미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

261.APEX · 3.3절 · 20번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 또는 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x^2-1}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x^2-1}$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$

임계점: $c=0$ ;

$(-\infty,-1)$ 과 $(-1,0)$ 에서 감소;

$(0,1)$ 과 $(1,\infty)$ 에서 증가;

$x=0$ 에서 극솟값;

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$

c.p. at $c=0$ ;

decreasing on $(-\infty,-1)$ and $(-1,0)$ ;

increasing on $(0,1)$ and $(1,\infty)$ ;

rel. min at $x=0$ ;

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 16번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

262.APEX · 3.3절 · 21번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있습니다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값인지, 극솟값인지, 아니면 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =\frac{x}{x^2-2x-8}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =\frac{x}{x^2-2x-8}$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,-2)\cup(-2,4)\cup(4,\infty)$

임계점 없음;

정의역 전체에서 감소, 즉 $(-\infty,-2)$ , $(-2,4)$ , $(4,\infty)$ 에서 감소

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,-2)\cup(-2,4)\cup(4,\infty)$

no c.p.;

decreasing on entire domain, $(-\infty,-2)$ , $(-2,4)$ and $(4,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 3번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

263.APEX · 3.3절 · 22번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 그려서 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값인지, 극솟값인지, 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =\frac{(x-2)^{2/3}}{x}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =\frac{(x-2)^{2/3}}{x}$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ ;

임계점은 $c=2,6$ ;

$(-\infty,0)$ , $(0,2)$ , $(6,\infty)$ 에서 감소;

$(2,6)$ 에서 증가;

$x=2$ 에서 극소; $x=6$ 에서 극대.

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ ;

c.p. at $c=2,6$ ;

decreasing on $(-\infty,0)$ , $(0,2)$ and $(6,\infty)$ ;

increasing on $(2,6)$ ;

rel. min at $x=2$ ; rel. max at $x=6$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 22번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

264.APEX · 3.3절 · 23번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있습니다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극대인지, 극소인지, 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =\sin x\cos x$ , 구간은 $(-\pi,\pi)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =\sin x\cos x$ on $(-\pi,\pi)$ .

정답·풀이 보기

정의역 $(-\infty,\infty)$

임계점: $c=-3\pi/4,-\pi/4,\pi/4,3\pi/4$ ;

$(-3\pi/4,-\pi/4)$ 와 $(\pi/4,3\pi/4)$ 에서 감소;

$(-\pi,-3\pi/4)$ , $(-\pi/4,\pi/4)$ 와 $(3\pi/4,\pi)$ 에서 증가;

$x=-\pi/4,3\pi/4$ 에서 극소;

$x=-3\pi/4,\pi/4$ 에서 극대.

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,\infty)$

c.p. at $c=-3\pi/4,-\pi/4,\pi/4,3\pi/4$ ;

decreasing on $(-3\pi/4,-\pi/4)$ and $(\pi/4,3\pi/4)$ ;

increasing on $(-\pi,-3\pi/4)$ , $(-\pi/4,\pi/4)$ and $(3\pi/4,\pi)$ ;

rel. min at $x=-\pi/4,3\pi/4$ ;

rel. max at $x=-3\pi/4,\pi/4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 1번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

265.APEX · 3.3절 · 24번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있습니다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점에서 극대인지, 극소인지, 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =x^5-5x$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =x^5-5x$

정답·풀이 보기

정의역 = $(-\infty,\infty)$ ;

임계점: $c=-1,1$ ;

$(-1,1)$ 에서 감소;

$(-\infty,-1)$ 과 $(1,\infty)$ 에서 증가;

$x=1$ 에서 극소;

$x=-1$ 에서 극대

원본 교재 풀이(영어)

domain = $(-\infty,\infty)$ ;

c.p. at $c=-1,1$ ;

decreasing on $(-1,1)$ ;

increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$ ;

rel. min at $x=1$ ;

rel. max at $x=-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 38번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

266.APEX · 3.5절 · 27번우리말 번역

연습문제 27–30에서 매개변수 $a$ , $b$ 를 포함한 함수가 주어져 있다. $a$ 와 $b$ 에 대한 식으로 $f$ 의 임계점과 변곡점 후보를 설명하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{a}{x^2+b^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, a function with the parameters $a$ and $b$ are given. Describe the critical points and possible points of inflection of $f$ in terms of $a$ and $b$ .

$\displaystyle f(x) = \frac{a}{x^2+b^2}$

정답·풀이 보기

임계점: $x=0$ 변곡점: $\pm b/\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

Critical point: $x=0$ Points of inflection: $\pm b/\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 6번

# 함수의 그래프 그리기계산자동 분류

267.APEX · 3.5절 · 28번우리말 번역

연습문제 27–30에서 매개변수 $a$ , $b$ 를 포함한 함수가 주어져 있다. $a$ 와 $b$ 로 $f$ 의 임계점과 변곡점이 될 수 있는 점을 설명하세요.

$\displaystyle f(x) = ax^2+bx+1$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, a function with the parameters $a$ and $b$ are given. Describe the critical points and possible points of inflection of $f$ in terms of $a$ and $b$ .

$\displaystyle f(x) = ax^2+bx+1$

정답·풀이 보기

임계점: $x=-b/(2a)$ 변곡점 없음

원본 교재 풀이(영어)

Critical point: $x=-b/(2a)$ No points of inflection

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 31번

# 함수의 그래프 그리기계산자동 분류

268.APEX · 3.5절 · 29번우리말 번역

연습문제 27–30에서 매개변수 $a$ , $b$ 를 포함한 함수가 주어져 있다. $a$ 와 $b$ 로 $f$ 의 임계점과 변곡점이 될 수 있는 점을 설명하세요.

$\displaystyle f(x) = \sin (ax+b)$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, a function with the parameters $a$ and $b$ are given. Describe the critical points and possible points of inflection of $f$ in terms of $a$ and $b$ .

$\displaystyle f(x) = \sin (ax+b)$

정답·풀이 보기

임계점: $x=\frac{n\pi/2-b}{a}$ , 여기서 $n$ 은 홀수인 정수이다 변곡점: $(n\pi-b)/a$ , 여기서 $n$ 은 정수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Critical points: $x=\frac{n\pi/2-b}{a}$ , where $n$ is an odd integer Points of inflection: $(n\pi-b)/a$ , where $n$ is an integer.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 5번

# 함수의 그래프 그리기계산자동 분류

269.APEX · 3.5절 · 30번우리말 번역

연습문제 27–30에서 매개변수 $a$ , $b$ 를 포함한 함수가 주어져 있다. $a$ 와 $b$ 로 $f$ 의 임계점과 변곡점이 될 수 있는 점을 설명하세요.

$\displaystyle f(x) = (x-a)(x-b)$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, a function with the parameters $a$ and $b$ are given. Describe the critical points and possible points of inflection of $f$ in terms of $a$ and $b$ .

$\displaystyle f(x) = (x-a)(x-b)$

정답·풀이 보기

임계점: $x=(a+b)/2$ 변곡점: 없음

원본 교재 풀이(영어)

Critical point: $x=(a+b)/2$ Points of inflection: none

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 5번

# 함수의 그래프 그리기계산자동 분류

270.APEX · 4.3절 · 3번우리말 번역

합이 100인 두 수(정수일 필요는 없다)의 곱의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum product of two numbers (not necessarily integers) that have a sum of 100.

정답·풀이 보기

2500이다. 두 수는 각각 50이다.

원본 교재 풀이(영어)

2500; the two numbers are each 50.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 2번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

271.APEX · 4.3절 · 4번우리말 번역

곱이 500인 두 양수의 합의 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum sum of two positive numbers whose product is 500.

정답·풀이 보기

합의 최솟값은 $2\sqrt{500}$ 이다. 두 수는 각각 $\sqrt{500}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The minimum sum is $2\sqrt{500}$ ; the two numbers are each $\sqrt{500}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

272.APEX · 4.3절 · 5번우리말 번역

곱이 500인 두 양수의 합의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum sum of two positive numbers whose product is 500.

정답·풀이 보기

합의 최댓값은 존재하지 않는다. 기본 방정식은 임계값이 1개뿐이며, 이 값은 최솟값에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

There is no maximum sum; the fundamental equation has only 1 critical value that corresponds to a minimum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 4번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

273.APEX · 4.3절 · 6번우리말 번역

각각 $[0,300]$ 에 속하고 곱이 500인 두 수의 합의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum sum of two numbers, each of which is in $[0,300]$ whose product is 500.

정답·풀이 보기

기본 방정식의 유일한 임계점은 최솟값에 해당한다. 최댓값을 구하려면 끝점을 확인한다.

한 수가 300이면 다른 수 $y$ 는 $300y = 500$ 을 만족하므로 $y = 5/3$ 이다. 따라서 합은 $300+5/3$ 이다.

다른 끝점인 0은 $0\cdot y = 500$ 을 $y$ 에 대해 풀 수 없으므로 가능하지 않다. 실제로 $0<x<5/3$ 이면 $x\cdot y = 500$ 에서 $y>300$ 이 되어야 하는데, 이는 가능한 해가 아니다.

따라서 합의 최댓값은 $301.\overline{6}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The only critical point of the fundamental equation corresponds to a minimum; to find maximum, we check the endpoints.

If one number is 300, the other number $y$ satisfies $300y = 500$ ; $y = 5/3$ . Thus the sum is $300+5/3$ .

The other endpoint, 0, is not feasible as we cannot solve $0\cdot y = 500$ for $y$ . In fact, if $0<x<5/3$ , then $x\cdot y = 500$ forces $y>300$ , which is not a feasible solution.

Hence the maximum sum is $301.\overline{6}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

274.APEX · 4.3절 · 17번우리말 번역

단위원 안에 그릴 수 있는 직사각형 중에서 넓이가 가장 큰 직사각형의 가로와 세로의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

What are the dimensions of the rectangle with largest area that can be drawn inside the unit circle?

정답·풀이 보기

넓이의 최댓값은 2이며, 변의 길이가 $\sqrt{2}$ 인 정사각형일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

The largest area is 2 formed by a square with sides of length $\sqrt{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 7번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

275.CLP-1 · 2.2절 · 4번우리말 번역

$f(x) = x^3$ 이 $x = 0$ 에서 미분가능하다는 것이 무엇을 뜻하는지 극한을 이용하여 서술하세요.

영어 원문 보기

State, in terms of a limit, what it means for $f(x) = x^3$ to be differentiable at $x = 0$ .

정답·풀이 보기

정의에 따라 극한 $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^3-0}{h}$ 이 존재하면 $f(x) = x^3$ 은 $x = 0$ 에서 미분가능하다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition, $f(x) = x^3$ is differentiable at $x = 0$ if the limit $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^3-0}{h}$ exists.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 12번

# 도함수의 뜻계산기본자동 분류

276.CLP-1 · 2.2절 · 9번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 곡선 $y(x)=x^3+5$ 위의 점 $(1,6)$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to find the equation of the tangent line to the curve $y(x)=x^3+5$ at the point $(1,6)$ .

정답·풀이 보기

한 점과 그 점에서의 기울기를 알면 점-기울기 꼴로 직선의 방정식을 구할 수 있다. 점은 $(1,6)$ 으로 주어져 있다. 기울기는 미분계수이다.

$\begin{aligned} y'(1)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{y(1+h)-y(1)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[(1+h)^3+5]-[1^3+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[1+3h+3h^2+h^3+5]-[1+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{3h+3h^2+h^3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}{3+3h+h^2}\\ &=3 \end{aligned}$

따라서 기울기는 3이고, 직선의 방정식은 $y-6=3(x-1)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We can use point-slope form to get the equation of the line, if we have a point and its slope. The point is given: $(1,6)$ . The slope is the derivative:

$\begin{aligned} y'(1)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{y(1+h)-y(1)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[(1+h)^3+5]-[1^3+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[1+3h+3h^2+h^3+5]-[1+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{3h+3h^2+h^3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}{3+3h+h^2}\\ &=3 \end{aligned}$

So our slope is 3, which gives a line of equation $y-6=3(x-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 19번

# 도함수의 뜻계산보통자동 분류

277.CLP-1 · 2.2절 · 10번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 $f(x)=\frac{1}{x}$ 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to find the derivative of $f(x)=\frac{1}{x}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

도함수의 정의를 세운다.

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x}{x(x+h)}-\frac{x+h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-1}{x(x+h)}\\ &=\frac{-1}{x^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We set up the definition of the derivative.

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x}{x(x+h)}-\frac{x+h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-1}{x(x+h)}\\ &=\frac{-1}{x^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 26번

# 도함수의 뜻계산보통자동 분류

278.CLP-1 · 2.2절 · 12번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 함수 $f(x)=\frac{2}{x+1}$ 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to compute the derivative of the function $f(x)=\frac{2}{x+1}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

도함수의 정의를 세운다.

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{2}{x+h+1} -\frac{2}{x+1}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{(x+1)-(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2}{(x+h+1)(x+1)} =\frac{-2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We set up the definition of the derivative.

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{2}{x+h+1} -\frac{2}{x+1}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{(x+1)-(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2}{(x+h+1)(x+1)} =\frac{-2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 5번

# 도함수의 뜻계산보통자동 분류

279.CLP-1 · 2.2절 · 13번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 함수 $f(x)=\frac{1}{x^2+3}$ 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to compute the derivative of the function $f(x)=\frac{1}{x^2+3}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{1}{(x+h)^2+3} -\frac{1}{x^2+3}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{x^2-(x+h)^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{-2xh-h^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\boxed{\frac{-2x}{[x^2+3]^2}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{1}{(x+h)^2+3} -\frac{1}{x^2+3}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{x^2-(x+h)^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{-2xh-h^2}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2x-h}{[(x+h)^2+3][x^2+3]} =\boxed{\frac{-2x}{[x^2+3]^2}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 20번

# 도함수의 뜻계산보통자동 분류

280.CLP-1 · 2.2절 · 14번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 곡선 $f(x)=x\log_{10}(2x+10)$ 의 $x=0$ 인 점에서의 접선의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to find the slope of the tangent line to the curve $f(x)=x\log_{10}(2x+10)$ at the point $x=0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

접선의 기울기는 미분계수이다. 항상 사용하는 도함수의 정의를 이용하여 식을 세운다. 이 극한은 일반적인 $x$ 에 대해서는 구하기 어렵지만 $x=0$ 일 때는 쉽다.

$\begin{aligned} f'(0)&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h\log_{10}(2h+10)-0}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \log_{10}(2h+10)=\log_{10}(10)=1 \end{aligned}$

따라서 접선의 기울기는 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of the tangent line is the derivative. We set this up using the same definition of the derivative that we always do. This limit is hard to take for general $x$ , but easy when $x=0$ .

$\begin{aligned} f'(0)&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h\log_{10}(2h+10)-0}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \log_{10}(2h+10)=\log_{10}(10)=1 \end{aligned}$

So, the slope of the tangent line is 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 22번

# 도함수의 뜻계산보통자동 분류

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