side.

The above image shows two triangles. The larger triangle is labeled A B C. The length from A to B is 15. The length from A to C is b. The length from B to C is 9. The smaller triangle is labeled X Y Z. The length from X to Y is 10. The length from X to Z is 8. The length from Y to Z is x.

side b

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1212

원본 교재 풀이(영어)

1212

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.7절 · 8번우리말 번역

ΔABC\Delta ABC 는 ΔXYZ\Delta XYZ 와 닮음입니다. 각 삼각형의 두 변의 길이가 주어져 있을 때, 세 번째 변의 길이를 구하세요.

위 그림은 닮은 두 삼각형을 보여 준다. 각 삼각형마다 두 변의 길이가 주어져 있다. 큰 삼각형은 A B C로 표시되어 있다. A에서 B까지의 길이는 4이다. B에서 C까지의 길이는 a이다. C에서 A까지의 길이는 3.2이다. 작은 삼각형은 X Y Z로 표시되어 있다. X에서 Y까지의 길이는 3이다. Y에서 Z까지의 길이는 4.5이다. Z에서 X까지의 길이는 y이다.

다 풀었으면 정답 확인
1단계. 문제를 읽는다. 그림을 그리고 주어진 정보를 표시한다. 그림이 주어져 있다.
2단계. 구하는 것을 파악한다. 닮은 삼각형의 변의 길이
3단계. 변수의 이름을 정한다.  a=\,a= ΔABC\Delta ABC 의 세 번째 변의 길이라 하자. y=y= ΔXYZ\Delta XYZ 의 세 번째 변의 길이
4단계. 식으로 나타낸다. 두 삼각형이 닮음이므로 대응하는 변은 비례한다.
구하는 변을 이미 아는 비와 비교하는 방정식을 세워야 한다. 변 AB = 4 가 변 XY = 3 에 대응하므로 ABXY=43\frac{AB}{XY}=\frac{4}{3} 임을 안다. 따라서 ABXY\frac{AB}{XY} 를 이용하여 구하는 변에 대한 방정식을 세운다. 대응하는 변을 정확히 짝지어야 함에 주의한다. ABXY=BCYZ=ACXZ.\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XZ}. 닮은 삼각형에서 모르는 길이 'a'와 'y'를 구하는 식이다. 큰 삼각형과 작은 삼각형의 변의 비를 비교하여, 'a'에 대해서는 AB/XY = BC/YZ, 'y'에 대해서는 AB/XY = AC/XZ로 나타낸다.
대입한다. \quad수식에서 분수 4/3이 또 다른 분수 a/4.5와 같다. 이것은 'a'가 구해야 할 미지수인 비례식을 나타낸다. \quad수식에서 비례식을 나타내며, 3분의 4가 3.2를 y로 나눈 값과 같다.
5단계. 방정식을 푼다. \quad흰 배경 위에 3a가 4에 4.5를 곱한 값과 같음을 나타내는 방정식이 '3a = 4(4.5)'로 쓰여 있다. \quad밝은 회색 배경 위에 굵은 짙은 회색 글씨로 '4y = 3(3.2)'라는 방정식이 나타나 있다.
\quad흰 배경 위에 알아보기 쉬운 평범한 글씨체로 식 'a = 6'이 나타나 있으며, 변수 a에 6이라는 값이 대입됨을 나타낸다. \quad평범한 흰 배경 위에 깔끔하고 읽기 쉬운 글씨체로 방정식 y = 2.4가 나타나 있다.
6단계. 확인한다. 43=?64.54(4.5)=?6(3)18=18✓43=?3.22.44(2.4)=?3.2(3)9.6=9.6✓\begin{array}{cccccc} \\ \\ \begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{6}{4.5} \\ 4(4.5) & \overset{?}{=} & 6(3) \\ 18 & = & 18\checkmark \end{array} & & & & & \begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & \overset{?}{=} & \frac{3.2}{2.4} \\ 4(2.4) & \overset{?}{=} & 3.2(3) \\ 9.6 & = & 9.6\checkmark \end{array}\end{array}
7단계. 답을 쓴다. ΔABC\Delta ABC 의 세 번째 변의 길이는 6이고, ΔXYZ\Delta XYZ 의 세 번째 변의 길이는 2.4이다.
이 문제로 이어서 풀기
# 도형의 닮음그래프·표 해석자동 분류

「도형의 닮음」 문제 더 풀기 (96문제)

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