빌드라인 스쿨

중학 수학 · 함수 · 18강

이차함수와 그래프

꼭짓점·축·평행이동과 표준형

4:45 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Intermediate Algebra 2e, 9.6절 연습문제 11 (Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e) / OpenStax, Elementary Algebra 2e, 10.5절 연습문제 7 (Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/elementary-algebra-2e) / OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1절 연습문제 73 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

y=ax2y=ax^2의 그래프는 꼭짓점이 원점, 축이 yy축인 포물선입니다. a>0a>0이면 아래로 볼록, a<0a<0이면 위로 볼록이고 ∣a∣|a|가 클수록 폭이 좁습니다.

y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q의 그래프는 y=ax2y=ax^2의 그래프를 xx축 방향으로 pp, yy축 방향으로 qq만큼 평행이동한 것입니다. 꼭짓점 (p,q)(p,q), 축 x=px=p

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c는 완전제곱식으로 바꿉니다: y=x2−4x+1=(x−2)2−3y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3 → 꼭짓점 (2,−3)(2,-3), 축 x=2x=2

연습문제

원문 · OpenStax Intermediate Algebra · OpenStax Algebra and Trigonometry · OpenStax Elementary Algebra (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 11번우리말 풀이

이차함수 f(x)=−x2+2x+5f(x)=-x^2+2x+5 의 그래프에 대하여 ⓐ 대칭축의 방정식과 ⓑ 꼭짓점의 좌표를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the Axis of Symmetry and Vertex of a Parabola

In the following functions, find ⓐ the equation of the axis of symmetry and ⓑ the vertex of its graph.

f(x)=−x2+2x+5f(x)=-{x}^{2}+2x+5

답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
풀이 보기

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 의 대칭축은 x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a} 이고, 꼭짓점의 yy 좌표는 그 xx 를 함수에 넣어 구해요.

  1. 1

    a,ba,b 를 읽어요. a=−1, b=2a=-1,\ b=2 예요.

  2. 2

    ⓐ 대칭축을 구해요. x=−22⋅(−1)=1x=-\dfrac{2}{2\cdot(-1)}=1 이에요.

  3. 3

    ⓑ 꼭짓점의 yy 좌표를 구해요. f(1)=−1+2+5=6f(1)=-1+2+5=6 이니까 꼭짓점은 (1,6)(1,6) 이에요.

  4. 4

    확인해요. f(x)=−(x−1)2+6f(x)=-(x-1)^2+6 으로 고쳐 써도 같은 꼭짓점 (1,6)(1,6) 이 나오고, a<0a<0 이라 위로 볼록한 포물선이에요.

답

ⓐ x=1x=1 ⓑ (1, 6)(1,\,6)

자주 하는 실수

x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a} 에서 분모의 a=−1a=-1 의 부호를 놓쳐 x=−1x=-1 이라고 쓰는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ x=1x=1; ⓑ (1,6)(1,6)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 53번우리말 번역

다음 문제에서 ⓐ 각 함수를 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k 꼴로 나타내고 ⓑ 그래프의 성질을 이용하여 그래프를 그리세요.

f(x)=2x2+4x+6f(x)=2{x}^{2}+4x+6

다 풀었으면 정답 확인

ⓐ f(x)=2(x+1)2+4f(x)=2{(x+1)}^{2}+4

ⓑ

이 그림은 xy 좌표평면 위에 위로 열린 포물선을 보여 준다. 꼭짓점은 (-1, 4), y절편은 (0, 6)이고, 대칭축은 x = -1 로 표시되어 있다.

이 문제로 이어서 풀기
# 이차함수와 그래프계산보통
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.1절 · 29번우리말 풀이

꼭짓점이 (h,k)=(2,3)(h,k)=(2,3) 이고 점 (x,y)=(5,12)(x,y)=(5,12) 를 지나는 이차함수의 식을 일반형 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 로 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the vertex (h,k)(h,k) and a point on the graph (x,y)(x,y) to find the general form of the equation of the quadratic function.

(h,k)=(2,3),(x,y)=(5,12)(h,k)=(2,3),(x,y)=(5,12)

답 쓰고 채점
풀이 보기

꼭짓점을 알면 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a(x-h)^2+k 로 두고, 지나는 점으로 aa 를 정한 뒤 전개해요.

  1. 1

    꼭짓점 꼴로 세워요. f(x)=a(x−2)2+3f(x)=a(x-2)^2+3 이에요.

  2. 2

    aa 를 구해요. 점 (5,12)(5,12) 를 넣으면 12=a(5−2)2+3=9a+312=a(5-2)^2+3=9a+3 이므로 9a=99a=9, a=1a=1 이에요.

  3. 3

    전개해서 일반형으로 써요. f(x)=(x−2)2+3=x2−4x+4+3=x2−4x+7f(x)=(x-2)^2+3=x^2-4x+4+3=x^2-4x+7 이에요.

  4. 4

    확인해요. f(5)=25−20+7=12f(5)=25-20+7=12 로 맞고, f(2)=4−8+7=3f(2)=4-8+7=3 이라 꼭짓점도 맞아요.

답

f(x)=x2−4x+7f(x)=x^2-4x+7

자주 하는 실수

꼭짓점 꼴 a(x−h)2+ka(x-h)^2+k 에서 hh 의 부호를 거꾸로 써서 (x+2)2(x+2)^2 라고 하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=x2−4x+7f(x)={x}^{2}-4x+7

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 11번

이차함수 f(x)=−x2+2x+5f(x)=-x^2+2x+5 의 그래프에 대하여 ⓐ 대칭축의 방정식과 ⓑ 꼭짓점의 좌표를 구하세요.

답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
다 풀었으면 정답 확인

ⓐ x=1x=1 ⓑ (1, 6)(1,\,6)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 이차함수와 그래프계산보통
3.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 7번우리말 번역

포물선의 대칭축과 꼭짓점 구하기

다음 문제에서 ⓐ 대칭축과 ⓑ 꼭짓점을 구하세요.

y=x2+8x−1y={x}^{2}+8x-1

영어 원문 보기

Find the Axis of Symmetry and Vertex of a Parabola

In the following exercises, find ⓐ the axis of symmetry and ⓑ the vertex.

y=x2+8x−1y={x}^{2}+8x-1

답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
정답·풀이 보기

ⓐ x=−4x=-4 ⓑ (−4,−17)(-4,-17)

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ x=−4x=-4 ⓑ (−4,−17)(-4,-17)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 5번우리말 번역

포물선 y=2x2−8x+1y=2{x}^{2}-8x+1 에 대해 다음을 구하세요: ⓐ 대칭축, ⓑ 꼭짓점.

답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
다 풀었으면 정답 확인

ⓐ x=2x=2 ⓑ (2,−7)(2,-7)

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# 이차함수와 그래프계산자동 분류
4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.1절 · 27번우리말 번역

다음 문제에서 꼭짓점 (h,k)(h,k) 와 그래프 위의 한 점 (x,y)(x,y) 를 이용하여 이차함수의 식의 일반형을 구하세요.

(h,k)=(−2,−1),(x,y)=(−4,3)(h,k)=(-2,-1),(x,y)=(-4,3)

영어 원문 보기

For the following exercises, use the vertex (h,k)(h,k) and a point on the graph (x,y)(x,y) to find the general form of the equation of the quadratic function.

(h,k)=(−2,−1),(x,y)=(−4,3)(h,k)=(-2,-1),(x,y)=(-4,3)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

f(x)=x2+4x+3f(x)={x}^{2}+4x+3

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=x2+4x+3f(x)={x}^{2}+4x+3

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.1절 · 47번우리말 번역

다음 문제에서 이차함수의 그래프 위의 점들을 나타내는 값의 표를 이용하세요. 꼭짓점과 대칭축을 구하여 이차함수의 방정식의 일반형을 구하세요.
xx –2 –1 0 1 2
yy 1 0 1 4 9
답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

f(x)=x2+2x+1f(x)={x}^{2}+2x+1

이 문제로 이어서 풀기
# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류

「이차함수와 그래프」 문제 더 풀기 (369문제)

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