변수분리형 미분방정식 연습문제

101.CLP-2 · 2.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 문장(이 문장은 로잔대학교 약동학 웹사이트의 “소거 동역학”을 https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=94 에서 의역한 것이다. 모르핀의 반감기는 같은 웹사이트의 https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=85 에 나와 있다. 2017년 8월 12일에 접속함.)을 미분방정식으로 나타내세요. 방정식을 풀 필요는 없습니다.

혈류 속 모르핀 총량의 약 0.3 퍼센트가 매분 소거된다.

영어 원문 보기

Express the following sentence (The sentence is paraphrased from the Pharmakokinetics website of Universite de Lausanne, “Elimination Kinetics," at https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=94 . The half-life of morphine is given on the same website at https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=85 . Accessed 12 August 2017.) as a differential equation. You don't have to solve the equation.

About 0.3 percent of the total quantity of morphine in the bloodstream is eliminated every minute.

정답·풀이 보기

$Q(t)$ 를 시각 $t$ 에서 환자의 혈류 속 모르핀의 양이라 하자. 여기서 $t$ 는 분 단위로 잰다.

도함수의 정의에 의하여 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\lim_{h \to 0}\frac{Q(t+h)-Q(t)}{h}\approx \frac{Q(t+1)-Q(t)}{1}$ 이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 는 $t$ 부터 $t+1$ 까지 1분 동안 모르핀 양의 변화량과 거의 같다.

문장에 의하면 1분 동안 모르핀 양의 변화량은 약 $-0.003Q$ 이다. 여기서 $Q$ 는 혈류 속 모르핀의 양이다. 즉 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-0.003Q(t)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $Q(t)$ be the quantity of morphine in a patient's bloodstream at time $t$ , where $t$ is measured in minutes.

Using the definition of a derivative, $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\lim_{h \to 0}\frac{Q(t+h)-Q(t)}{h}\approx \frac{Q(t+1)-Q(t)}{1}$ So, $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ is roughly the change in the amount of morphine in one minute, from $t$ to $t+1$ .

The sentence tells us that the change in the amount of morphine in one minute is about $-0.003Q$ , where $Q$ is the quantity in the bloodstream. That is: $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-0.003Q(t)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 15번

# 변수분리형 미분방정식활용기본자동 분류

102.CLP-2 · 2.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

어떤 언어에서 특정한 변화가 옛 형태에서 새 형태로 일어나고 있다고 합시다. ( 한 예로 독일어 동사 "볼렌(wollen)"의 2인칭 활용이 "볼트(wollt)"에서 "볼스트(wollst)"로 바뀐 것이 있습니다. 이 예는 사이트 계량언어학의 법칙(Laws in Quantitative Linguistics)의 "언어 변화(Change in Language)" http://lql.uni-trier.de/index.php/Change_in_language 에서 가져왔으며, 2017년 8월 18일에 접속했습니다. ) $p(t)$ 를 화자가 새 형태를 사용하는 시간의 비율(0은 전혀 사용하지 않음, 1은 항상 사용함을 뜻하며 0과 1 사이의 수로 나타냄)이라 하세요. 피오트로프스키의 법칙(피오트로프스키의 법칙은 글롯토피디아(Glottopedia)의 피오트로프스키 법칙(Piotrowski-Gesetz) 쪽, http://www.glottopedia.org/index.php/Piotrowski-Gesetz 의 내용을 풀어 쓴 것이며, 2017년 8월 18일에 접속했습니다. 이 출처에 따르면 이 법칙은 부부인 R. G. 피오트로프스키와 A. A. 피오트로프스카야의 연구를 바탕으로 하며, 이후 G. 알트만이 일반화했습니다.)은 다음을 예측합니다.

새 형태의 사용은 시간이 지남에 따라, 새 형태의 비율과 옛 형태의 비율의 곱에 비례하는 변화율로 퍼진다.

이를 미분방정식으로 나타내세요. 미분방정식을 풀 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

Suppose a particular change is occurring in a language, from an old form to a new form. ( An example is the change in German from “wollt" to “wollst" for the second-person conjugation of the verb “wollen." This example is provided by the site Laws in Quantitative Linguistics, “Change in Language" http://lql.uni-trier.de/index.php/Change_in_language accessed 18 August 2017. ) Let $p(t)$ be the proportion (measured as a number between 0, meaning none, and 1, meaning all) of the time that speakers use the new form. Piotrowski's law (Piotrowski's law is paraphrased from the page Piotrowski-Gesetz on Glottopedia, http://www.glottopedia.org/index.php/Piotrowski-Gesetz, accessed 18 August 2017. According to this source, the law was based on work by the married couple R. G. Piotrowski and A. A. Piotrowskaja, later generalized by G. Altmann. ) predicts the following.

Use of the new form over time spreads at a rate that is proportional to the product of the proportion of the new form and the proportion of the old form.

Express this as a differential equation. You do not need to solve the differential equation.

정답·풀이 보기

$p(t)$ 가 화자가 새 형태를 사용하는 시간의 비율이고 0과 1 사이의 값이므로, $1-p(t)$ 는 화자가 옛 형태를 사용하는 시간의 비율이다.

따라서 이 법칙은 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$ 가 $p(t)\times \big(1-p(t)\big)$ 에 비례한다고 말한다. 두 양이 비례한다는 것은 한 양이 다른 양의 상수 배라는 뜻이다. 그러므로 이 법칙은 어떤 상수 $\alpha$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\alpha p(t)\big(1-p(t)\big)$ 임을 뜻한다.

참고: 이 모형에 따르면 새 형태가 매우 드물거나 완전히 보편화되었을 때 그 채택의 변화율은 작다. 이는 타당하다. 새 형태가 항상 쓰이면( $p(t)\approx 1$ ) 새로 바꿀 사람이 남아 있지 않고, 새 형태가 거의 쓰이지 않으면( $p(t)\approx 0$ ) 사람들이 그 형태를 알지 못하므로 따라 쓰지 않기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $p(t)$ is the proportion of times speakers use the new form, measured between 0 and 1, then $1-p(t)$ is the proportion of times speakers use the old form.

The law, then, states that $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$ is proportional to $p(t)\times \big(1-p(t)\big)$ . When we say two quantities are proportional, we mean that one is a constant multiple of the other. So, the law says $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\alpha p(t)\big(1-p(t)\big)$ for some constant $\alpha$ .

Remark: it follows from this model that, when a new form is either very rare or entirely ubiquitous, the rate of change of its adoption is small. This makes sense: if the new form is used all the time ( $p(t)\approx 1$ ), there's nobody left to convert; if the new form is almost never used ( $p(t)\approx 0$ ) then people don't know about it, so they won't pick it up.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 14번

# 변수분리형 미분방정식활용기본자동 분류

103.CLP-2 · 2.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

변수분리형 초깃값 문제의 해를 구하세요:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{2x}{e^y}, &y(0) &= \log 2 \end{aligned}$

해를 $y = y(x)$ 꼴로 명시적으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the solution to the separable initial value problem:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{2x}{e^y}, &y(0) &= \log 2 \end{aligned}$

Express your solution explicitly as $y = y(x)$ .

정답·풀이 보기

정리하면 다음과 같다:

$\begin{aligned} e^y\,\mathrm{d}y &= 2x\,\mathrm{d}x. \\ \text{ 양변을 적분하면: } \\ \int e^y\,\mathrm{d}y &= \int 2x\,\mathrm{d}x\\ e^y &= x^2+C \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=\log2$ 이므로} \\ e^{\log 2} &= 0^2+C \\ 2 &= C, \\ \text{따라서} \\ e^{y} &= x^2+2 \\ y &= \log(x^2+2) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Rearranging, we have:

$\begin{aligned} e^y\,\mathrm{d}y &= 2x\,\mathrm{d}x. \\ \text{ Integrating both sides: } \\ \int e^y\,\mathrm{d}y &= \int 2x\,\mathrm{d}x\\ e^y &= x^2+C \\ \text{Since $y=\log2$ when $x=0$, we have} \\ e^{\log 2} &= 0^2+C \\ 2 &= C, \\ \text{and therefore} \\ e^{y} &= x^2+2 \\ y &= \log(x^2+2) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 5번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

104.CLP-2 · 2.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

미분방정식 $y'(t)=e^{\frac{y}{3}}\cos t$ 를 푸세요. 해 $y(t)$ 를 $t$ 에 대한 식으로 명시적으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Solve the differential equation $y'(t)=e^{\frac{y}{3}}\cos t$ . You should express the solution $y(t)$ in terms of $t$ explicitly.

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} y'&=e^{\frac{y}{3}}\cos t\\ e^{-y/3}\mathrm{d}y&=\cos t\,\mathrm{d}t\\ \int e^{-y/3}\mathrm{d}y&=\int\cos t\,\mathrm{d}t\\ -3e^{-y/3}&=\sin t +C\\ \frac{1}{e^{y/3}}&=\frac{\sin t +C}{-3}\\ e^{y/3} &=\frac{-3}{C+\sin t} \\ \frac{y}{3}&=\log\left(\frac{-3}{C+\sin t}\right) \\y(t)&=3\log\left(\frac{-3}{C+\sin t}\right) \end{aligned}$

단, $C$ 는 임의의 상수이다.

로그의 정의역이 $(0,\infty)$ 이므로 해는 $C+\sin t<0$ 일 때만 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} y'&=e^{\frac{y}{3}}\cos t\\ e^{-y/3}\mathrm{d}y&=\cos t\,\mathrm{d}t\\ \int e^{-y/3}\mathrm{d}y&=\int\cos t\,\mathrm{d}t\\ -3e^{-y/3}&=\sin t +C\\ \frac{1}{e^{y/3}}&=\frac{\sin t +C}{-3}\\ e^{y/3} &=\frac{-3}{C+\sin t} \\ \frac{y}{3}&=\log\left(\frac{-3}{C+\sin t}\right) \\y(t)&=3\log\left(\frac{-3}{C+\sin t}\right) \end{aligned}$

for any constant $C$ .

Since the domain of logarithm is $(0,\infty)$ , the solution only exists when $C+\sin t<0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 13번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

105.CLP-2 · 2.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

미분방정식

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x e^{x^2-\log(y^2)}$

을 푸세요.

영어 원문 보기

Solve the differential equation

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x e^{x^2-\log(y^2)}$

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= x e^{x^2-\log(y^2)} =\frac{x e^{x^2}}{y^2}\\ y^2\mathrm{d}y&=x e^{x^2}\,\mathrm{d}x\\ \int y^2\mathrm{d}y&=\int x e^{x^2}\,\mathrm{d}x \\ \text{$xe^{x^2}$ 의 부정적분을 추측하거나, 치환 $u=x^2$, $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ 를 이용할 수 있다.} \\ \frac{y^3}{3}&=\frac{1}{2} e^{x^2}+C'\\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+3C' \\ \text{$C'$ 은 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수이므로 $3C'$ 도 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수이다. 따라서 $3C'$ 을 임의의 상수 $C$ 로 바꾼다.} \\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+C \\y&=\sqrt[3]{\frac{3}{2} e^{x^2}+C} \end{aligned}$

단, $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= x e^{x^2-\log(y^2)} =\frac{x e^{x^2}}{y^2}\\ y^2\mathrm{d}y&=x e^{x^2}\,\mathrm{d}x\\ \int y^2\mathrm{d}y&=\int x e^{x^2}\,\mathrm{d}x \\ \text{We can guess the antiderivative of $xe^{x^2}$, or use the substitution $u=x^2$, $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$.} \\ \frac{y^3}{3}&=\frac{1}{2} e^{x^2}+C'\\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+3C' \\ \text{Since $C'$ can be any constant in $(-\infty,\infty)$, then also $3C'$ can be any constant in $(-\infty,\infty)$, so we replace $3C'$ with the arbitrary constant $C$.} \\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+C \\y&=\sqrt[3]{\frac{3}{2} e^{x^2}+C} \end{aligned}$

for any constant $C$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 10번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

106.CLP-2 · 2.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

$y=y(x)$ 라 하자. 미분방정식 $y'=xe^y$ 의 일반해를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $y=y(x)$ . Find the general solution of the differential equation $y'=xe^y$ .

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=xe^y\\ \frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=x\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=\int x\,\mathrm{d}x\\ -e^{-y}&=\frac{1}{2} x^2+C\\ e^{-y}&=-\frac{1}{2} x^2-C \\ \text{$C$ 는 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수가 될 수 있으므로 $-C$ 도 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수가 될 수 있다. 따라서 $-C$ 대신 $C$ 로 쓴다.} \\ e^{-y}&=C-\frac{1}{2} x^2 \\-y&=\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \\y&=-\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \end{aligned}$

여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

해는 $C-\frac{x^2}{2}>0$ 일 때에만 존재한다. 이를 만족시키려면 $C>0$ 이어야 하고, 이때 이 함수의 정의역은 $|x|<\sqrt{2C}$ 를 만족시키는 $x$ 의 값들이다.

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=xe^y\\ \frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=x\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=\int x\,\mathrm{d}x\\ -e^{-y}&=\frac{1}{2} x^2+C\\ e^{-y}&=-\frac{1}{2} x^2-C \\ \text{Since $C$ can be any constant in $(-\infty,\infty)$, then also $-C$ can be any constant in $(-\infty,\infty)$, so we write $C$ instead of $-C$.} \\ e^{-y}&=C-\frac{1}{2} x^2 \\-y&=\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \\y&=-\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \end{aligned}$

for any constant $C$ .

The solution only exists for $C-\frac{x^2}{2}>0$ . For this to happen, we need $C>0$ , and then the domain of the function is those values $x$ for which $|x|<\sqrt{2C}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 6번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

107.CLP-2 · 2.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

미분방정식 $\displaystyle\frac{y y'}{e^x -2x} = \frac{1}{y}$ 의 해 중에서 $y(0) = 3$ 을 만족시키는 것을 구하세요. $y$ 를 $x$ 의 함수로 완전히 풀어서 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the solution to the differential equation $\displaystyle\frac{y y'}{e^x -2x} = \frac{1}{y}$ that satisfies $y(0) = 3$ . Solve completely for $y$ as a function of $x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다. 양변에 교차하여 곱해서 방정식을 다음과 같이 고쳐 쓴다.

$\begin{aligned} y^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= e^x -2x\\ y^2 \,\mathrm{d}y &= (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x. \\ \text{ 양변을 적분하면} \\ \int y^2 \,\mathrm{d}y &=\int (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x\\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + C \\ \text{$x = 0$, $y = 3$ 을 대입하면 $\frac{1}{3}3^3=e^0-0^2+C$ 이므로 $C=8$ 이다.} \\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + 8\\ y &= (3e^x -3x^2+ 24)^{1/3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly. Cross–multiplying, we rewrite the equation as

$\begin{aligned} y^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= e^x -2x\\ y^2 \,\mathrm{d}y &= (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x. \\ \text{ Integrating both sides, we find} \\ \int y^2 \,\mathrm{d}y &=\int (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x\\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + C \\ \text{Setting $x = 0$ and $y = 3$, we find $\frac{1}{3}3^3=e^0-0^2+C$ and hence $C=8$.} \\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + 8\\ y &= (3e^x -3x^2+ 24)^{1/3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 1번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

108.CLP-2 · 2.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $y=f(x)$ 를 구하세요.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -xy^3 \qquad\text{그리고}\qquad f(0)=-\frac{1}{4} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Find the function $y=f(x)$ that satisfies

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -xy^3 \qquad\text{and}\qquad f(0)=-\frac{1}{4} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

이것은 변수분리형 미분방정식이며, 다음과 같이 통상의 방법으로 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -xy^3\\ - \frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= x\ \mathrm{d}x\\ \int -\frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= \int x\ \mathrm{d}x\\ - \frac{y^{-2}}{-2} &= \frac{x^2}{2}+C\\ y^{-2}&=x^2+2C. \tag{$*$} \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=-\frac{1}{4}$ 이려면 $C$ 를 다음을 만족하도록 택해야 한다} \\ {\Big(-\frac{1}{4} \Big)}^{-2}& =0 +2C\\ 16&= 2C \\ \text{따라서 ($*$)에서,} \\ y^{-2}&=x^2+2C =x^2+16\\ y^2&=\frac{1}{x^2+16} \\ \text{이제 $y(x)$ 의 후보는 두 가지이다:} \\ y&=\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}\qquad\text{또는}\qquad y=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=-\frac14$ 임을 안다. 위의 함수 중 이에 맞는 것은 다음뿐이다.} \\ y&=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}$

따라서 $f(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{x^2+16}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a separable differential equation that we solve in the usual way.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -xy^3\\ - \frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= x\ \mathrm{d}x\\ \int -\frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= \int x\ \mathrm{d}x\\ - \frac{y^{-2}}{-2} &= \frac{x^2}{2}+C\\ y^{-2}&=x^2+2C. \tag{$*$} \\ \text{To have $y=-\frac{1}{4}$ when $x=0$, we must choose $C$ to obey} \\ {\Big(-\frac{1}{4} \Big)}^{-2}& =0 +2C\\ 16&= 2C \\ \text{So, from ($*$),} \\ y^{-2}&=x^2+2C =x^2+16\\ y^2&=\frac{1}{x^2+16} \\ \text{Now, we have two potential candidates for $y(x)$:} \\ y&=\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}\qquad\text{OR}\qquad y=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \\ \text{We know $y=-\frac14$ when $x=0$. The only function above that fits this is } \\ y&=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}$

So, $f(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{x^2+16}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 4번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

109.CLP-2 · 2.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

$y(1)=4$ 이고 다음을 만족시키는 함수 $y=y(x)$ 를 구하세요.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{15x^2 + 4x + 3}{y}$

영어 원문 보기

Find the function $y=y(x)$ that satisfies $y(1)=4$ and

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{15x^2 + 4x + 3}{y}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이것은 변수분리형 미분방정식이며 일반적인 방법으로 푼다. 양변을 정리하여 변수를 분리하고 적분하면,

$\begin{aligned} y\,\mathrm{d}y &= (15x^2 + 4x + 3) \,\mathrm{d}x \\ \int y\,\mathrm{d}y &= \int (15x^2 + 4x + 3) \,\mathrm{d}x \\ \frac{y^2}{2} &= 5x^3 + 2x^2 + 3x + C. \\ \text{$x=1$ 과 $y=4$ 를 대입하면 $ \frac{4^2}2 = 5+2+3+C $ 이므로 $C=-2$ 이다. 따라서} \\ \frac{y^2}{2} &= 5x^3 + 2x^2 + 3x - 2 \\ y^2 &= 10x^3 + 4x^2 + 6x - 4 \\ \text{그러면 $y$ 가 될 수 있는 함수는 다음 두 가지이다:} \\ y = \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} &\qquad\text{또는}\qquad y = - \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} \\ \text{$x=1$ 일 때 $y=4$ 이다. 이것은 첫 번째 식에만 맞으므로} \\ y &= \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is a separable differential equation that we solve in the usual way. Cross-multiplying and integrating,

$\begin{aligned} y\,\mathrm{d}y &= (15x^2 + 4x + 3) \,\mathrm{d}x \\ \int y\,\mathrm{d}y &= \int (15x^2 + 4x + 3) \,\mathrm{d}x \\ \frac{y^2}{2} &= 5x^3 + 2x^2 + 3x + C. \\ \text{Plugging in $x=1$ and $y=4$ gives $ \frac{4^2}2 = 5+2+3+C, $ and so $C=-2$. Therefore} \\ \frac{y^2}{2} &= 5x^3 + 2x^2 + 3x - 2 \\ y^2 &= 10x^3 + 4x^2 + 6x - 4 \\ \text{This leaves us with two possible functions for $y$:} \\ y = \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} &\qquad\text{OR}\qquad y = - \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} \\ \text{When $x=1$, $y=4$. This only fits the first equation, so} \\ y &= \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 7번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

110.CLP-2 · 2.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

$y(0)=1$ 일 때, $y'=x^3y$ 의 해 $y(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the solution $y(x)$ of $y'=x^3y$ with $y(0)=1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=x^3y \\\frac{\mathrm{d}y}{y}&=x^3\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{y}&=\int x^3\,\mathrm{d}x\\ \log|y|&=\frac{x^4}{4}+C\\ |y|&=e^{x^4/4+C}=e^{x^4/4}e^C \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=1$ 이라고 주어져 있다. 즉 $1=e^0e^C$ 이므로 $e^C=1$ 이다. 즉 $C=0$ 이다.} \\ |y|&=e^{x^4/4} \\ \text{따라서 가능한 함수는 다음 두 가지가 남는다:} \\ y=e^{x^4/4}&\qquad\text{또는}\qquad y=-e^{x^4/4} \\ \text{첫째 함수는 항상 양수이고, 둘째 함수는 항상 음수이다. $x=0$ 일 때 $y=1$ (양수)이므로 다음을 얻는다} \\ y&=e^{x^4/4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=x^3y \\\frac{\mathrm{d}y}{y}&=x^3\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{y}&=\int x^3\,\mathrm{d}x\\ \log|y|&=\frac{x^4}{4}+C\\ |y|&=e^{x^4/4+C}=e^{x^4/4}e^C \\ \text{We are told that $y=1$ when $x=0$. That is, $1=e^0e^C$, so $e^C=1$. That is, $C=0$.} \\ |y|&=e^{x^4/4} \\ \text{This leaves us with two potential functions:} \\ y=e^{x^4/4}&\qquad\text{OR}\qquad y=-e^{x^4/4} \\ \text{The first is always positive, and the second is always negative. Since $y=1$ (a positive number) when $x=0$, we see} \\ y&=e^{x^4/4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 21번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

111.CLP-2 · 2.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

초깃값 문제를 푸세요.

$x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = y^2\qquad y(1) = -1$

영어 원문 보기

Solve the initial value problem

$x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = y^2\qquad y(1) = -1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이 미분방정식은 그렇게 보이지 않더라도 변수분리형이다. 먼저 좌변의 $y$ 를 우변으로 옮긴다.

$\begin{aligned} x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y&=y^2\\ x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &=y^2-y =y(y-1) \\ \frac{\mathrm{d}y}{y(y-1)} &=\frac{\mathrm{d}x}{x} \\ \text{부분분수 분해를 이용하면 $\frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}$ 임을 알 수 있다.} \\ \left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\right)\,\mathrm{d}y &=\frac{\mathrm{d}x}{x}\\ \int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\right)\,\mathrm{d}y &=\int\frac{\mathrm{d}x}{x}\\ \log|y-1|-\log|y| &=\log |x| + C \\ \log\frac{|y-1|}{|y|}&=\log|x|+C \tag{$*$} \\ \text{$C$를 구하기 위해 $x=1$, $y=-1$을 대입한다. } \\ \log\frac{|-2|}{|-1|}&=\log|1|+C\\ \log 2&=C \\ \text{($*$)로 돌아가면,} \\ \log\frac{|y-1|}{|y|}&=\log|x|+\log 2\\ \log\left|\frac{y-1}{y}\right|&=\log|2x|\\ \left|\frac{y-1}{y}\right|&=|2x| \\ \text{$y(1)=-1$이 초기 조건이므로 $x\ge 1$이고 $|2x|=2x$이다. $x=1$일 때 $y=-1$이다. 따라서 적어도 $x$가 $1$ 근처일 때는 $y$가 $-1$ 근처이므로 $\frac{y-1}{y}$는 양수이고 절댓값 기호를 없앨 수 있다. 더 큰 $x>1$에서 $\frac{y(x)-1}{y(x)}$의 부호가 바뀔 가능성이 남아 있다. 지금은 그 가능성을 일단 무시한다. 마지막에, 구한 $y(x)$가 미분방정식 $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=y^2$과 초기 조건 $y(1)=-1$을 정말로 만족시키는지 직접 확인할 것이다.} \\ \frac{y-1}{y}&=2x\\ y-1&=2xy\\ y-2xy&=1\\ y(1-2x)&=1\\ y&=\frac{1}{1-2x} \end{aligned}$

검산을 위해 계산하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y&=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1-2x}\right\}+y\\ &=x\frac{2}{(1-2x)^2}+\frac{1}{1-2x}\\ &=\frac{2x+(1-2x)}{(1-2x)^2}\\ &=\frac{1}{(1-2x)^2}\\ &=y^2 \\ \text{따라서 미분방정식을 만족시킨다. 또한,} \\ y(1)&=\frac{1}{1-2\times 1}=-1 \end{aligned}$

이므로 조건을 만족시킨다. 이로써 구한 해가 옳음이 확인된다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a separable differential equation, even if it doesn't quite look like it. First move the $y$ from the left hand side to the right hand side.

$\begin{aligned} x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y&=y^2\\ x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &=y^2-y =y(y-1) \\ \frac{\mathrm{d}y}{y(y-1)} &=\frac{\mathrm{d}x}{x} \\ \text{Using the method of partial fractions, we see $\frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}.$} \\ \left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\right)\,\mathrm{d}y &=\frac{\mathrm{d}x}{x}\\ \int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\right)\,\mathrm{d}y &=\int\frac{\mathrm{d}x}{x}\\ \log|y-1|-\log|y| &=\log |x| + C \\ \log\frac{|y-1|}{|y|}&=\log|x|+C \tag{$*$} \\ \text{To determine $C$ we set $x=1$ and $y=-1$. } \\ \log\frac{|-2|}{|-1|}&=\log|1|+C\\ \log 2&=C \\ \text{Returning to ($*$),} \\ \log\frac{|y-1|}{|y|}&=\log|x|+\log 2\\ \log\left|\frac{y-1}{y}\right|&=\log|2x|\\ \left|\frac{y-1}{y}\right|&=|2x| \\ \text{As $y(1)=-1$ is an initial condition, we have that $x\ge 1$ and $|2x|=2x$. For $x=1$, we have $y=-1$. So at least for $x$ near $1$, we have $y$ near $-1$, so that $\frac{y-1}{y}$ is positive and we may drop the absolute value signs. There remains the possibility that $\frac{y(x)-1}{y(x)}$ changes sign for some larger $x>1$. For now, we will simply ignore that possibility. At the end, we will explicitly check that the $y(x)$ we come up with really does satisfy the differential equation $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=y^2$ and the initial condition $y(1)=-1$.} \\ \frac{y-1}{y}&=2x\\ y-1&=2xy\\ y-2xy&=1\\ y(1-2x)&=1\\ y&=\frac{1}{1-2x} \end{aligned}$

As a check, we compute:

$\begin{aligned} x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y&=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1-2x}\right\}+y\\ &=x\frac{2}{(1-2x)^2}+\frac{1}{1-2x}\\ &=\frac{2x+(1-2x)}{(1-2x)^2}\\ &=\frac{1}{(1-2x)^2}\\ &=y^2 \\ \text{So, our differential equation is satisfied. Furthermore:} \\ y(1)&=\frac{1}{1-2\times 1}=-1 \end{aligned}$

as desired. This confirms that our solution is correct.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 20번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

112.CLP-2 · 2.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x)$ 는 항상 양수이고, $f(0)=e$ 이며 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) = x\,f(x)$ 를 만족시킵니다. 이 함수를 구하세요.

영어 원문 보기

A function $f(x)$ is always positive, has $f(0)=e$ and satisfies $f'(x) = x\,f(x)$ for all $x$ . Find this function.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

미지의 함수 $f(x)$ 는 $f$ 의 도함수가 포함된 방정식을 만족시킨다. 즉, 미분방정식을 다루는 문제이다. 구체적으로, $y=f(x)$ 가 다음의 변수분리형 미분방정식을 따른다고 주어져 있다. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ .

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= xy\\ \frac{\mathrm{d}y}{y} &= x\,\mathrm{d}x \\ \int \frac{\mathrm{d}y}{y} &= \int x\, \mathrm{d}x \\ \log|y| &=\frac{x^2}{2} + C \\ \\ \text{$C$ 를 구하기 위해 $x=0$ 과 $y=e$ 를 대입한다.} \\ \log e &=\frac{0^2}{2}+ C\\ 1&= C \\ \text{따라서 해는 다음과 같다.} \\ \log|y|&= \frac{x^2}{2} + 1 \\ \text{$y=f(x)>0$ 이 주어졌으므로 절댓값 기호를 없앨 수 있다.} \\ \log y &= \frac{x^2}{2}+1 \\ y&=e^{1+\frac{1}{2}x^2}=e\cdot e^{x^2/2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The unknown function $f(x)$ satisfies an equation that involves the derivative of $f$ . That means we're in differential equation territory. Specifically, we are told that $y=f(x)$ obeys the separable differential equation $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ .

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= xy\\ \frac{\mathrm{d}y}{y} &= x\,\mathrm{d}x \\ \int \frac{\mathrm{d}y}{y} &= \int x\, \mathrm{d}x \\ \log|y| &=\frac{x^2}{2} + C \\ \\ \text{To determine $C$ we set $x=0$ and $y=e$.} \\ \log e &=\frac{0^2}{2}+ C\\ 1&= C \\ \text{So, the solution is } \\ \log|y|&= \frac{x^2}{2} + 1 \\ \text{We are told that $y=f(x)>0$, so may drop the absolute value signs.} \\ \log y &= \frac{x^2}{2}+1 \\ y&=e^{1+\frac{1}{2}x^2}=e\cdot e^{x^2/2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 12번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

113.CLP-2 · 2.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 푸세요:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{(x^2+x)y}\qquad y(1)=2 \end{aligned}$

영어 원문 보기

Solve the following initial value problem:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{(x^2+x)y}\qquad y(1)=2 \end{aligned}$

정답·풀이 보기

이것은 변수분리형 미분방정식이다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &=\frac{1}{(x^2+x)y}\\ y\,\mathrm{d}y &=\frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} \\ \text{부분분수 분해를 이용하면 $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ 임을 알 수 있다.} \\ y\,\mathrm{d}y &=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,\mathrm{d}x\\ \int y\,\mathrm{d}y &=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,\mathrm{d}x\\ \frac{y^2}{2}&=\log|x|-\log|x+1|+C = \log\left| \frac{x}{x+1}\right|+C\\ \\ \text{초기 조건 $y(1)=2$ 를 만족하려면 $C$ 를 다음이 성립하도록 택해야 한다.} \\ \frac{2^2}{2} &= \log\left|\frac{1}{1+1}\right|+C\\ 2&=\log\frac12+C\\ C&=2-\log\frac{1}{2} \\ \text{따라서,} \\ \frac{y^2}{2}&= \log\left| \frac{x}{x+1}\right|+2-\log\frac{1}{2}\\ y^2&= 2\log\left| \frac{x}{x+1}\right|+4-2\log\frac{1}{2} \\ \text{문제에서 $y(1)=2$ 를 초기 조건으로 주었으므로 항상 $x\ge 1$ 이다. 그러면 $\frac{x}{x+1}$ 는 양수이므로 절댓값 기호를 없앨 수 있다.} \\ y^2&= 2\log \frac{x}{x+1}+4-2\log\frac{1}{2} \\ \text{이제 $y(x)$ 는 위 오른쪽 변의 양의 제곱근 또는 음의 제곱근, 두 가지가 가능하다. $y(1)=2$ 가 양수이므로 양의 제곱근을 택해야 한다.} \\ y(x)&=\sqrt{2\Big(\log\frac{x}{x+1}-\log\frac{1}{2}+2\Big)}\\ &=\sqrt{4+2\log\frac{2x}{x+1}} \end{aligned}$

어떤 $x>1$ 에서 $y(x)$ 가 0 을 지나 부호가 바뀔 수도 있지 않을까 걱정할 수 있다. 그러나 미분방정식에 따르면 $y>0$ 이고 $x\ge 1$ 일 때마다 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{(x^2+x)y}$ 는 양수이다. 따라서 $y>0$ 이고 $x\ge 1$ 인 동안 $y(x)$ 는 증가함수이다. $y(1)=2$ 이므로 모든 $x\ge 1$ 에 대해 $y(x)\ge 2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a separable differential equation.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &=\frac{1}{(x^2+x)y}\\ y\,\mathrm{d}y &=\frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} \\ \text{Using partial fractions decomposition, we find $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$.} \\ y\,\mathrm{d}y &=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,\mathrm{d}x\\ \int y\,\mathrm{d}y &=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,\mathrm{d}x\\ \frac{y^2}{2}&=\log|x|-\log|x+1|+C = \log\left| \frac{x}{x+1}\right|+C\\ \\ \text{To satisfy the initial condition $y(1)=2$ we must choose $C$ to obey} \\ \frac{2^2}{2} &= \log\left|\frac{1}{1+1}\right|+C\\ 2&=\log\frac12+C\\ C&=2-\log\frac{1}{2} \\ \text{So,} \\ \frac{y^2}{2}&= \log\left| \frac{x}{x+1}\right|+2-\log\frac{1}{2}\\ y^2&= 2\log\left| \frac{x}{x+1}\right|+4-2\log\frac{1}{2} \\ \text{Note that the question specifies that $y(1)=2$ is an initial condition. So we always have $x\ge 1$. Then $\frac{x}{x+1}$ is positive, and we can drop the absolute values.} \\ y^2&= 2\log \frac{x}{x+1}+4-2\log\frac{1}{2} \\ \text{This leaves two options for $y(x)$: the positive or negative square root of the right hand side above. Since $y(1)=2$, which is positive, we must choose the positive square root.} \\ y(x)&=\sqrt{2\Big(\log\frac{x}{x+1}-\log\frac{1}{2}+2\Big)}\\ &=\sqrt{4+2\log\frac{2x}{x+1}} \end{aligned}$

You might worry that $y(x)$ could pass through zero, changing sign, at some $x>1$ . But the differential equation says that $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{(x^2+x)y}$ is positive whenever $y>0$ and $x\ge 1$ . So $y(x)$ is an increasing function whenever $y>0$ and $x\ge 1$ . As $y(1)=2$ , we have $y(x)\ge 2$ for all $x\ge 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 19번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

114.CLP-2 · 2.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

미분방정식 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x} y' = \frac{\sec x}y$ 의 해 중에서 $y(0)=2$ 를 만족시키는 것을 구하세요. $y$ 를 $x$ 에 대한 식으로 나타낼 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

Find the solution of the differential equation $\displaystyle \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x} y' = \frac{\sec x}y$ that satisfies $y(0)=2$ . You don't have to solve for $y$ in terms of $x$ .

정답·풀이 보기

이것은 변수분리형 미분방정식이다.

$\begin{aligned} \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\sec x}y\\ y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \int y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \int \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \\ \text{좌변의 적분은 치환 $u={y^2-4}$, $\frac12\mathrm{d}u=y\,\mathrm{d}y$ 를 이용한다.} \\ \frac{1}{2}\int \big(1+\sqrt{u}\big)\,\mathrm{d}u&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(u+\frac{2}{3}u^{3/2}\right)&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(y^2-4+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}\right)&=\sec x +C \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2C+4 \\ \text{$C$ 를 구하기 위해 $x=0$, $y=2$ 를 대입한다.} \\ 4+\frac{2}{3}\sqrt{4-4}^3&=2\sec (0)+2C+4\\ 4&=2+2C+4\\ 2&=2C+4 \\ \text{따라서} \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is a separable differential equation.

$\begin{aligned} \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\sec x}y\\ y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \int y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \int \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \\ \text{For the integral on the left, we use the substitution $u={y^2-4}$, $\frac12\mathrm{d}u=y\,\mathrm{d}y$.} \\ \frac{1}{2}\int \big(1+\sqrt{u}\big)\,\mathrm{d}u&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(u+\frac{2}{3}u^{3/2}\right)&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(y^2-4+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}\right)&=\sec x +C \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2C+4 \\ \text{To find $C$ we set $x=0$ and $y=2$.} \\ 4+\frac{2}{3}\sqrt{4-4}^3&=2\sec (0)+2C+4\\ 4&=2+2C+4\\ 2&=2C+4 \\ \text{So,} \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 18번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

115.CLP-2 · 2.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

어떤 호수의 물고기 개체 수가 시각 $t=0$ 에 병에 걸렸고, 그 결과 시각 $t\ge 0$ 에서의 개체 수 $P(t)$ 가 다음을 만족시킨다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-k\sqrt{P} \end{aligned}$

여기서 $k$ 는 양의 상수이다. 처음에 호수에 물고기가 90,000마리 있었고 6주 후에 40,000마리가 남았다면, 물고기 개체 수가 10,000마리로 줄어드는 것은 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

The fish population in a lake is attacked by a disease at time $t=0$ , with the result that the size $P(t)$ of the population at time $t\ge 0$ satisfies

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-k\sqrt{P} \end{aligned}$

where $k$ is a positive constant. If there were initially 90,000 fish in the lake and 40,000 were left after 6 weeks, when will the fish population be reduced to 10,000?

답 쓰고 채점

주

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=-k\sqrt{P}\\ \frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=-k\,\mathrm{d}t\\ \int\frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=\int-k\,\mathrm{d}t\\ 2\sqrt{P}&=-kt+C \\ \text{$t=0$ 일 때 $P=90,000$ 이므로 } \\ 2\sqrt{90,000}&=-k\times 0+C\\ C&=2\times 300=600 \\ \text{따라서} \\ 2\sqrt{P}&=-kt+600\tag{$*$} \\ \text{이제 $k$ 를 구한다. $t$ 를 주 단위로 나타내자. 그러면 $t=6$ 일 때 $P=40,000$ 이다.} \\ 2\sqrt{40,000}&=-6k+600\\ 2\cdot 200&=-6k+600\\ k&=\frac{200}{6} = \frac{100}{3} \\ \text{구한 $k$ 의 값을 ($*$)에 대입하면} \\ 2\sqrt{P}&=-\frac{100}{3}t+600 \\ \text{개체 수가 10,000이 되는 때를 구하기 위해 $P=10,000$ 을 대입하고 $t$ 에 대해 푼다.} \\ 2\sqrt{10,000}&=-\frac{100}{3}t+600\\ 2\cdot 100&=-\frac{100}{3}t+600\\ \frac{100}{3}t&=400\\ t&=12 \end{aligned}$

$k$ 를 구할 때 $t$ 를 주 단위로 나타냈으므로, 12주 후에 개체 수가 10,000마리로 줄어든다.

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=-k\sqrt{P}\\ \frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=-k\,\mathrm{d}t\\ \int\frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=\int-k\,\mathrm{d}t\\ 2\sqrt{P}&=-kt+C \\ \text{At $t=0$, $P=90,000$ so } \\ 2\sqrt{90,000}&=-k\times 0+C\\ C&=2\times 300=600 \\ \text{Therefore,} \\ 2\sqrt{P}&=-kt+600\tag{$*$} \\ \text{Now, we find $k$. Let $t$ be measured in weeks. Then when $t=6$, $P=40,000$.} \\ 2\sqrt{40,000}&=-6k+600\\ 2\cdot 200&=-6k+600\\ k&=\frac{200}{6} = \frac{100}{3} \\ \text{Substituting our value of $k$ into ($*$):} \\ 2\sqrt{P}&=-\frac{100}{3}t+600 \\ \text{To find when the population will be 10,000, we set $P=10,000$ and solve for $t$.} \\ 2\sqrt{10,000}&=-\frac{100}{3}t+600\\ 2\cdot 100&=-\frac{100}{3}t+600\\ \frac{100}{3}t&=400\\ t&=12 \end{aligned}$

Since we measured $t$ in weeks when we found $k$ , we see that in 12 weeks the population will decrease to 10,000 individuals.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 22번

# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류

116.CLP-2 · 2.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

질량이 $m$ 인 물체를 시각 $t=0$ 에 처음 속력 $v_0$ 으로 수직 위로 던져 올린다. 올라가는 동안 물체에 작용하는 힘은 중력(일정하다고 가정한다)과 물체의 속력 $v(t)$ 의 제곱에 비례하는 공기 저항력뿐이다. 따라서 운동 미분방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-(mg+kv^2) \end{aligned}$

여기서 $g$ 와 $k$ 는 양의 상수이다. 물체는 언제 최고점에 도달하나요?

영어 원문 보기

An object of mass $m$ is projected straight upward at time $t=0$ with initial speed $v_0$ . While it is going up, the only forces acting on it are gravity (assumed constant) and a drag force proportional to the square of the object's speed $v(t)$ . It follows that the differential equation of motion is

$\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-(mg+kv^2) \end{aligned}$

where $g$ and $k$ are positive constants. At what time does the object reach its highest point?

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 맞게 푼다.

$\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-(mg+kv^2)\\ \frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=-\mathrm{d}t\\ \int\frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=\int-\mathrm{d}t \\ \text{좌변의 적분은 아크탄젠트의 부정적분과 비슷해 보인다. 분모에서 $mg$ 를 묶어 내자.} \\ \frac{1}{mg}\int\frac{m}{1+\frac{k}{mg}v^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C\\ \frac{1}{g}\int\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C \\ \text{이제 아크탄젠트의 도함수와 더욱 비슷해 보인다. 여기서 부정적분을 짐작하거나, 치환 $u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v$, $\mathrm{d}u=\sqrt{\frac{k}{mg}}\,\mathrm{d}v$ 를 이용할 수 있다.} \\ \frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\tag{$*$} \\ \text{$t=0$ 일 때 $v=v_0$ 이므로: } \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)&=C \\ \text{$C$ 를 $(*)$ 에 대입한다.} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t \\ \text{ 최고점에서 물체의 속도는 $v=0$ 이다. 이는 $t$ 가 다음을 만족할 때 일어난다:} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}0\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ 0&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ t&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-(mg+kv^2)\\ \frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=-\mathrm{d}t\\ \int\frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=\int-\mathrm{d}t \\ \text{The left integral looks something like the antiderivative of arctangent. Let's factor out that $mg$ from the denominator.} \\ \frac{1}{mg}\int\frac{m}{1+\frac{k}{mg}v^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C\\ \frac{1}{g}\int\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C \\ \text{Now it looks even more like the derivative of arctangent. We can guess the antiderivative from here, or use the substitution $u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v$, $\mathrm{d}u=\sqrt{\frac{k}{mg}}\,\mathrm{d}v$.} \\ \frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\tag{$*$} \\ \text{At $t=0$, $v=v_0$, so: } \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)&=C \\ \text{Plug $C$ into $(*)$.} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t \\ \text{ At its highest point, the object has velocity $v=0$. This happens when $t$ obeys:} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}0\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ 0&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ t&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 23번

# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류

117.CLP-2 · 2.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

모터보트가 속도 40 ft/sec로 달리다가 시각 $t=0$ 에 모터가 꺼진다. 그 후 물의 저항으로 인한 감속은 다음과 같이 주어진다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-k\,v^2 \end{aligned}$

여기서 $k$ 는 양의 상수이다. 10초 후 보트의 속도는 20 ft/sec이다.

(a) $k$ 의 값은 얼마인지 구하세요. (b) 보트의 속도가 5 ft/sec가 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

A motor boat is traveling with a velocity of 40 ft/sec when its motor shuts off at time $t=0$ . Thereafter, its deceleration due to water resistance is given by

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-k\,v^2 \end{aligned}$

where $k$ is a positive constant. After 10 seconds, the boat's velocity is 20 ft/sec.

(a) What is the value of $k$ ? (b) When will the boat's velocity be 5 ft/sec?

답 쓰고 채점

(a)

(b)

초

정답·풀이 보기

(a) 주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-k\,v^2\\ -\frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=k\,\mathrm{d}t\\ \int- \frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=\int k\,\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{$t=0$ 일 때 $v=40$ 이므로 } \\ \frac{1}{40}&=k\times 0+ C\\ C&=\frac{1}{40} \\ \text{따라서,} \\ v(t)&=\frac{1}{kt+C}=\frac{1}{kt+1/40}=\frac{40}{40kt+1}\tag{$*$} \\ \text{비례상수 $k$ 는 다음 조건으로 정해진다.} \\ v(10)&=20\\ 20&=\frac{40}{40k\times 10+1}\\ \frac{1}{2}&=\frac{1}{400k+1}\\ 400k+1&=2 \\ k&=\frac{1}{400} \end{aligned}$

(b) $k$ 의 값을 $(*)$ 에 대입하면,

$\begin{aligned} v(t)&=\frac{40}{40kt+1}=\frac{40}{t/10+1}\\ \\ \text{$v(t)=5$ 가 되는 $t$ 의 값을 구하려 한다.} \\ 5&=\frac{40}{t/10+1}\\ \frac{t}{10}+1&=8 \\ t&=70\text{ sec} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-k\,v^2\\ -\frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=k\,\mathrm{d}t\\ \int- \frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=\int k\,\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{At $t=0$, $v=40$ so } \\ \frac{1}{40}&=k\times 0+ C\\ C&=\frac{1}{40} \\ \text{Therefore,} \\ v(t)&=\frac{1}{kt+C}=\frac{1}{kt+1/40}=\frac{40}{40kt+1}\tag{$*$} \\ \text{The constant of proportionality $k$ is determined by} \\ v(10)&=20\\ 20&=\frac{40}{40k\times 10+1}\\ \frac{1}{2}&=\frac{1}{400k+1}\\ 400k+1&=2 \\ k&=\frac{1}{400} \end{aligned}$

(b) Subbing in the value of $k$ to $(*)$ ,

$\begin{aligned} v(t)&=\frac{40}{40kt+1}=\frac{40}{t/10+1}\\ \\ \text{We want to know the value of $t$ that gives $v(t)=5$.} \\ 5&=\frac{40}{t/10+1}\\ \frac{t}{10}+1&=8 \\ t&=70\text{ sec} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 24번

# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류

118.CLP-2 · 2.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

초깃값 문제 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= k(3-x)(2-x)$ , $x(0)=1$ 을 생각하세요. 여기서 $k$ 는 양의 상수입니다. (이런 종류의 문제는 어떤 화학 반응을 분석할 때 나타납니다.)

(a) 이 초깃값 문제를 푸세요. 즉, $x$ 를 $t$ 의 함수로 나타내세요. (b) $t$ 가 $+\infty$ 에 가까워질 때 $x(t)$ 는 어떤 값에 가까워지는지 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the initial value problem $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= k(3-x)(2-x)$ , $x(0)=1$ , where $k$ is a positive constant. (This kind of problem occurs in the analysis of certain chemical reactions.)

(a) Solve the initial value problem. That is, find $x$ as a function of $t$ . (b) What value will $x(t)$ approach as $t$ approaches $+\infty$ .

정답·풀이 보기

(a) 주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&= k(3-x)(2-x)\\ \frac{\mathrm{d}x}{(x-2)(x-3)}&= k\mathrm{d}t \\ \text{부분분수 분해를 이용하면 $\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$ 이다.} \\ \int\Big[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\Big]\ \mathrm{d}x&= \int k\mathrm{d}t\\ \log|x-3|-\log|x-2|&=kt+C\\ \log\left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=kt+C\\ \left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=e^{kt+C}=e^{kt}e^C\\ \frac{x-3}{x-2}&=De^{kt} \\ \text{ 여기서 $D=\pm e^C$ 이다. $t=0$ 일 때 $x=1$ 이므로} \\ \frac{1-3}{1-2}&=De^{0}\\ D&=2 \\ \text{따라서} \\ \frac{x-3}{x-2}&=2e^{kt}\\ x-3&=2e^{kt}(x-2)\\ x-2e^{kt}x&=3-4e^{kt}\\ x(t)&=\frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}} \end{aligned}$

(b) 극한을 구하기 위해 로피탈의 정리를 쓸 수도 있지만, 분자와 분모에 $e^{-kt}$ 를 곱해도 된다. $\lim\limits_{t \to \infty} e^{-tk}=0$ 임에 유의한다.

$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow\infty}x(t) &=\lim_{t\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to-\infty}{\mathrm{den}\to-\infty}} =\lim_{t \to \infty} \frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}}\cdot\frac{e^{-kt}}{e^{-kt}} =\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{3e^{-kt}-4}{e^{-kt}-2} =\frac{0-4}{0-2} =2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&= k(3-x)(2-x)\\ \frac{\mathrm{d}x}{(x-2)(x-3)}&= k\mathrm{d}t \\ \text{Using the method of partial fractions, we find $\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$.} \\ \int\Big[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\Big]\ \mathrm{d}x&= \int k\mathrm{d}t\\ \log|x-3|-\log|x-2|&=kt+C\\ \log\left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=kt+C\\ \left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=e^{kt+C}=e^{kt}e^C\\ \frac{x-3}{x-2}&=De^{kt} \\ \text{ where $D=\pm e^C$. When $t=0$, $x=1$, forcing} \\ \frac{1-3}{1-2}&=De^{0}\\ D&=2 \\ \text{Hence} \\ \frac{x-3}{x-2}&=2e^{kt}\\ x-3&=2e^{kt}(x-2)\\ x-2e^{kt}x&=3-4e^{kt}\\ x(t)&=\frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}} \end{aligned}$

(b) To evaluate the limit, we could use l'Hopital's rule, but we could also just multiply the numerator and denominator by $e^{-kt}$ . Note $\lim\limits_{t \to \infty} e^{-tk}=0$ .

$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow\infty}x(t) &=\lim_{t\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to-\infty}{\mathrm{den}\to-\infty}} =\lim_{t \to \infty} \frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}}\cdot\frac{e^{-kt}}{e^{-kt}} =\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{3e^{-kt}-4}{e^{-kt}-2} =\frac{0-4}{0-2} =2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 25번

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류

119.CLP-2 · 2.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

유체 속에서 움직이는 물체의 처음 속도 $v$ 는 400 m/min 이다. 속도는 속도의 제곱에 비례하는 비율로 감소한다. 1분 후의 속도는 200 m/min 이다.

(a) 시간을 $t$ 라 할 때, 속도 $v=v(t)$ 에 대한 미분방정식을 쓰세요. (b) 이 미분방정식을 푸세요. (c) 물체의 속도가 50 m/min 이 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

An object moving in a fluid has an initial velocity $v$ of 400 m/min. The velocity is decreasing at a rate proportional to the square of the velocity. After 1 minute the velocity is 200 m/min.

(a) Give a differential equation for the velocity $v=v(t)$ where $t$ is time. (b) Solve this differential equation. (c) When will the object be moving at 50 m/min?

정답·풀이 보기

(a) 시각 $t$ 에서 속력의 변화율은 어떤 비례상수 $k$ 에 대해 $-kv(t)^2$ 이다 ( $k$ 는 나중에 구하지만, 속력이 감소하므로 양수라고 가정한다). 따라서 $v(t)$ 는 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ 을 만족시킨다. (b) 방정식 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ 은 변수분리형 미분방정식이므로 다음과 같이 보통의 방법으로 풀 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-kv^2\\ \frac{\mathrm{d}v}{-v^2}&=k\mathrm{d}t\\ \int -\frac{\mathrm{d}v}{v^2} &=\int k\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{시각 $t=0$ 에서 $v=400$ 이므로 $C=\frac{1}{400}$ 이다. 그러면:} \\ \frac{1}{v}&=kt+\frac{1}{400}\tag{$*$} \\ \text{시각 $t=1$ 에서 $v=200$ 이므로 } \\ \frac{1}{200}&=k+\frac{1}{400}\\ k&=\frac{1}{400} \\ \text{따라서 ($*$)에서,} \\ \frac{1}{v}&=\frac{t}{400}+\frac{1}{400} = \frac{t+1}{400}\\ v&=\frac{400}{t+1} \end{aligned}$ (c) 속력이 50이 되는 때를 구하려면, (b)에서 얻은 식에 $v=50$ 을 대입하여 $t$ 에 대해 푼다.

$\begin{aligned} 50&=\frac{400}{t+1}\\ 50(t+1)&=400\\ t+1&=8\\ t&=7 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The rate of change of speed at time $t$ is $-kv(t)^2$ for some constant of proportionality $k$ (to be determined–but we assume it is positive, since the speed is decreasing). So $v(t)$ obeys the differential equation $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ . (b) The equation $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2$ is a separable differential equation, which we can solve in the usual way.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-kv^2\\ \frac{\mathrm{d}v}{-v^2}&=k\mathrm{d}t\\ \int -\frac{\mathrm{d}v}{v^2} &=\int k\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{At time $t=0$, $v=400$, so $C=\frac{1}{400}$. Then:} \\ \frac{1}{v}&=kt+\frac{1}{400}\tag{$*$} \\ \text{At time $t=1$, $v=200$, so } \\ \frac{1}{200}&=k+\frac{1}{400}\\ k&=\frac{1}{400} \\ \text{Therefore, from ($*$),} \\ \frac{1}{v}&=\frac{t}{400}+\frac{1}{400} = \frac{t+1}{400}\\ v&=\frac{400}{t+1} \end{aligned}$ (c) To find when the speed is 50, we set $v=50$ in the equation from (b) and solve for $t$ .

$\begin{aligned} 50&=\frac{400}{t+1}\\ 50(t+1)&=400\\ t+1&=8\\ t&=7 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 16번

# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류

120.CLP-2 · 2.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

어떤 연속함수 $y=y(x)$ 가 $0$ 을 포함하는 어떤 열린구간의 모든 $x$ 에 대해 적분방정식

$y(x)=3+\int_0^x\big(y(t)^2-3y(t)+2\big)\sin t\ \mathrm{d}t \tag{$*$}$

을 만족시킨다. $y(x)$ 와 $(*)$ 이 성립하는 가장 큰 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

A certain continuous function $y=y(x)$ satisfies the integral equation

$y(x)=3+\int_0^x\big(y(t)^2-3y(t)+2\big)\sin t\ \mathrm{d}t \tag{$*$}$

for all $x$ in some open interval containing $0$ . Find $y(x)$ and the largest interval for which $(*)$ holds.

정답·풀이 보기

주어진 것은 $y$ 와 $y$ 에 대한 함수의 적분 사이의 관계식이다. 우리가 풀 줄 아는 것은 $y$ 의 도함수와 $y$ 에 대한 함수 사이의 관계식이다. 주어진 적분방정식을 미분하면 이런 식을 만들 수 있다. 미적분학의 기본정리 제1부분에 의해

$y'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\int_0^x\big(y(t)^2-3y(t)+2\big)\sin t\ \mathrm{d}t\right\} =\big(y(x)^2-3y(x)+2\big)\sin x$

따라서 $y(x)$ 는 미분방정식 $y'=\big(y^2-3y+2\big)\sin x =(y-2)(y-1)\sin x$ 와 초기 조건 $y(0)=3$ ( $(*)$ 에 $x=0$ 을 대입하면 된다)을 만족시킨다. $y\ne 1,2$ 일 때,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=(y-2)(y-1)\sin x\\ \frac{\mathrm{d}y}{(y-2)(y-1)}&=\sin x\ \mathrm{d}x \\\int \frac{\mathrm{d}y}{(y-2)(y-1)}&=\int \sin x\ \mathrm{d}x \\ \text{부분분수 방법을 쓰면 $\frac{1}{(y-2)(y-1)}=\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y-1}$ 임을 알 수 있다.} \\ \int\Big[\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y-1}\Big]\mathrm{d}y&=\int\sin x\ \mathrm{d}x\\ \log|y-2|-\log|y-1|&=-\cos x+c\\ \log\left|\frac{y-2}{y-1}\right|&=-\cos x+c\\ \left|\frac{y-2}{y-1}\right|&= e^{c-\cos x} \\ \text{조건 $y(0)=3$ 에서 $\big|\frac{3-2}{3-1}\big|= e^{c-1}$ 즉 $e^c=\frac{1}{2} e$ 이므로} \\ \left|\frac{y-2}{y-1}\right|&=\frac{1}{2} e^{1-\cos x} \end{aligned}$

$x=0$ 일 때 $\frac{y-2}{y-1}=\frac{1}{2}>0$ 임을 알 수 있다. 또한 $\frac{1}{2} e^{1-\cos x}$ 는, 따라서 $\big|\frac{y-2}{y-1}\big|$ 도, 결코 $0$ 이 될 수 없다. $y(x)$ 는 $x$ 에 따라 연속적으로 변하므로 $y(x)$ 는 계속 $2$ 보다 커야 한다. 따라서 $\frac{y-2}{y-1}$ 는 계속 양수이므로 절댓값 기호를 없앨 수 있다. 그러므로

$\begin{aligned} \frac{y-2}{y-1}=\frac{1}{2} e^{1-\cos x} \\ \text{ $y$ 에 대해 풀면} \\ \frac{y-2}{y-1}&=\frac{1}{2} e^{1-\cos x}\\ 2(y-2)&=e^{1-\cos x}(y-1)\\ 2y-4&=ye^{1-\cos x}-e^{1-\cos x}\\ y\big(2-e^{1-\cos x}\big)&=4-e^{1-\cos x} \\ y&=\frac{4-e^{1-\cos x}}{2-e^{1-\cos x}} \end{aligned}$

마지막 단계에서 $0$ 으로 나누는 일이 없으려면

$\begin{aligned} e^{1-\cos x}&\neq2\\ 1-\cos x&\neq \log 2\\ \cos x&\neq 1-\log 2 \end{aligned}$

이어야 한다.

간단히 하기 위해 $L=1-\log 2$ 라 하면 $L>0$ 이다. ( $2<e$ 이므로 $\log 2<\log e = 1$ 이고, 따라서 $1-\log 2>0$ 임에서 알 수 있다.)

$x=0$ 은 우리가 구한 함수의 정의역에 속하지만, 점 $x=\pm \arccos(L) = \pm\arccos(1-\log 2)$ 는 정의역에 속하지 않는다.

따라서 우리의 답이 의미를 갖는 가장 큰 구간은 $-\arccos(1-\log 2))>x>\arccos(1-\log 2)$ 이고, 이는 대략 $- 1.259 < x < 1.259$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

What we're given is an equation relating $y$ to the integral of a function of $y$ . What we know how to solve is an equation relating the derivative of $y$ to a function of $y$ . We can create this by differentiating the given integral equation. By the Fundamental Theorem of Calculus, part 1:

$y'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\int_0^x\big(y(t)^2-3y(t)+2\big)\sin t\ \mathrm{d}t\right\} =\big(y(x)^2-3y(x)+2\big)\sin x$

So $y(x)$ satisfies the differential equation $y'=\big(y^2-3y+2\big)\sin x =(y-2)(y-1)\sin x$ and the initial equation $y(0)=3$ (just substitute $x=0$ into $(*)$ ). For $y\ne 1,2$ :

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=(y-2)(y-1)\sin x\\ \frac{\mathrm{d}y}{(y-2)(y-1)}&=\sin x\ \mathrm{d}x \\\int \frac{\mathrm{d}y}{(y-2)(y-1)}&=\int \sin x\ \mathrm{d}x \\ \text{Using the method of partial fractions, we see $\frac{1}{(y-2)(y-1)}=\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y-1}$.} \\ \int\Big[\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y-1}\Big]\mathrm{d}y&=\int\sin x\ \mathrm{d}x\\ \log|y-2|-\log|y-1|&=-\cos x+c\\ \log\left|\frac{y-2}{y-1}\right|&=-\cos x+c\\ \left|\frac{y-2}{y-1}\right|&= e^{c-\cos x} \\ \text{The condition $y(0)=3$ forces $\big|\frac{3-2}{3-1}\big|= e^{c-1}$ or $e^c=\frac{1}{2} e$, hence} \\ \left|\frac{y-2}{y-1}\right|&=\frac{1}{2} e^{1-\cos x} \end{aligned}$

Observe that, when $x=0$ , $\frac{y-2}{y-1}=\frac{1}{2}>0$ . Furthermore $\frac{1}{2} e^{1-\cos x}$ , and hence $\big|\frac{y-2}{y-1}\big|$ , can never take the value zero. As $y(x)$ varies continuously with $x$ , $y(x)$ must remain larger than 2. Consquently, $\frac{y-2}{y-1}$ remains positive and we may drop the absolute value signs. Hence

$\begin{aligned} \frac{y-2}{y-1}=\frac{1}{2} e^{1-\cos x} \\ \text{ Solving for $y$,} \\ \frac{y-2}{y-1}&=\frac{1}{2} e^{1-\cos x}\\ 2(y-2)&=e^{1-\cos x}(y-1)\\ 2y-4&=ye^{1-\cos x}-e^{1-\cos x}\\ y\big(2-e^{1-\cos x}\big)&=4-e^{1-\cos x} \\ y&=\frac{4-e^{1-\cos x}}{2-e^{1-\cos x}} \end{aligned}$

To avoid division by zero in the last step, we need

$\begin{aligned} e^{1-\cos x}&\neq2\\ 1-\cos x&\neq \log 2\\ \cos x&\neq 1-\log 2 \end{aligned}$

Let $L=1-\log 2$ , for brevity, and note that $L>0$ . (This can be seen by observing $2<e$ , so, $\log 2<\log e = 1$ , hence $1-\log 2>0$ .)

We know $x=0$ is in the domain of our function, but the points $x=\pm \arccos(L) = \pm\arccos(1-\log 2)$ are not.

Therefore, the largest interval for which our answer makes sense is $-\arccos(1-\log 2))>x>\arccos(1-\log 2)$ or approximately $- 1.259 < x < 1.259$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 32번

# 변수분리형 미분방정식계산도전자동 분류