중학 수학 · 문자와 식 · 10강

인수분해

Name: 중학 수학 10강 인수분해
Uploaded: 2026-10-24T15:13:40.728Z
Duration: 4 min 28 s
Description: 공통인수와 인수분해 공식

공통인수와 인수분해 공식

4:28 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Elementary Algebra 2e, 7.1절 연습문제 35 · 7.2절 연습문제 13 (Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/elementary-algebra-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것이 인수분해입니다. 먼저 공통인수를 묶습니다: $3x^2-6x=3x(x-2)$

곱셈 공식을 거꾸로 씁니다: $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$ , $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ , $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

예: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ — 곱해서 $6$ , 더해서 $-5$ 인 두 수 $-2$ , $-3$ 을 찾습니다. $2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3)$

연습문제

원문 · OpenStax Elementary Algebra (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Elementary Algebra · 7.4절 · 45번우리말 풀이

다음 식을 완전히 인수분해하세요.

$2-16y^3$

영어 원문 보기

Factor Sums and Differences of Cubes

In the following exercises, factor.

$2-16{y}^{3}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

먼저 공통인수를 묶고, 남은 식이 세제곱의 차 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 꼴인지 살펴봐요.

1
공통인수 $2$ 를 묶어요. $2-16y^3=2(1-8y^3)$ 이에요.
2
세제곱의 차로 보아요. $1=1^3$ , $8y^3=(2y)^3$ 이니까 $1-8y^3=1^3-(2y)^3$ 이에요.
3
공식을 적용해요. $a=1,\ b=2y$ 를 넣으면 $(1-2y)\bigl(1+2y+4y^2\bigr)$ 이에요.
4
확인해요. $(1-2y)(1+2y+4y^2)=1-8y^3$ 이고 $2$ 를 곱하면 처음 식이 돼요. $1+2y+4y^2$ 은 더 인수분해되지 않아요.

답

$2(1-2y)(1+2y+4y^2)$

자주 하는 실수

$a^3-b^3$ 의 둘째 인수를 완전제곱식 $a^2+2ab+b^2$ 이나 $a^2-ab+b^2$ 로 착각하기 쉬워요. 세제곱의 차이면 둘째 인수는 $a^2+ab+b^2$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$2(1-2y)(1+2y+4{y}^{2})$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 7.5절 · 16번우리말 번역

완전히 인수분해하세요: $7{y}^{4}-7$ .

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$7({y}^{2}+1)(y-1)(y+1)$

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# 인수분해계산도전

2.OpenStax Elementary Algebra · 7.1절 · 35번우리말 번역

다항식에서 최대공약수 묶어내기

다음 문제에서 각 다항식의 최대공약수를 묶어내세요.

$5{x}^{3}-15{x}^{2}+20x$

영어 원문 보기

Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial

In the following exercises, factor the greatest common factor from each polynomial.

$5{x}^{3}-15{x}^{2}+20x$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$5x({x}^{2}-3x+4)$

원본 교재 풀이(영어)

$5x({x}^{2}-3x+4)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 7.3절 · 9번우리말 번역

완전히 인수분해하세요: $10{y}^{4}+55{y}^{3}+60{y}^{2}$ .

다 풀었으면 정답 확인


	$10{y}^{4}+55{y}^{3}+60{y}^{2}$
최대공약수를 찾아 먼저 묶어 낸다.	$15{y}^{2}(2{y}^{2}+11y+12)$
삼항식을 인수분해한다.	![식 5y^2(2y^2 + 11y + 12)이 인수분해 힌트를 보여 주는 빨간 글씨와 함께 나타나 있다. 힌트에는 2y^2의 인수(y2y)와 12의 인수(112, 26, 34)가 있으며, 이차식을 인수분해하는 데 도움이 된다.](openstax-prealgebra-bundle/CNX_Elem Alg_Figure_07_03_011a_img_new.jpg)

가능한 모든 조합을 따져 본다.

![이 표의 제목은 2 y 제곱 + 11 y + 12이다. 표는 두 열로 되어 있으며, 첫째 열의 이름은 “가능한 인수”이고 둘째 열의 이름은 “곱”이다. 첫째 열에는 가능한 인수의 모든 조합이 나열되어 있고, 둘째 열에는 그 곱이 나와 있다. 네 개의 행에는 곱이 선택지가 될 수 없다고 적혀 있으며, 그 이유를 설명하는 글상자가 있다. 글상자의 이유는 “삼항식에 공통인수가 없으면 어느 인수도 공통인수를 포함할 수 없다”이다. 인수 (y + 4)(2y + 3)이 있는 행의 곱은 2 y 제곱 + 11 y + 12이며, 이 행에 별표가 붙어 있다.](openstax-prealgebra-bundle/CNX_Elem Alg_Figure_07_03_012_img_new.jpg)


올바른 인수는 곱이 처음의 삼항식이 되는 것이다. 인수 5y²을 반드시 포함해야 한다.	$5{y}^{2}(y+4)(2y+3)$
곱하여 확인한다. $\begin{array}{c} \\ \\ \\ \quad 5{y}^{2}(y+4)(2y+3) \\ \quad 5{y}^{2}(2{y}^{2}+8y+3y+12) \\ \quad 10{y}^{4}+55{y}^{3}+60{y}^{2}\,\checkmark \end{array}$

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# 인수분해계산자동 분류

3.OpenStax Elementary Algebra · 7.3절 · 29번우리말 번역

시행착오법을 이용한 삼항식의 인수분해

다음 문제에서 인수분해하세요.

$16{x}^{2}-32x+16$

영어 원문 보기

Factor Trinomials Using Trial and Error

In the following exercises, factor.

$16{x}^{2}-32x+16$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$16(x-1)(x-1)$

원본 교재 풀이(영어)

$16(x-1)(x-1)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 7.3절 · 8번우리말 번역

완전히 인수분해하세요: $18{n}^{2}-37n+15$ .

다 풀었으면 정답 확인


삼항식은 이미 내림차순으로 되어 있다.	$18{n}^{2}-37n+15$
첫째 항의 인수를 구한다.	![이차식 18n^2 - 37n + 15가 나타나 있고, 그 아래에 18n^2 항의 가능한 인수 쌍이 빨간색으로 나열되어 있다.](openstax-prealgebra-bundle/CNX_Elem Alg_Figure_07_03_009b_img_new.jpg)
마지막 항의 인수를 구한다. 부호를 생각한다. 15는 양수이고 가운데 항의 계수는 음수이므로 음의 인수를 쓴다.	![이차 삼항식 18n^2 - 37n + 15를 인수분해하는 첫 단계로, 18n^2 항의 가능한 인수 쌍과 상수항 +15의 가능한 인수 쌍을 보여 주는 그림이다.](openstax-prealgebra-bundle/CNX_Elem Alg_Figure_07_03_009c_img_new.jpg)

인수의 모든 조합을 생각한다.

![머리글이 18 n ^ 2 – 37n + 15인 표이다. 표에는 두 개의 열이 있으며, 첫째 열은 '가능한 인수', 둘째 열은 '곱'이다. 첫째 열에는 가능한 인수의 모든 조합이 나열되어 있고, 둘째 열에는 그 곱이 나열되어 있다. 여덟 개의 행에서는 곱이 해당되지 않는다고 되어 있으며, 그 이유를 적은 글상자가 있다. 글상자의 이유는 "삼항식에 공통인수가 없으면, 어느 인수도 공통인수를 포함할 수 없다"이다. 인수 (2n – 3)(9n – 5)가 있는 행은 곱이 18n^2 − 37 n + 15이며 별표가 붙어 있다.](openstax-prealgebra-bundle/CNX_Elem Alg_Figure_07_03_010_img_new.jpg)


곱이 처음의 삼항식이 되는 인수가 올바른 인수이다.	$(2n-3)(9n-5)$
곱하여 확인한다. $\begin{array}{c} \\ \\ \quad (2n-3)(9n-5) \\ \quad 18{n}^{2}-10n-27n+15 \\ \quad 18{n}^{2}-37n+15\,\checkmark \end{array}$