미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

61.OpenStax 1권 · 4.7절 · 30번우리말 번역

다음 연습문제에서, $x+y=10$ 인 두 음이 아닌 수 $x$ 와 $y$ 를 생각하세요. 주어진 양의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

${x}^{2}-y$

영어 원문 보기

For the following exercises, consider two nonnegative numbers $x$ and $y$ such that $x+y=10.$ Maximize and minimize the quantities.

${x}^{2}-y$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 27번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

62.OpenStax 1권 · 4.7절 · 31번우리말 번역

반지름이 $1$ 인 구 안에 들어가는 가장 큰 직원기둥의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the largest right circular cylinder that fits in a sphere of radius $1.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 41번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

63.OpenStax 1권 · 4.7절 · 32번우리말 번역

반지름이 $1$ 인 구 안에 들어가는 가장 큰 직원뿔의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the largest right cone that fits in a sphere of radius $1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 29번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

64.OpenStax 1권 · 4.7절 · 33번우리말 번역

세 변이 $x=0,y=0$ 및 $\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1$ 인 삼각형 안에 들어가는 가장 큰 직사각형의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the largest rectangle that fits into the triangle with sides $x=0,y=0$ and $\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$6$

원본 교재 풀이(영어)

$6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 31번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

65.OpenStax 1권 · 4.7절 · 34번우리말 번역

밑면의 반지름이 $R$ 이고 높이가 $h$ 인 원뿔 안에 들어가는 원기둥의 부피의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the largest volume of a cylinder that fits into a cone that has base radius $R$ and height $h.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

66.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 25번우리말 번역

자동차를 직육면체 모양으로 압축하고 있다. 부피는 $2$ m³/sec 의 비율로 감소하고 있다. 압축기의 가로와 세로는 정사각형이지만, 높이는 가로, 세로와 길이가 같지 않다. 가로와 세로의 벽이 $0.25$ m/sec 의 속도로 서로를 향해 움직일 때, 가로와 세로가 $2$ m 이고 높이가 $1.5$ m 인 순간에 높이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

A car is being compacted into a rectangular solid. The volume is decreasing at a rate of $2$ m³/sec. The length and width of the compactor are square, but the height is not the same length as the length and width. If the length and width walls move toward each other at a rate of $0.25$ m/sec, find the rate at which the height is changing when the length and width are $2$ m and the height is $1.5$ m.

정답·풀이 보기

높이는 $0.125$ m/sec 의 비율로 감소하고 있다

원본 교재 풀이(영어)

The height is decreasing at a rate of $0.125$ m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 23번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

67.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 26번우리말 번역

로켓이 우주로 발사됩니다. 로켓의 운동 에너지는 $K(t)=\left(\frac{1}{2}\right)m(t)v{(t)}^{2}$ 으로 주어집니다. 여기서 $K$ 는 운동 에너지(단위: 줄), $m$ 은 로켓의 질량(단위: 킬로그램), $v$ 는 로켓의 속도(단위: 미터/초)입니다. 속도는 $15$ m/sec² 의 비율로 증가하고, 연료가 연소되므로 질량은 $10$ kg/sec 의 비율로 감소한다고 가정합니다. 질량이 $2000$ kg 이고 속도가 $5000$ m/sec 일 때, 로켓의 운동 에너지는 어떤 비율로 변하는지 구하세요. 답은 메가줄/초(MJ/s)로 나타내세요. 이는 ${10}^{6}$ J/s 와 같습니다.

영어 원문 보기

A rocket is launched into space; its kinetic energy is given by $K(t)=\left(\frac{1}{2}\right)m(t)v{(t)}^{2},$ where $K$ is the kinetic energy in joules, $m$ is the mass of the rocket in kilograms, and $v$ is the velocity of the rocket in meters/second. Assume the velocity is increasing at a rate of $15$ m/sec² and the mass is decreasing at a rate of $10$ kg/sec because the fuel is being burned. At what rate is the rocket’s kinetic energy changing when the mass is $2000$ kg and the velocity is $5000$ m/sec? Give your answer in mega-Joules per second (MJ/s), which is equivalent to ${10}^{6}$ J/s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

68.APEX · 2.2절 · 11번우리말 번역

$v(t)$ 는 직선으로 움직이는 자동차가 출발한 지 $t$ 초 후의 속도(ft/s)를 나타낸다고 하자. $v'(t)$ 의 단위는 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $v(t)$ measure the velocity, in ft/s, of a car moving in a straight line $t$ seconds after starting. What are the units of $v'(t)$ ?

정답·풀이 보기

ft/s $^2$

원본 교재 풀이(영어)

ft/s $^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 10번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

69.APEX · 2.2절 · 12번우리말 번역

강의 수위 $H$ (피트)를 4월 1일 자정으로부터 $t$ 시간 후에 기록한다. $H'(t)$ 의 단위는 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

The height $H$ , in feet, of a river is recorded $t$ hours after midnight, April 1. What are the units of $H'(t)$ ?

정답·풀이 보기

ft/h

원본 교재 풀이(영어)

ft/h

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 11번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

70.APEX · 2.2절 · 13번우리말 번역

$P$ 는 자동차 $c$ 대를 생산하여 판매할 때의 이익(단위: 천 달러)이다.

(a) $P'(c)$ 의 단위는 무엇인지 구하세요. (b) $P(0)$ 에 대해 참일 가능성이 높은 것은 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

$P$ is the profit, in thousands of dollars, of producing and selling $c$ cars.

(a) What are the units of $P'(c)$ ? (b) What is likely true of $P(0)$ ?

정답·풀이 보기

(a) 자동차 1대당 천 달러 (b) $P(0)<0$ 일 가능성이 높다. 즉, 자동차를 하나도 생산하지 않으면 이익이 음수이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) thousands of dollars per car (b) It is likely that $P(0)<0$ . That is, negative profit for not producing any cars.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 12번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

71.APEX · 2.2절 · 14번우리말 번역

$T$ 는 네브래스카주 시드니에서 7월 4일 자정으로부터 $h$ 시간 후의 기온(단위: 화씨 온도)이다.

(a) $T'(h)$ 의 단위는 무엇인지 구하세요. (b) $T'(8)$ 은 0보다 클 가능성이 높은지, 작을 가능성이 높은지 판단하고, 그 이유를 설명하세요. (c) $T(8)$ 은 0보다 클 가능성이 높은지, 작을 가능성이 높은지 판단하고, 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

$T$ is the temperature in degrees Fahrenheit, $h$ hours after midnight on July 4 in Sidney, NE.

(a) What are the units of $T'(h)$ ? (b) Is $T'(8)$ likely greater than or less than 0? Why? (c) Is $T(8)$ likely greater than or less than 0? Why?

정답·풀이 보기

(a) 1시간당 화씨 온도 (b) 오전 8시에는 기온이 오르고 있을 가능성이 높으므로 $T'(8)>0$ 일 가능성이 높다. (c) 7월 4일 오전 8시에는 기온이 0보다 훨씬 높을 것으로 예상되므로 $T(8)>0$ 일 가능성이 매우 높다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) degrees Fahrenheit per hour (b) It is likely that $T'(8)>0$ since at 8 in the morning, the temperature is likely rising. (c) It is very likely that $T(8)>0$ , as at 8 in the morning on July 4, we would expect the temperature to be well above 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 3번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

72.APEX · 4.3절 · 7번우리말 번역

빗변의 길이가 1인 직각삼각형의 넓이의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximal area of a right triangle with hypotenuse of length 1.

정답·풀이 보기

넓이 = 1/4, 이때 두 변의 길이는 $1/\sqrt{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Area = 1/4, with sides of length $1/\sqrt{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 6번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

73.APEX · 4.3절 · 9번우리말 번역

일반적인 음료수 캔은 대략 원기둥 모양이고 액체 355cm $^3$ 가 들어간다. 캔을 만드는 데 필요한 재료를 최소로 하려면 원기둥의 치수를 어떻게 해야 하는지 구하세요. 구한 치수를 바탕으로, 일반적인 캔이 재료비를 최소로 하도록 만들어졌는지 판단하세요.

영어 원문 보기

A standard soda can is roughly cylindrical and holds 355cm $^3$ of liquid. What dimensions should the cylinder be to minimize the material needed to produce the can? Based on your dimensions, determine whether or not the standard can is produced to minimize the material costs.

정답·풀이 보기

반지름은 약 $3.84$ cm이고 높이는 $2r=7.67$ cm이어야 한다. 아니다. 이것은 일반적인 캔의 크기가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

The radius should be about $3.84$ cm and the height should be $2r=7.67$ cm. No, this is not the size of the standard can.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 10번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

74.APEX · 4.3절 · 10번우리말 번역

부피가 206인치 $^3$ 인 원기둥 모양 캔 중에서 겉넓이가 최소가 되는 캔의 치수를 구하세요.

“#10 캔”은 식당 업계에서 쓰는 표준 크기의 캔으로, 약 206인치 $^3$ 를 담을 수 있으며 지름은 6 2/16인치, 높이는 7인치이다. 이 치수는 최소화를 염두에 두고 정해진 것으로 보이나요?

영어 원문 보기

Find the dimensions of a cylindrical can with a volume of 206in $^3$ that minimizes the surface area.

The “#10 can”is a standard sized can used by the restaurant industry that holds about 206in $^3$ with a diameter of 6 2/16in and height of 7in. Does it seem these dimensions were chosen with minimization in mind?

정답·풀이 보기

반지름은 약 $3.2$ 인치이고 높이는 $2r=6.4$ 인치이어야 한다. #10 캔은 (쌓기 쉽도록 여분의 재료를 쓰는 등) 완전한 원기둥이 아니므로, 그 치수는 겉넓이를 최소화하는 것이 고려되었다고 가정할 만큼 충분히 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

The radius should be about $3.2$ in and the height should be $2r=6.4$ in. As the #10 is not a perfect cylinder (with extra material to aid in stacking, etc.), the dimensions are close enough to assume that minimizing surface area was a consideration.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

75.APEX · 4.3절 · 11번우리말 번역

미국 우정청(United States Postal Service)은 길이와 둘레(girth)의 합이 108”를 초과하는 상자에 더 많은 요금을 부과합니다(소포의 "길이"는 가장 긴 변의 길이이고, 거스는 단면의 둘레, 즉 $2w+2h$ 입니다).

단면이 정사각형( $w=h$ )이고 108” 기준을 넘지 않는 소포의 최대 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

The United States Postal Service charges more for boxes whose combined length and girth exceeds 108” (the “length” of a package is the length of its longest side; the girth is the perimeter of the cross section, i.e., $2w+2h$ ).

What is the maximum volume of a package with a square cross section ( $w=h$ ) that does not exceed the 108” standard?

정답·풀이 보기

높이와 너비는 $18$ , 길이는 $36$ 이어야 하며, 이때 부피는 $11,664$ in $^3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The height and width should be $18$ and the length should be $36$ , giving a volume of $11,664$ in $^3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

76.APEX · 4.3절 · 16번우리말 번역

한 여인이 개가 물어 오도록 호수에 막대기를 던졌다. 막대기는 기슭을 따라 15 피트 떨어진 곳에서 물 쪽으로 30 피트 들어간 지점에 있다. 개는 곧바로 물에 뛰어들어 헤엄칠 수도 있고, 기슭을 따라 달려 막대기에 더 가까워진 다음 헤엄칠 수도 있다. 개는 약 22ft/s 로 달리고 약 1.5ft/s 로 헤엄친다.

막대기에 도달하는 데 걸리는 시간을 최소로 하려면 개는 기슭을 따라 얼마나 달려야 하는지 구하세요? * (개가 시간을 최소로 하는 능력에 대해 더 알아보려면 구글에서 “미적분 개”를 검색해 보세요.)*

영어 원문 보기

A woman throws a stick into a lake for her dog to fetch; the stick is 15 feet down the shore line and 30 feet into the water from there. The dog may jump directly into the water and swim, or run along the shore line to get closer to the stick before swimming. The dog runs about 22ft/s and swims about 1.5ft/s.

How far along the shore should the dog run to minimize the time it takes to get to the stick? * (Google “calculus dog” to learn more about a dog's ability to minimize times.)*

정답·풀이 보기

개는 헤엄을 치기 시작하기 전에 기슭을 따라 약 13 피트를 달려야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

The dog should run about 13 feet along the shore before starting to swim.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 17번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

77.CLP-1 · 2.2절 · 8번우리말 번역

$s(t)$ 가 함수이고, $t$ 는 초 단위로, $s$ 는 미터 단위로 측정된다고 하자. 이때 $s'(t)$ 의 단위를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $s(t)$ is a function, with $t$ measured in seconds, and $s$ measured in metres. What are the units of $s'(t)$ ?

정답·풀이 보기

도함수의 정의를 이용하면, $s'(t)=\lim_{h \to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}$ 분자의 단위는 미터이고, 분모의 단위는 초이다(분모는 함수의 입력의 변화에서 나오기 때문이다). 따라서 $s'(t)$ 의 단위는 초당 미터이다.

참고: 위치 함수의 도함수가 속도를 준다는 것을 배웠다. 이 예에서 위치는 미터로 주어지고, 속도는 초당 미터로 측정된다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the definition of the derivative, $s'(t)=\lim_{h \to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}$ The units of the numerator are meters, and the units of the denominator are seconds (since the denominator comes from the change in the input of the function). So, the units of $s'(t)$ are metres per second.

Remark: we learned that the derivative of a position function gives velocity. In this example, the position is given in metres, and the velocity is measured in metres per second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 9번

# 도함수의 뜻활용기본자동 분류

78.CLP-1 · 2.3절 · 2번우리말 번역

$p(t)$ 가 위젯 $t$ 개를 판매하여 얻는 이익을 나타내는 함수라고 하자. $p'(t)$ 의 실제적인 의미는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose $p(t)$ is a function that gives the profit generated by selling $t$ widgets. What is the practical interpretation of $p'(t)$ ?

정답·풀이 보기

$p'(t) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{p(t+h)-p(t)}{h} \approx \frac{p(t+1)-p(t)}{1} = p(t+1)-p(t)$ 이므로, $(t+1)^{\mathrm{st}}$ 번째 위젯을 판매함으로써 생기는 이익의 차이이다. 따라서 $p'(t)$ 는 $(t+1)^{\mathrm{st}}$ 번째 위젯에서 얻는 이익이다. 즉, $p'(t)$ 는 $t$ 개의 위젯이 판매되고 있을 때 위젯 한 개를 추가로 판매할 때마다 늘어나는 이익이다. 이를 $t$ 개의 위젯이 판매되고 있을 때의 위젯당 한계이익이라고 한다.

원본 교재 풀이(영어)

$p'(t) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{p(t+h)-p(t)}{h} \approx \frac{p(t+1)-p(t)}{1} = p(t+1)-p(t)$ , or the difference in profit caused by the sale of the $(t+1)^{\mathrm{st}}$ widget. So, $p'(t)$ is the profit from the $(t+1)^{\mathrm{st}}$ widget. That is, $p'(t)$ is the profit per additional widget sold, when $t$ widgets are being sold. This is called the marginal profit per widget, when $t$ widgets are being sold.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.1절 · 3번

# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류

79.CLP-1 · 2.3절 · 3번우리말 번역

$T(d)$ 는 수면 아래 $d$ 미터의 특정 위치에서 물의 온도를 나타낸다. $T'(d)$ 의 물리적 의미는 무엇인지 설명하세요. $T'(d)$ 의 크기는 $d$ 가 0 에 가까울 때와 $d$ 가 매우 클 때 중 어느 쪽에서 더 클 것으로 예상하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

$T(d)$ gives the temperature of water at a particular location $d$ metres below the surface. What is the physical interpretation of $T'(d)$ ? Would you expect the magnitude of $T'(d)$ to be larger when $d$ is near 0, or when $d$ is very large?

정답·풀이 보기

깊이가 단위 길이만큼 변할 때 온도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타내며, 단위는 도/미터이다. 보통의 물에서는 수면( $d=0$ ) 근처의 온도는 햇빛에 따라 꽤 변하지만, 깊은 곳에서는 (열원이 없는 한) 더 안정적이다. 따라서 $|T'(d)|$ 는 $d$ 가 0 에 가까울 때 더 클 것이라고 예상하는 것이 합리적이다.

원본 교재 풀이(영어)

How quickly the temperature is changing per unit change of depth, measured in degrees per metre. In an ordinary body of water, the temperature near the surface ( $d=0$ ) is pretty variable, depending on the sun, but deep down it is more stable (unless there are heat sources). So, one might reasonably expect that $|T'(d)|$ is larger when $d$ is near 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 2번

# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류

80.CLP-1 · 2.3절 · 5번우리말 번역

시각 $t$ 에서 움직이는 물체의 속도가 $v(t)$ 로 주어진다. $v'(t)$ 는 무엇인가요?

영어 원문 보기

The velocity of a moving object at time $t$ is given by $v(t)$ . What is $v'(t)$ ?

정답·풀이 보기

속도의 변화율은 가속도이다. (속도가 증가하면 가속하고 있는 것이고, 속도가 감소하면 음의 가속도를 가진다.)

원본 교재 풀이(영어)

The rate of change of velocity is acceleration. (If your velocity is increasing, you're accelerating; if your velocity is decreasing, you have negative acceleration.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 4번

# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류

미분 전체 문제