변수분리형 미분방정식 연습문제

81.APEX · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 1–4에서, 미분방정식이 변수분리형인지 변수분리형이 아닌지 판단하세요. 방정식이 변수분리형이면 변수를 분리한 꼴로 나타내세요.

$\displaystyle y' -x^2\cos y + y = \cos y - x^2 y$

영어 원문 보기

In Exercises 1–4, decide whether the differential equation is separable or not separable. If the equation is separable. write it in separated form.

$\displaystyle y' -x^2\cos y + y = \cos y - x^2 y$

정답·풀이 보기

변수분리형이다. $\displaystyle \frac{1}{\cos y - y}\,dy = (x^2+1)\,dx$

원본 교재 풀이(영어)

Separable. $\displaystyle \frac{1}{\cos y - y}\,dy = (x^2+1)\,dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 25번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

82.APEX · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 변수분리형 미분방정식의 일반해를 구하세요. 빠뜨린 상수해가 없는지 반드시 확인하세요.

$\displaystyle y' +1 - y^2 = 0$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the general solution to the separable differential equation. Be sure to check for missing constant solutions.

$\displaystyle y' +1 - y^2 = 0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 32번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

83.APEX · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 변수분리형 미분방정식의 일반해를 구하세요. 빠뜨린 상수해가 없는지 반드시 확인하세요.

$\displaystyle y' = y-2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the general solution to the separable differential equation. Be sure to check for missing constant solutions.

$\displaystyle y' = y-2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 14번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

84.APEX · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 변수분리형 미분방정식의 일반해를 구하세요. 빠뜨린 상수해가 없는지 반드시 확인하세요.

$\displaystyle x y' = 4y$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the general solution to the separable differential equation. Be sure to check for missing constant solutions.

$\displaystyle x y' = 4y$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 14번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

85.APEX · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 변수분리형 미분방정식의 일반해를 구하세요. 빠뜨린 상수해가 없는지 반드시 확인하세요.

$\displaystyle yy' = 4x$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the general solution to the separable differential equation. Be sure to check for missing constant solutions.

$\displaystyle yy' = 4x$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 24번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

86.APEX · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 변수분리형 미분방정식의 일반해를 구하세요. 빠진 상수해가 없는지 반드시 확인하세요.

$\displaystyle e^xy y' = e^{-y} + e^{-2x - y}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the general solution to the separable differential equation. Be sure to check for missing constant solutions.

$\displaystyle e^xy y' = e^{-y} + e^{-2x - y}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 24번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

87.APEX · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 변수분리형 미분방정식의 일반해를 구하세요. 빠진 상수해가 없는지 반드시 확인하세요.

$\displaystyle (x^2 + 1) y' = \frac{x}{y-1}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the general solution to the separable differential equation. Be sure to check for missing constant solutions.

$\displaystyle (x^2 + 1) y' = \frac{x}{y-1}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 7번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

88.APEX · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 변수분리형 미분방정식의 일반해를 구하세요. 빠진 상수해가 없는지 반드시 확인하세요.

$\displaystyle y' = \frac{x\sqrt{1-4y^2}}{x^4 + 2x^2 + 2}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the general solution to the separable differential equation. Be sure to check for missing constant solutions.

$\displaystyle y' = \frac{x\sqrt{1-4y^2}}{x^4 + 2x^2 + 2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 17번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

89.APEX · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 변수분리형 미분방정식의 일반해를 구하세요. 빠진 상수해가 없는지 반드시 확인하세요.

$\displaystyle (e^x + e^{-x})y' = y^2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the general solution to the separable differential equation. Be sure to check for missing constant solutions.

$\displaystyle (e^x + e^{-x})y' = y^2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 7번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

90.APEX · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20에서, 변수분리형 초깃값 문제의 특수해를 구하세요.

$\displaystyle y' = \frac{\sin x}{\cos y}$ , 단 $y(0) = \displaystyle \frac{\pi}{2}$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the particular solution to the separable initial value problem.

$\displaystyle y' = \frac{\sin x}{\cos y}$ , with $y(0) = \displaystyle \frac{\pi}{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 32번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

91.APEX · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 변수분리형 초깃값 문제의 특수해를 구하세요.

$\displaystyle y' = \frac{x^2}{1-y^2}$ , 단 $y(0) = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the particular solution to the separable initial value problem.

$\displaystyle y' = \frac{x^2}{1-y^2}$ , with $y(0) = 1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 13번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

92.APEX · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 변수분리형 초깃값 문제의 특수해를 구하세요.

$\displaystyle y' = \frac{2x}{y+x^2y}$ , 단 $y(0) = -4$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the particular solution to the separable initial value problem.

$\displaystyle y' = \frac{2x}{y+x^2y}$ , with $y(0) = -4$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.4절 · 11번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

93.APEX · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 변수분리형 초깃값 문제의 특수해를 구하세요.

$\displaystyle x + ye^{-x}y' = 0$ , 단 $y(0) = -2$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the particular solution to the separable initial value problem.

$\displaystyle x + ye^{-x}y' = 0$ , with $y(0) = -2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 20번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

94.APEX · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 변수분리형 초깃값 문제의 특수해를 구하세요.

$\displaystyle y' = \frac{x\ln(x^2+1)}{y-1}$ , 단 $y(0) = 2$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the particular solution to the separable initial value problem.

$\displaystyle y' = \frac{x\ln(x^2+1)}{y-1}$ , with $y(0) = 2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 6번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

95.APEX · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 변수분리형 초깃값 문제의 특수해를 구하세요.

$\displaystyle \sqrt{1-x^2}\,y' - \frac{\arcsin x}{y\cos(y^2)}= 0$ , 단 $y(0) = \sqrt{\displaystyle\frac{7\pi}{6}}$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the particular solution to the separable initial value problem.

$\displaystyle \sqrt{1-x^2}\,y' - \frac{\arcsin x}{y\cos(y^2)}= 0$ , with $y(0) = \sqrt{\displaystyle\frac{7\pi}{6}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 4번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

96.APEX · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 변수분리형 초깃값 문제의 특수해를 구하세요.

$\displaystyle y' = (\cos^2x)(\cos^2 2y)$ , 단 $y(0) = 0$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the particular solution to the separable initial value problem.

$\displaystyle y' = (\cos^2x)(\cos^2 2y)$ , with $y(0) = 0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 17번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

97.APEX · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 변수분리형 초깃값 문제의 특수해를 구하세요.

$\displaystyle y' = \frac{y^2\sqrt{1-y^2}}{x}$ , 단 $y(0) = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the particular solution to the separable initial value problem.

$\displaystyle y' = \frac{y^2\sqrt{1-y^2}}{x}$ , with $y(0) = 1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 23번

# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류

98.CLP-2 · 2.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래는 함수 $y=f(x)$ 와 미분방정식의 짝이다. 각 짝에 대해 그 함수가 미분방정식의 해인지 판단하세요.

$\begin{array}{c|l|l|}\text{ ~} & \text{\textbf{함수}} & \text{\textbf{미분방정식}} \\ \text{ (a)} & y=5(e^x-3x^2-6x-6) & \displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2 \\ \text{(b)} & y=\dfrac{-2}{x^2+1} & y'(x)=xy^2 \\ \text{(c)} & y=x^{3/2}+x & \displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y \\ \text{}\end{array}$

영어 원문 보기

Below are pairs of functions $y=f(x)$ and differential equations. For each pair, decide whether the function is a solution of the differential equation.

$\begin{array}{c|l|l|}\text{ ~} & \text{\textbf{function}} & \text{\textbf{differential equation}} \\ \text{ (a)} & y=5(e^x-3x^2-6x-6) & \displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2 \\ \text{(b)} & y=\dfrac{-2}{x^2+1} & y'(x)=xy^2 \\ \text{(c)} & y=x^{3/2}+x & \displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y \\ \text{}\end{array}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) $y=5(e^x-3x^2-6x-6)$ 이면 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 5(e^x-6x-6)$ 이다. 이것이 $y+15x^2$ 과 같은지 확인해 보자.

$\begin{aligned} y+15x^2&=5(e^x-3x^2-6x-6)+15x^2\\ &=5(e^x-3x^2-6x-6+3x^2)\\ &=5(e^x-6x-6)\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

따라서 $y=5(e^x-3x^2-6x-6)$ 은 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2$ 의 해가 맞다. (b) $y=\dfrac{-2}{x^2+1}$ 이면 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{4x}{(x+1)^2}$ 이다. 이것이 $xy^2$ 과 같은지 확인해 보자.

$\begin{aligned} xy^2&=x\left(\frac{-2}{x^2+1}\right)^2\\ &=\frac{4x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

따라서 $y=\dfrac{-2}{x^2+1}$ 은 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy^2$ 의 해가 맞다. (c) $y=x^{3/2}+x$ 이면 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{3}{2}\sqrt{x}+1$ 이다.

$\begin{aligned} \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\right)^2+\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\\ &=\frac{9}{4}x+\frac{9}{2}\sqrt{x}+2\\ &\neq \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

따라서 $y=x^{3/2}+x$ 는 미분방정식 $\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y$ 의 해가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If $y=5(e^x-3x^2-6x-6)$ , then $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 5(e^x-6x-6)$ . Let's see whether this is equal to $y+15x^2$ :

$\begin{aligned} y+15x^2&=5(e^x-3x^2-6x-6)+15x^2\\ &=5(e^x-3x^2-6x-6+3x^2)\\ &=5(e^x-6x-6)\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

So, $y=5(e^x-3x^2-6x-6)$ is indeed a solution to the differential equation $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2$ . (b) If $y=\dfrac{-2}{x^2+1}$ , then $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{4x}{(x+1)^2}$ . Let's see whether this is equal to $xy^2$ :

$\begin{aligned} xy^2&=x\left(\frac{-2}{x^2+1}\right)^2\\ &=\frac{4x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

So, $y=\dfrac{-2}{x^2+1}$ is indeed a solution to the differential equation $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy^2$ . (c) If $y=x^{3/2}+x$ , then $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{3}{2}\sqrt{x}+1$ .

$\begin{aligned} \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\right)^2+\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\\ &=\frac{9}{4}x+\frac{9}{2}\sqrt{x}+2\\ &\neq \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

So, $y=x^{3/2}+x$ is not a solution to the differential equation $\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 21번

# 변수분리형 미분방정식계산기본자동 분류

99.CLP-2 · 2.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

$y=f(x)$ 가 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ 의 해라고 하자.

참 또는 거짓: 임의의 상수 $C$ 에 대해 $f(x)+C$ 도 해이다.

영어 원문 보기

Suppose $y=f(x)$ is a solution to the differential equation $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ .

True or false: $f(x)+C$ is also a solution, for any constant $C$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=f(x)+C$ 가 이 미분방정식의 해라는 것은 다음을 뜻한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}&=x(f(x)+C) \\ \text{$y=f(x)$ 가 해이므로 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}=xf(x)$ 이다. 또한 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}$ 이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=xf(x)$ 이다.} \\ xf(x)&=x(f(x)+C)\\ 0&=xC \end{aligned}$

이 등식은 정의역의 모든 $x$ 에 대해 성립해야 하고, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하는 것이 의미를 가지려면 정의역이 한 점만으로 이루어져서는 안 된다. 따라서 정의역에는 $x \neq 0$ 인 $x$ 가 존재한다. 그러므로 $C$ 는 반드시 0이어야 한다. 즉, $f(x)+C$ 는 어떤 상수 $C$ 에 대해서도 이 미분방정식의 해가 아니다.

일반적인 부정적분을 구할 때에는 마지막에 “ $+C$ "를 더한다. 미분방정식의 일반해를 구할 때에는 부정적분을 하는 단계에서 “ $+C$ "가 더해지므로, 풀이 마지막에 또 하나를 더하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

To say $y=f(x)+C$ is a solution to the differential equation means:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}&=x(f(x)+C) \\ \text{Since $y=f(x)$ is a solution, we know $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}=xf(x)$. Also, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}$. So, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=xf(x)$.} \\ xf(x)&=x(f(x)+C)\\ 0&=xC \end{aligned}$

Our equation should hold for all $x$ in our domain, and for the derivative to $y$ with respect to $x$ to make sense, our domain should not be a single point. So, there is some $x$ in our domain such that $x \neq 0$ . Therefore, the $C$ must be zero. So, $f(x)+C$ is not a solution to the differential equation for any constant $C$ .

When we're finding a general antiderivative, we add “ $+C$ " at the end. When we're finding a general solution to a differential equation, the “ $+C$ " gets added when we antidifferentiate–we don't add another one at the end of our work.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 17번

# 변수분리형 미분방정식개념 확인기본자동 분류

100.CLP-2 · 2.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

함수 $y=f(x)$ 가 어떤 상수 $C>0$ 에 대해 $|y| = Cx$ 를 만족시킨다고 하자.

(a) 주어진 정보로 볼 때, $f(x)$ 의 정의역이 될 수 있는 가장 큰 범위는 무엇인지 구하세요. (b) 다음 성질을 모두 갖는 함수 $y=f(x)$ 의 예를 들거나, 그런 함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$|y| = Cx$ ,
모든 $x>0$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 가 존재하고,
어떤 $x$ 에서는 $y>0$ 이고, 다른 $x$ 에서는 $y<0$ 이다.

영어 원문 보기

Suppose a function $y=f(x)$ satisfies $|y| = Cx$ , for some constant $C>0$ .

(a) What is the largest possible domain of $f(x)$ , given the information at hand? (b) Give an example of function $y=f(x)$ with the following properties, or show that none exists:

$|y| = Cx$ ,
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ exists for all $x>0$ , and
$y>0$ for some values of $x$ , and $y<0$ for others.

정답·풀이 보기

(a) $y$ 가 어떤 값이든 $|y| \geq 0$ 이므로, $f(x)$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $Cx \ge 0$ 이다. $C$ 가 양수이므로 $f(x)$ 의 정의역에는 음이 아닌 수만 포함된다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역이 될 수 있는 가장 큰 범위는 $[0,\infty)$ 이다. (b) 존재하지 않는다.

아래 그림은 어떤 양의 상수 $C$ 에 대한 $Cx$ 의 그래프와 $-Cx$ 의 그래프이다. $y=f(x)$ 가 어떤 곳에서는 위쪽 함수이고 다른 곳에서는 아래쪽 함수라면, 그것이 바뀌는 곳에서 점프 불연속이 생긴다. 그러면 $f(x)$ 의 도함수가 존재하지 않게 되어 두 번째 성질에 어긋난다.

사소한 기술적 참고로, $x=0$ 에서 $f(x)=Cx$ 이고 $x>0$ 에서 $f(x)=-Cx$ 인 경우(또는 그 반대)가 가능하다. 이 경우에는 점프 불연속이 생기지 않지만, 어떤 $x$ 에서 $f(x)>0$ 이라는 조건은 만족시키지 못한다.

참고: 아래의 여러 경우에서, 미분방정식을 풀면 $|y|=g(x)$ 와 같은 결론에 이르게 된다. 이럴 때 우리는 $y=g(x)$ 또는 $y=-g(x)$ 중 하나를 택하며, $y=\pm g(x)$ (이것은 함수가 아니다)나 $y$ 가 어떤 곳에서는 $g(x)$ 이고 다른 곳에서는 $-g(x)$ 라고 택하지는 않는다. 위의 추론이 이 선택을 어느 정도 설명해 준다. $y$ 가 어떤 곳에서는 양수이고 다른 곳에서는 음수라면, $y$ 의 부호가 바뀌는 $x$ 의 값에서는 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 가 존재하지 않기 때문이다. 단, 그 부호 변화가 $g(x)$ 의 근에서 일어나는 경우는 예외이다. 그런 경우는 매우 특수하므로, 우리는 기술적인 세부 사항에 얽매이지 않기 위해 보통 이를 무시해도 안전하다고 본다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $|y| \geq 0$ no matter what $y$ is, we see $Cx \ge 0$ for all $x$ in the domain of $f(x)$ . Since $C$ is positive, that means the domain of $f(x)$ only includes nonnegative numbers. So, the largest possible domain of $f(x)$ is $[0,\infty)$ . (b) None exists.

The graph of $Cx$ is given below for some positive constant $C$ , also with the graph of $-Cx$ . If $y=f(x)$ were sometimes the top function, and other times the bottom function, then there would be a jump discontinuity where it switched. Then the derivative of $f(x)$ would not exist, violating the second property.

A tiny technical note is that it's possible that $f(x)=Cx$ when $x=0$ and $f(x)=-Cx$ when $x>0$ (or vice-versa). This would not introduce a jump discontinuity, but it also does not satisfy that $f(x)>0$ for some values of $x$ .

Remark: in several instances below, solving a differential equation will lead us to conclude something like $|y|=g(x)$ . In these cases, we choose either $y=g(x)$ , or $y=-g(x)$ , but not $y=\pm g(x)$ (which is not a function) or that $y$ is sometimes $g(x)$ , and other times $-g(x)$ . The reasoning above somewhat explains this choice: if $y$ were sometimes positive and sometimes negative, then $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ would not exist at the values of $x$ where the sign of $y$ switches, unless that switch occurrs at a root of $g(x)$ . Since that's a pretty specific occurrence, we usually feel safe ignoring it to avoid getting bogged down in technical details.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 28번

# 변수분리형 미분방정식증명·논술기본자동 분류