빌드라인 스쿨

중학 수학 · 도형의 성질 · 24강

삼각비

사인·코사인·탄젠트와 특수각의 삼각비

5:08 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.2절 연습문제 29 · 31 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

∠C=90∘\angle C=90^\circ인 직각삼각형 ABCABC에서 sin⁡A=BC‾AB‾\sin A=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}, cos⁡A=AC‾AB‾\cos A=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}, tan⁡A=BC‾AC‾\tan A=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}

sin⁡30∘=12\sin30^\circ=\frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, tan⁡30∘=33\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3} · sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, tan⁡45∘=1\tan45^\circ=1 · sin⁡60∘=32\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos60^\circ=\frac{1}{2}, tan⁡60∘=3\tan60^\circ=\sqrt{3}

빗변이 cc이고 한 예각이 AA이면 AA의 대변은 csin⁡Ac\sin A, 이웃변은 ccos⁡Ac\cos A입니다. 두 변 aa, bb와 그 끼인각 θ\theta(예각)를 알면 삼각형의 넓이는 12absin⁡θ\frac{1}{2}ab\sin\theta

연습문제

원문 · OpenStax Algebra and Trigonometry · OpenStax Precalculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 7.2절 · 49번우리말 풀이

높이 400400 ft 인 기념비가 멀리 있어요. 건물 창문에서 보니 기념비 꼭대기의 올려본각은 18∘18^\circ, 기념비 아래쪽 끝의 내려본각은 3∘3^\circ 예요. 창문에 있는 사람은 기념비에서 얼마나 떨어져 있나요?

영어 원문 보기

A 400-foot tall monument is located in the distance. From a window in a building, a person determines that the angle of elevation to the top of the monument is 18∘,18^\circ , and that the angle of depression to the bottom of the monument is 3∘.3^\circ . How far is the person from the monument?

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피트(ft)
풀이 보기

창문 높이의 수평선을 기준으로 위쪽 길이는 dtan⁡18∘d\tan 18^\circ, 아래쪽 길이는 dtan⁡3∘d\tan 3^\circ 이고, 둘을 더하면 기념비 높이 400400 ft 예요.

  1. 1

    기호를 정해요. 사람과 기념비 사이의 수평 거리를 dd 라 해요. 창문 눈높이의 수평선이 기념비를 위와 아래 두 부분으로 나눠요.

  2. 2

    위쪽 부분을 표현해요. 올려본각 18∘18^\circ 이므로 tan⁡18∘=위쪽 길이d\tan 18^\circ=\dfrac{\text{위쪽 길이}}{d}, 즉 위쪽 길이 =dtan⁡18∘=d\tan 18^\circ 예요.

  3. 3

    아래쪽 부분을 표현해요. 내려본각 3∘3^\circ 이므로 아래쪽 길이 =dtan⁡3∘=d\tan 3^\circ 예요.

  4. 4

    전체 높이로 식을 세워요. dtan⁡18∘+dtan⁡3∘=400d\tan 18^\circ+d\tan 3^\circ=400 이므로 d=400tan⁡18∘+tan⁡3∘d=\dfrac{400}{\tan 18^\circ+\tan 3^\circ} 예요.

  5. 5

    계산해요. tan⁡18∘≈0.32492, tan⁡3∘≈0.05241\tan 18^\circ\approx 0.32492,\ \tan 3^\circ\approx 0.05241 이라서 d≈4000.37733≈1060.09d\approx\dfrac{400}{0.37733}\approx 1060.09 ft 예요.

답

약 1060.091060.09 ft

자주 하는 실수

올려본각만 쓰고 내려본각 부분을 빠뜨리면 400=dtan⁡18∘400=d\tan 18^\circ 가 되어 d≈1231d\approx 1231 같은 틀린 값이 나와요. 기념비가 눈높이 위아래에 걸쳐 있다는 점을 놓치지 마세요.

원본 교재 풀이(영어)

1060.09 ft

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 7.2절 · 53번

길이 2323 ft 의 사다리가 건물에 기대어 있고, 사다리와 땅이 이루는 각이 80∘80^\circ 예요. 사다리는 건물 벽의 얼마 높이까지 닿나요?

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피트(ft)
다 풀었으면 정답 확인

약 22.650622.6506 ft

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 삼각비활용도전
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 7.2절 · 53번우리말 풀이

길이 2323 ft 의 사다리가 건물에 기대어 있고, 사다리와 땅이 이루는 각이 80∘80^\circ 예요. 사다리는 건물 벽의 얼마 높이까지 닿나요?

영어 원문 보기

A 23-ft ladder leans against a building so that the angle between the ground and the ladder is 80∘.80^\circ . How high does the ladder reach up the side of the building?

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풀이 보기

사다리가 빗변, 벽에 닿는 높이가 각 80∘80^\circ 의 맞은편 변인 직각삼각형이라서 sin⁡\sin 을 쓰면 돼요.

  1. 1

    그림을 직각삼각형으로 바꿔요. 빗변은 사다리(2323 ft), 구하려는 높이를 hh 라 하면 hh 는 80∘80^\circ 의 맞은편 변이에요.

  2. 2

    사인으로 식을 세워요. sin⁡80∘=h23\sin 80^\circ=\dfrac{h}{23} 이므로 h=23sin⁡80∘h=23\sin 80^\circ 예요.

  3. 3

    계산해요. sin⁡80∘≈0.98481\sin 80^\circ\approx 0.98481 이라서 h≈23×0.98481≈22.6506h\approx 23\times 0.98481\approx 22.6506 ft 예요.

답

약 22.650622.6506 ft

자주 하는 실수

계산기가 라디안 모드이면 sin⁡80\sin 80 이 전혀 다른 값이 나와요. 각을 도(degree)로 받는지 먼저 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

22.6506 ft

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Precalculus · 5.4절 · 3번우리말 번역

각의 탄젠트는 직각삼각형의 어느 두 변을 비교한 것인지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

각의 탄젠트는 반대쪽 변과 이웃한 변의 비이다.

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# 삼각비활용기본
3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 7장 복습 · 17번우리말 번역

다음 문제에서 변의 길이를 이용하여 값을 구하세요.

cos⁡ π4\cos \,\frac{\pi }{4}

영어 원문 보기

For the following exercises, use side lengths to evaluate.

cos⁡ π4\cos \,\frac{\pi }{4}

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정답·풀이 보기

22\frac{\sqrt{2}}{2}

원본 교재 풀이(영어)

22\frac{\sqrt{2}}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 7.2절 · 55번우리말 번역

시애틀에 있는 한 건물 밑에서 2마일 떨어진 지점에서 건물 꼭대기를 올려본각이 지면으로부터 2도로 측정되었습니다. 이 정보를 이용하여 건물의 높이를 구하세요.

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피트(ft)
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368.7633 ft

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# 삼각비계산자동 분류
4.OpenStax Precalculus · 5.4절 · 53번우리말 번역

23-ft 사다리가 지면과 사다리 사이의 각이 80∘80^\circ 가 되도록 건물에 기대어 있습니다. 사다리는 건물 벽면의 얼마 높이까지 닿나요?

영어 원문 보기

A 23-ft ladder leans against a building so that the angle between the ground and the ladder is 80∘.80^\circ . How high does the ladder reach up the side of the building?

답 쓰고 채점
피트(ft)
정답·풀이 보기

22.6506 ft

원본 교재 풀이(영어)

22.6506 ft

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Precalculus · 5.4절 · 51번우리말 번역

건물 꼭대기에 피뢰침이 있습니다. 건물 밑면에서 500피트 떨어진 지점에서 건물 꼭대기의 고도각을 측정하니 36∘36^\circ 였습니다. 같은 지점에서 피뢰침 꼭대기의 고도각을 측정하니 38∘38^\circ 였습니다. 피뢰침의 높이를 구하세요.

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피트(ft)
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27.372 ft

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# 삼각비활용자동 분류
OpenStax Precalculus 2e CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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