빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

합성함수의 미분법

겉함수·속함수로 나누어 합성함수를 미분한다(연쇄법칙)

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

118문제 · 6 / 6쪽

101.CLP-1 · 2.9절 · 19번우리말 번역

다음 함수의 x=1x=1 에서의 미분계수를 구하세요: f(x)=x31+e3xf(x)=\dfrac{x^3}{1+e^{3x}}.

영어 원문 보기

Evaluate the derivative of the following function at x=1x=1: f(x)=x31+e3xf(x)=\dfrac{x^3}{1+e^{3x}}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

몫의 미분법을 이용하면,

f′(x)=(3x2)(1+e3x)−(x3)⋅ddx{1+e3x}(1+e3x)2이제 연쇄 법칙을 이용하면:=(3x2)(1+e3x)−(x3)(3e3x)(1+e3x)2따라서 x=1 일 때:f′(1)=3(1+e3)−3e3(1+e3)2=3(1+e3)2\begin{aligned} f'(x)&=\frac{(3x^2)(1+e^{3x})-(x^3)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{1+e^{3x}\}}{{(1+e^{3x})}^2} \\ \text{이제 연쇄 법칙을 이용하면:} \\ &=\frac{(3x^2)(1+e^{3x})-(x^3)(3e^{3x})}{{(1+e^{3x})}^2} \\ \text{따라서 $x=1$ 일 때:} \\ f'(1)&=\frac{3(1+e^{3})-3e^{3}}{{(1+e^{3})}^2}=\frac{3}{{(1+e^{3})}^2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Using the quotient rule,

f′(x)=(3x2)(1+e3x)−(x3)⋅ddx{1+e3x}(1+e3x)2Now, the chain rule:=(3x2)(1+e3x)−(x3)(3e3x)(1+e3x)2So, when x=1:f′(1)=3(1+e3)−3e3(1+e3)2=3(1+e3)2\begin{aligned} f'(x)&=\frac{(3x^2)(1+e^{3x})-(x^3)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{1+e^{3x}\}}{{(1+e^{3x})}^2} \\ \text{Now, the chain rule:} \\ &=\frac{(3x^2)(1+e^{3x})-(x^3)(3e^{3x})}{{(1+e^{3x})}^2} \\ \text{So, when $x=1$:} \\ f'(1)&=\frac{3(1+e^{3})-3e^{3}}{{(1+e^{3})}^2}=\frac{3}{{(1+e^{3})}^2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 5번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
102.CLP-1 · 2.9절 · 20번우리말 번역

esin⁡2(x)e^{\sin^2(x)} 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate esin⁡2(x)e^{\sin^2(x)}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 두 번 적용해야 한다.

ddx{esin⁡2(x)}=esin⁡2(x)⋅ddx{sin⁡2(x)}=esin⁡2(x)(2sin⁡(x))⋅ddxsin⁡(x)=esin⁡2(x)(2sin⁡(x))⋅cos⁡(x)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ e^{\sin^2(x)} \right\} &= e^{\sin^2(x)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \sin^2(x)\right\}\\ &= e^{\sin^2(x)} (2\sin(x)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin(x) \\ &= e^{\sin^2(x)} (2\sin(x)) \cdot \cos(x) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

This requires us to apply the chain rule twice.

ddx{esin⁡2(x)}=esin⁡2(x)⋅ddx{sin⁡2(x)}=esin⁡2(x)(2sin⁡(x))⋅ddxsin⁡(x)=esin⁡2(x)(2sin⁡(x))⋅cos⁡(x)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ e^{\sin^2(x)} \right\} &= e^{\sin^2(x)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \sin^2(x)\right\}\\ &= e^{\sin^2(x)} (2\sin(x)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin(x) \\ &= e^{\sin^2(x)} (2\sin(x)) \cdot \cos(x) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 23번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
103.CLP-1 · 2.9절 · 21번우리말 번역

y=sin⁡(e5x)y=\sin\left(e^{5x}\right) 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the derivative of y=sin⁡(e5x)y=\sin\left(e^{5x}\right)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 두 번 적용해야 한다.

ddx{sin⁡(e5x)}=cos⁡(e5x)⋅ddx{e5x}=cos⁡(e5x)(e5x)⋅ddx{5x}=cos⁡(e5x)(e5x)⋅5\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{\sin(e^{5x}) \right\} &= {\cos\left( e^{5x}\right)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ e^{5x}\right\}\\ &= \cos(e^{5x}) (e^{ 5x}) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x\} \\ &= \cos(e^{5x}) (e^{5x}) \cdot5 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

This requires us to apply the chain rule twice.

ddx{sin⁡(e5x)}=cos⁡(e5x)⋅ddx{e5x}=cos⁡(e5x)(e5x)⋅ddx{5x}=cos⁡(e5x)(e5x)⋅5\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{\sin(e^{5x}) \right\} &= {\cos\left( e^{5x}\right)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ e^{5x}\right\}\\ &= \cos(e^{5x}) (e^{ 5x}) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x\} \\ &= \cos(e^{5x}) (e^{5x}) \cdot5 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 20번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
104.CLP-1 · 2.9절 · 22번우리말 번역

ecos⁡(x2)e^{\cos(x^2)} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the derivative of ecos⁡(x2)e^{\cos(x^2)}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 두 번 사용한다.

ddx{ecos⁡(x2)}=ecos⁡(x2)⋅ddx{cos⁡(x2)}=ecos⁡(x2)⋅(−sin⁡(x2))⋅ddx{x2}=−ecos⁡(x2)⋅sin⁡(x2)⋅2x\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\cos(x^2)}\right\}&= e^{ \cos(x^2)}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos(x^2)\}\\ &=e^{\cos(x^2)} \cdot(-\sin( x^2))\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\ &=-e^{\cos(x^2)}\cdot \sin(x^2) \cdot 2x \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We'll use the chain rule twice.

ddx{ecos⁡(x2)}=ecos⁡(x2)⋅ddx{cos⁡(x2)}=ecos⁡(x2)⋅(−sin⁡(x2))⋅ddx{x2}=−ecos⁡(x2)⋅sin⁡(x2)⋅2x\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\cos(x^2)}\right\}&= e^{ \cos(x^2)}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos(x^2)\}\\ &=e^{\cos(x^2)} \cdot(-\sin( x^2))\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\ &=-e^{\cos(x^2)}\cdot \sin(x^2) \cdot 2x \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 4번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
105.CLP-1 · 2.9절 · 23번우리말 번역

y=cos⁡(x2+x2+1)y=\cos\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big) 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the derivative of y=cos⁡(x2+x2+1)y=\cos\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)

정답·풀이 보기

먼저 연쇄 법칙을 적용한다.

y′=−sin⁡(x2+x2+1)⋅ddx{x2+x2+1}=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+ddx{x2+1})연쇄 법칙을 한 번 더 써야 하므로:=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+12x2+1⋅ddx{x2+1})=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+2x2x2+1)\begin{aligned} y'&=-\sin\big( x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+\sqrt{x^2+1}\right\}\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^2+1}\right\}\right) \\ \text{연쇄 법칙을 한 번 더 써야 하므로:} \\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{1}{2\sqrt{ x^2+1}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+1\right\}\right)\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\right) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We start with the chain rule:

y′=−sin⁡(x2+x2+1)⋅ddx{x2+x2+1}=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+ddx{x2+1})and find ourselves in need of chain rule a second time:=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+12x2+1⋅ddx{x2+1})=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+2x2x2+1)\begin{aligned} y'&=-\sin\big( x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+\sqrt{x^2+1}\right\}\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^2+1}\right\}\right) \\ \text{and find ourselves in need of chain rule a second time:} \\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{1}{2\sqrt{ x^2+1}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+1\right\}\right)\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\right) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 22번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
106.CLP-1 · 2.9절 · 24번우리말 번역

도함수를 구하세요. y=(1+x2)cos⁡2xy=(1+x^2)\cos^2 x

영어 원문 보기

Evaluate the derivative. y=(1+x2)cos⁡2xy=(1+x^2)\cos^2 x

정답·풀이 보기

y=(1+x2)cos⁡2xUsing the product rule,y′=(2x)cos⁡2x+(1+x2)ddx{cos⁡2x}Here, we’ll need to use the chain rule. Remember cos⁡2x=[cos⁡x]2.=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅ddx{cos⁡x}=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅(−sin⁡x)=2xcos⁡2x−2(1+x2)sin⁡xcos⁡x\begin{aligned} y&=(1+x^2)\cos^2 x \\ \text{Using the product rule,} \\ y'&=(2x)\cos^2 x + (1+x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^2 x\} \\ \text{Here, we'll need to use the chain rule. Remember $\cos^2 x = [\cos x]^2$.} \\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2 \cos x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos x\}\\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2\cos x \cdot (-\sin x)\\ &=2x\cos^2x-2(1+x^2) \sin x\cos x \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

y=(1+x2)cos⁡2xUsing the product rule,y′=(2x)cos⁡2x+(1+x2)ddx{cos⁡2x}Here, we’ll need to use the chain rule. Remember cos⁡2x=[cos⁡x]2.=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅ddx{cos⁡x}=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅(−sin⁡x)=2xcos⁡2x−2(1+x2)sin⁡xcos⁡x\begin{aligned} y&=(1+x^2)\cos^2 x \\ \text{Using the product rule,} \\ y'&=(2x)\cos^2 x + (1+x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^2 x\} \\ \text{Here, we'll need to use the chain rule. Remember $\cos^2 x = [\cos x]^2$.} \\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2 \cos x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos x\}\\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2\cos x \cdot (-\sin x)\\ &=2x\cos^2x-2(1+x^2) \sin x\cos x \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 6번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
107.CLP-1 · 2.9절 · 25번우리말 번역

도함수를 구하세요. y=e3x1+x2y=\frac{e^{3x}}{1+x^2}

영어 원문 보기

Evaluate the derivative. y=e3x1+x2y=\frac{e^{3x}}{1+x^2}

정답·풀이 보기

연쇄 법칙에 의해 ddx{e3x}=3e3x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{3x}\}=3e^{3x} 임에 주의하여 몫의 미분법을 사용한다.

y′=(1+x2)⋅3e3x−e3x(2x)(1+x2)2=e3x(3x2−2x+3)(1+x2)2\begin{aligned} y'&=\frac{(1+x^2)\cdot3e^{3x}-e^{3x}(2x)}{(1+x^2)^2}\\ &=\frac{e^{3x}(3x^2-2x+3)}{(1+x^2)^2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We use the quotient rule, noting by the chain rule that ddx{e3x}=3e3x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{3x}\}=3e^{3x}:

y′=(1+x2)⋅3e3x−e3x(2x)(1+x2)2=e3x(3x2−2x+3)(1+x2)2\begin{aligned} y'&=\frac{(1+x^2)\cdot3e^{3x}-e^{3x}(2x)}{(1+x^2)^2}\\ &=\frac{e^{3x}(3x^2-2x+3)}{(1+x^2)^2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 24번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
108.CLP-1 · 2.9절 · 26번우리말 번역

g(x)=x3h(x2)g(x)=x^3h(x^2) 이고 h(4)=2h(4)=2, h′(4)=−2h'(4)=-2 일 때, g′(2)g'(2) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find g′(2)g'(2) if g(x)=x3h(x2)g(x)=x^3h(x^2), where h(4)=2h(4)=2 and h′(4)=−2h'(4)=-2.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

연쇄 법칙에 의해

ddx{h(x2)}=h′(x2)⋅2x\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{h\left(x^2\right)\right\}&=h'(x^2)\cdot 2x \end{aligned}

곱의 미분법과 위의 결과를 사용하면

g′(x)=3x2h(x2)+x3h′(x2)2xx=2 를 대입하면:g′(2)=3(22)h(22)+23h′(22)2×2=12h(4)+32h′(4)=12×2−32×2=−40\begin{aligned} g'(x)&=3x^2h(x^2)+x^3h'(x^2)2x \\ \text{$x=2$ 를 대입하면:} \\ g'(2)&=3(2^2)h(2^2)+2^3h'(2^2)2\times 2\\ &=12h(4)+32h'(4)=12\times 2-32\times 2\\ &=-40 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

By the chain rule,

ddx{h(x2)}=h′(x2)⋅2x\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{h\left(x^2\right)\right\}&=h'(x^2)\cdot 2x \end{aligned}

Using the product rules and the result above,

g′(x)=3x2h(x2)+x3h′(x2)2xPlugging in x=2:g′(2)=3(22)h(22)+23h′(22)2×2=12h(4)+32h′(4)=12×2−32×2=−40\begin{aligned} g'(x)&=3x^2h(x^2)+x^3h'(x^2)2x \\ \text{Plugging in $x=2$:} \\ g'(2)&=3(2^2)h(2^2)+2^3h'(2^2)2\times 2\\ &=12h(4)+32h'(4)=12\times 2-32\times 2\\ &=-40 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 2번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
109.CLP-1 · 2.9절 · 27번우리말 번역

곡선 y=xe−(x2−1)/2y=xe^{-(x^2-1)/2} 가 수평한 접선을 갖는 점 (x,y)(x,y) 는 어디입니까?

영어 원문 보기

At what points (x,y)(x,y) does the curve y=xe−(x2−1)/2y=xe^{-(x^2-1)/2} have a horizontal tangent?

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

f(x)=xe−(x2−1)/2=xe(1−x2)/2f(x)=xe^{-(x^2-1)/2}=xe^{(1-x^2)/2} 이라 하자. 곱의 미분법을 쓰면

f′(x)=e(1−x2)/2+x⋅ddx{e(1−x2)/2}여기서 연쇄 법칙이 필요하다:=e(1−x2)/2+x⋅e(1−x2)/2ddx{12(1−x2)}=e(1−x2)/2+x⋅e(1−x2)/2⋅(−x)=(1−x2)e(1−x2)/2\begin{aligned} f'(x)&=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{(1-x^2)/2}\right\} \\ \text{여기서 연쇄 법칙이 필요하다:} \\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{ (1-x^2)/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{2}(1-x^2)\right\}\\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{{(1-x^2)/2}}\cdot (-x)\\ &=(1-x^2)e^{(1-x^2)/2} \end{aligned}

ee 의 거듭제곱은 0이 될 수 없으므로, 위의 곱이 0이면 1−x2=01-x^2=0 이어야 한다. 이는 x=±1x=\pm 1 일 때 성립한다. 곡선 위에서 x=1x=1 일 때 y=1y=1 이고, x=−1x=-1 일 때 y=−1y=-1 이다. 따라서 구하는 점은 (1,1)(1,1) 과 (−1,−1)(-1,-1) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let f(x)=xe−(x2−1)/2=xe(1−x2)/2f(x)=xe^{-(x^2-1)/2}=xe^{(1-x^2)/2}. Then, using the product rule,

f′(x)=e(1−x2)/2+x⋅ddx{e(1−x2)/2}Here, we need the chain rule:=e(1−x2)/2+x⋅e(1−x2)/2ddx{12(1−x2)}=e(1−x2)/2+x⋅e(1−x2)/2⋅(−x)=(1−x2)e(1−x2)/2\begin{aligned} f'(x)&=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{(1-x^2)/2}\right\} \\ \text{Here, we need the chain rule:} \\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{ (1-x^2)/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{2}(1-x^2)\right\}\\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{{(1-x^2)/2}}\cdot (-x)\\ &=(1-x^2)e^{(1-x^2)/2} \end{aligned}

There is no power of ee that is equal to zero; so if the product above is zero, it must be that 1−x2=01-x^2=0. This happens for x=±1x=\pm 1. On the curve, when x=1x=1, y=1y=1, and when x=−1x=-1, y=−1y=-1. So the points are (1,1)(1,1) and (−1,−1)(-1,-1).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 26번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
110.CLP-1 · 2.9절 · 28번우리말 번역

한 입자가 시각 t=1t=1 에 움직이기 시작하며, 그 이후의 위치는 s(t)=sin⁡(1t)s(t)=\sin\left(\frac{1}{t}\right) 로 주어집니다. 이 입자는 언제 음의 방향으로 움직입니까?

영어 원문 보기

A particle starts moving at time t=1t=1, and its position thereafter is given by s(t)=sin⁡(1t).s(t)=\sin\left(\frac{1}{t}\right). When is the particle moving in the negative direction?

정답·풀이 보기

문제는 s′(t)s'(t) 가 음수가 되는 때를 묻고 있다. 그래서 먼저 미분한다. 연쇄 법칙을 쓰면

s′(t)=cos⁡(1t)⋅ddt{1t}=cos⁡(1t)⋅−1t2\begin{aligned} s'(t)&=\cos\left( \frac{1}{t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \frac{1}{t}\right\}\\ &=\cos\left({\frac{1}{t}}\right)\cdot\frac{-1}{t^2} \end{aligned}

t≥1t\ge1 일 때 1t\frac{1}{t} 은 0과 1 사이에 있다. 0≤θ<π/20 \leq \theta < \pi/2 에서 cos⁡θ\cos \theta 는 양수이고 π/2>1\pi/2 >1 이므로, cos⁡(1t)\cos\left(\frac{1}{t}\right) 은 s(t)s(t) 의 정의역 전체에서 양수이다. 또한 −1t2\frac{-1}{t^2} 은 이 함수의 정의역 전체에서 음수이다. 따라서 s′(t)s'(t) 는 s(t)s(t) 의 정의역 전체에서 음수이고, 입자는 항상 음의 방향으로 움직인다.

원본 교재 풀이(영어)

The question asks when s′(t)s'(t) is negative. So, we start by differentiating. Using the chain rule:

s′(t)=cos⁡(1t)⋅ddt{1t}=cos⁡(1t)⋅−1t2\begin{aligned} s'(t)&=\cos\left( \frac{1}{t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \frac{1}{t}\right\}\\ &=\cos\left({\frac{1}{t}}\right)\cdot\frac{-1}{t^2} \end{aligned}

When t≥1t\ge1, 1t\frac{1}{t} is between 0 and 1. Since cos⁡θ\cos \theta is positive for 0≤θ<π/20 \leq \theta < \pi/2, and π/2>1\pi/2 >1, we see that cos⁡(1t)\cos\left(\frac{1}{t}\right) is positive for the entire domain of s(t)s(t). Also, −1t2\frac{-1}{t^2} is negative for the entire domain of the function. We conclude that s′(t)s'(t) is negative for the entire domain of s(t)s(t), so the particle is always moving in the negative direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 33번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
111.CLP-1 · 2.9절 · 29번우리말 번역

f(x)=excos⁡3(5x−7)f(x)=\dfrac{e^{x}}{\cos^3 (5x-7)} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the derivative of f(x)=excos⁡3(5x−7)f(x)=\dfrac{e^{x}}{\cos^3 (5x-7)}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

풀이를 두 가지 제시한다. 하나는 바로 몫의 미분법을 쓰는 풀이이고, 다른 하나는 먼저 간단히 한 뒤 곱의 미분법을 쓰는 풀이이다.

  • 풀이 1: 몫의 미분법으로 시작한다:

f′(x)=cos⁡3(5x−7)ddx{ex}−exddx{cos⁡3(5x−7)}cos⁡6(5x−7)=cos⁡3(5x−7)ex−exddx{cos⁡3(5x−7)}cos⁡6(5x−7)이제 합성함수의 미분법을 쓴다. cos⁡3(5x−7)=[cos⁡(5x−7)]3 이므로 “바깥" 함수는 g(x)=x3 이고, “안쪽" 함수는 h(x)=cos⁡(5x−1) 이다.=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅ddx{cos⁡(5x−7)}cos⁡6(5x−7)합성함수의 미분법이 다시 필요하다!=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅[−sin⁡(5x−7)⋅ddx{5x−7}]cos⁡6(5x−7)=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅[−sin⁡(5x−7)⋅5]cos⁡6(5x−7)간단히 하여 마무리한다:=excos⁡2(5x−7)(cos⁡(5x−7)+15sin⁡(5x−7))cos⁡6(5x−7)=excos⁡(5x−7)+15sin⁡(5x−7)cos⁡4(5x−7)=ex(sec⁡3(5x−7)+15tan⁡(5x−7)sec⁡3(5x−7))=exsec⁡3(5x−7)(1+15tan⁡(5x−7))\begin{aligned} f'(x) &= \frac{\cos^3(5x-7)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}-e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^3(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)}\\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^3(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{이제 합성함수의 미분법을 쓴다. $\cos^3(5x-7)=[\cos(5x-7)]^3$ 이므로 ``바깥" 함수는 $g(x)=x^3$ 이고, ``안쪽" 함수는 $h(x)=\cos(5x-1)$ 이다.} \\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3 \cos^2 (5x-7) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{합성함수의 미분법이 다시 필요하다!} \\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3{\cos}^2{(5x-7)} \cdot[{-\sin( 5x-7)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x-7\}}]}{\cos^6(5x-7)}\\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3{\cos}^2{(5x-7)} \cdot[{-\sin({5x-7})\cdot5}]}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{간단히 하여 마무리한다:} \\ &= \frac{e^x\cos^2(5x-7)\left(\cos(5x-7)+15\sin(5x-7)\right)}{\cos^6(5x-7)}\\ &=e^x \frac{\cos(5x-7)+15\sin(5x-7)}{\cos^4(5x-7)}\\ &=e^x(\sec^3(5x-7)+15\tan(5x-7)\sec^3(5x-7))\\ &=e^x\sec^3(5x-7)(1+15\tan(5x-7)) \end{aligned}

  • 풀이 2: 몫의 미분법을 피하기 위해 먼저 간단히 한다:

f(x)=excos⁡3(5x−7)=exsec⁡3(5x−7)이제 곱의 미분법으로 미분한다:f′(x)=exsec⁡3(5x−7)+exddx{sec⁡3(5x−7)}여기서는 합성함수의 미분법이 필요하다. sec⁡3(5x−7)=[sec⁡(5x−7)]3 이므로 “바깥" 함수는 g(x)=x3 이고 “안쪽" 함수는 h(x)=sec⁡(5x−7) 이며, 따라서 g(h(x))=[sec⁡(5x−7)]3=sec⁡3(5x−7) 이다.=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅ddx{sec⁡(5x−7)}합성함수의 미분법이 다시 필요하다! ddx{sec⁡x}=sec⁡xtan⁡x 임을 떠올리자.=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅sec⁡(5x−7)tan⁡(5x−7)⋅ddx{5x−7}=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅sec⁡(5x−7)tan⁡(5x−7)⋅5간단히 하여 마무리한다:=exsec⁡3(5x−7)(1+15tan⁡(5x−7))\begin{aligned} f(x)&=\dfrac{e^{x}}{\cos^3 (5x-7)}\\ &=e^x\sec^3(5x-7) \\ \text{이제 곱의 미분법으로 미분한다:} \\ f'(x)&=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sec^3(5x-7)\} \\ \text{여기서는 합성함수의 미분법이 필요하다. $\sec^3(5x-7)=[\sec (5x-7)]^3$ 이므로 ``바깥" 함수는 $g(x)=x^3$ 이고 ``안쪽" 함수는 $h(x)=\sec(5x-7)$ 이며, 따라서 $g(h(x))=[\sec(5x-7)]^3=\sec^3(5x-7)$ 이다.} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~ \sec^2 (5x-7) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \sec(5x-7)\} \\ \text{합성함수의 미분법이 다시 필요하다! $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sec x\}=\sec x \tan x$ 임을 떠올리자.} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~{\sec}^2{(5x-7)} \cdot {\sec( 5x-7)\tan( 5x-7)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x-7\}}\\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~{\sec}^2{(5x-7)} \cdot {\sec({5x-7})\tan({5x-7})\cdot 5} \\ \text{간단히 하여 마무리한다:} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)(1+15\tan({5x-7})) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We present two solutions: one where we dive right in and use the quotient rule, and another where we simplify first and use the product rule.

  • Solution 1: We begin with the quotient rule:

f′(x)=cos⁡3(5x−7)ddx{ex}−exddx{cos⁡3(5x−7)}cos⁡6(5x−7)=cos⁡3(5x−7)ex−exddx{cos⁡3(5x−7)}cos⁡6(5x−7)Now, we use the chain rule. Since cos⁡3(5x−7)=[cos⁡(5x−7)]3, our “outside" function is g(x)=x3, and our “inside" function is h(x)=cos⁡(5x−1).=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅ddx{cos⁡(5x−7)}cos⁡6(5x−7)We need the chain rule again!=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅[−sin⁡(5x−7)⋅ddx{5x−7}]cos⁡6(5x−7)=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅[−sin⁡(5x−7)⋅5]cos⁡6(5x−7)We finish by simplifying:=excos⁡2(5x−7)(cos⁡(5x−7)+15sin⁡(5x−7))cos⁡6(5x−7)=excos⁡(5x−7)+15sin⁡(5x−7)cos⁡4(5x−7)=ex(sec⁡3(5x−7)+15tan⁡(5x−7)sec⁡3(5x−7))=exsec⁡3(5x−7)(1+15tan⁡(5x−7))\begin{aligned} f'(x) &= \frac{\cos^3(5x-7)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}-e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^3(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)}\\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^3(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{Now, we use the chain rule. Since $\cos^3(5x-7)=[\cos(5x-7)]^3$, our ``outside" function is $g(x)=x^3$, and our ``inside" function is $h(x)=\cos(5x-1)$.} \\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3 \cos^2 (5x-7) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{We need the chain rule again!} \\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3{\cos}^2{(5x-7)} \cdot[{-\sin( 5x-7)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x-7\}}]}{\cos^6(5x-7)}\\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3{\cos}^2{(5x-7)} \cdot[{-\sin({5x-7})\cdot5}]}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{We finish by simplifying:} \\ &= \frac{e^x\cos^2(5x-7)\left(\cos(5x-7)+15\sin(5x-7)\right)}{\cos^6(5x-7)}\\ &=e^x \frac{\cos(5x-7)+15\sin(5x-7)}{\cos^4(5x-7)}\\ &=e^x(\sec^3(5x-7)+15\tan(5x-7)\sec^3(5x-7))\\ &=e^x\sec^3(5x-7)(1+15\tan(5x-7)) \end{aligned}

  • Solution 2: We simplify to avoid the quotient rule:

f(x)=excos⁡3(5x−7)=exsec⁡3(5x−7)Now we use the product rule to differentiate:f′(x)=exsec⁡3(5x−7)+exddx{sec⁡3(5x−7)}Here, we’ll need the chain rule. Since sec⁡3(5x−7)=[sec⁡(5x−7)]3, our “outside" function is g(x)=x3 and our “inside" function is h(x)=sec⁡(5x−7), so that g(h(x))=[sec⁡(5x−7)]3=sec⁡3(5x−7).=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅ddx{sec⁡(5x−7)}We need the chain rule again! Recall ddx{sec⁡x}=sec⁡xtan⁡x.=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅sec⁡(5x−7)tan⁡(5x−7)⋅ddx{5x−7}=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅sec⁡(5x−7)tan⁡(5x−7)⋅5We finish by simplifying:=exsec⁡3(5x−7)(1+15tan⁡(5x−7))\begin{aligned} f(x)&=\dfrac{e^{x}}{\cos^3 (5x-7)}\\ &=e^x\sec^3(5x-7) \\ \text{Now we use the product rule to differentiate:} \\ f'(x)&=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sec^3(5x-7)\} \\ \text{Here, we'll need the chain rule. Since $\sec^3(5x-7)=[\sec (5x-7)]^3$, our ``outside" function is $g(x)=x^3$ and our ``inside" function is $h(x)=\sec(5x-7)$, so that $g(h(x))=[\sec(5x-7)]^3=\sec^3(5x-7)$.} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~ \sec^2 (5x-7) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \sec(5x-7)\} \\ \text{We need the chain rule again! Recall $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sec x\}=\sec x \tan x$.} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~{\sec}^2{(5x-7)} \cdot {\sec( 5x-7)\tan( 5x-7)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x-7\}}\\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~{\sec}^2{(5x-7)} \cdot {\sec({5x-7})\tan({5x-7})\cdot 5} \\ \text{We finish by simplifying:} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)(1+15\tan({5x-7})) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 32번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
112.CLP-1 · 2.9절 · 31번우리말 번역

평면 위의 입자가 시각 t=−π/2t=-\pi/2 부터 시각 t=π/2t=\pi/2 까지 직교좌표평면을 따라 움직인다. 시각 tt 에서 입자의 xx 좌표는 x=cos⁡tx=\cos t 이고 yy 좌표는 y=sin⁡ty=\sin t 이므로, 입자는 평면 위에 곡선을 그린다. 이 곡선의 접선의 기울기가 −1-1 이 되는 때는 언제입니까?

영어 원문 보기

A particle moves along the Cartesian plane from time t=−π/2t=-\pi/2 to time t=π/2t=\pi/2. The xx-coordinate of the particle at time tt is given by x=cos⁡tx=\cos t, and the yy-coordinate is given by y=sin⁡ty=\sin t, so the particle traces a curve in the plane. When does the tangent line to that curve have slope −1-1?

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

시각 tt 에서 입자는 점 (x(t),y(t))\big(x(t),y(t)\big) 에 있고, x(t)=cos⁡tx(t)=\cos t, y(t)=sin⁡ty(t)=\sin t 이다. 시간이 지나면서 입자는 곡선을 그리는데, 그 곡선을 y=f(x)y=f(x) 라 하자. 그러면 y(t)=f(x(t))y(t) = f\big(x(t)\big) 이므로 점 (x(t),y(t))\big(x(t),y(t)\big) 에서 곡선의 기울기는 f′(x(t))f'\big(x(t)\big) 이다. 따라서 f′(x(t))=−1f'\big(x(t)\big)=-1 을 만족시키는 tt 의 값을 구해야 한다.

합성함수의 미분법에 의해

y′(t)=f′(x(t))⋅x′(t)\begin{aligned} y'(t) = f'\big(x(t)\big) \cdot x'(t) \end{aligned}

이다. x(t)=cos⁡tx(t)=\cos t, y(t)=sin⁡ty(t)=\sin t 를 대입하면

cos⁡t=f′(x(t))⋅(−sin⁡t)\begin{aligned} \cos t = f'\big(x(t)\big) \cdot \big(-\sin t\big) \end{aligned}

이므로

f′(x(t))=−cos⁡tsin⁡t\begin{aligned} f'\big(x(t)\big) = -\frac{\cos t}{\sin t} \end{aligned}

이고, 이 값이 −1-1 이 되는 것은 sin⁡t=cos⁡t\sin t = \cos t 일 때뿐이다. 이는 t=π4t = \frac{\pi}{4} 일 때 일어난다.

참고: 입자가 그리는 경로는 반원이다. 각이 t 인 단위원 위의 점을 생각해도 되고, x2+y2=sin⁡2t+cos⁡2t=1x^2 + y^2 = \sin^2t + \cos^2t = 1 임을 알아차려도 된다.

원본 교재 풀이(영어)

At time tt, the particle is at the point (x(t),y(t))\big(x(t),y(t)\big), with x(t)=cos⁡tx(t)=\cos t and y(t)=sin⁡ty(t)=\sin t. Over time, the particle traces out a curve; let's call that curve y=f(x)y=f(x). Then y(t)=f(x(t))y(t) = f\big(x(t)\big), so the slope of the curve at the point (x(t),y(t))\big(x(t),y(t)\big) is f′(x(t))f'\big(x(t)\big). You are to determine the values of tt for which f′(x(t))=−1f'\big(x(t)\big)=-1.

By the chain rule

y′(t)=f′(x(t))⋅x′(t)\begin{aligned} y'(t) = f'\big(x(t)\big) \cdot x'(t) \end{aligned}

Substituting in x(t)=cos⁡tx(t)=\cos t and y(t)=sin⁡ty(t)=\sin t gives

cos⁡t=f′(x(t))⋅(−sin⁡t)\begin{aligned} \cos t = f'\big(x(t)\big) \cdot \big(-\sin t\big) \end{aligned}

so that

f′(x(t))=−cos⁡tsin⁡t\begin{aligned} f'\big(x(t)\big) = -\frac{\cos t}{\sin t} \end{aligned}

is −1-1 precisely when sin⁡t=cos⁡t\sin t = \cos t. This happens whenever t=π4t = \frac{\pi}{4}.

Remark: the path traced by the particle is a semicircle. You can think about the point on the unit circle with angle t, or you can notice that x2+y2=sin⁡2t+cos⁡2t=1x^2 + y^2 = \sin^2t + \cos^2t = 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 8번
# 합성함수의 미분법계산도전자동 분류
113.CLP-1 · 2.9절 · 32번우리말 번역

모든 x>0x>0 에 대해 ex+x2>1+xe^{x+x^2}>1+x 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that, for all x>0x>0, ex+x2>1+xe^{x+x^2}>1+x.

정답·풀이 보기

f(x)=ex+x2f(x)=e^{x+x^2}, g(x)=1+xg(x)=1+x 라 하자. 그러면 f(0)=g(0)=1f(0)=g(0)=1 이다.

f′(x)=(1+2x)ex+x2f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2} 이고 g′(x)=1g'(x)=1 이다. x>0x>0 일 때, f′(x)=(1+2x)ex+x2>1⋅ex+x2=ex+x2>e0+02=1=g′(x).f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}>1\cdot e^{x+x^2}=e^{x+x^2}>e^{0+0^2}=1=g'(x). f(0)=g(0)f(0)=g(0) 이고 모든 x>0x>0 에 대해 f′(x)>g′(x)f'(x)>g'(x) 이므로, ff 와 gg 는 같은 곳에서 출발하지만 ff 가 항상 더 빠르게 증가한다. 따라서 모든 x>0x>0 에 대해 f(x)>g(x)f(x)>g(x) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let f(x)=ex+x2f(x)=e^{x+x^2} and g(x)=1+xg(x)=1+x. Then f(0)=g(0)=1f(0)=g(0)=1.

f′(x)=(1+2x)ex+x2f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2} and g′(x)=1g'(x)=1. When x>0x>0, f′(x)=(1+2x)ex+x2>1⋅ex+x2=ex+x2>e0+02=1=g′(x).f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}>1\cdot e^{x+x^2}=e^{x+x^2}>e^{0+0^2}=1=g'(x). Since f(0)=g(0)f(0)=g(0), and f′(x)>g′(x)f'(x)>g'(x) for all x>0x>0, that means ff and gg start at the same place, but ff always grows faster. Therefore, f(x)>g(x)f(x)>g(x) for all x>0x>0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 28번
# 합성함수의 미분법증명·논술도전자동 분류
114.CLP-1 · 2.9절 · 33번우리말 번역

sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin (2x) = 2\sin x \cos x 임을 알고 있다. 이로부터 미분을 이용하여 유도할 수 있는 다른 삼각함수 항등식은 무엇입니까?

영어 원문 보기

We know that sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin (2x) = 2\sin x \cos x. What other trig identity can you derive from this, using differentiation?

정답·풀이 보기

sin⁡2x\sin 2x 와 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x 는 같은 함수이므로 도함수도 같다.

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x⇒ddx{sin⁡2x}=ddx{2sin⁡xcos⁡x}2cos⁡2x=2[cos⁡2x−sin⁡2x]cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\begin{aligned} \sin 2x &= 2\sin x \cos x\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin 2x\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\sin x \cos x\}\\ 2\cos 2x &=2[\cos^2x-\sin^2x]\\ \cos 2x &=\cos^2x-\sin^2 x \end{aligned}

따라서 또 다른 흔한 삼각함수 항등식인 cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x =\cos^2x-\sin^2 x 를 얻는다.

참고: 이 등식의 양변을 미분하면 처음의 항등식이 다시 나온다.

원본 교재 풀이(영어)

Since sin⁡2x\sin 2x and 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x are the same function, they have the same derivative.

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x⇒ddx{sin⁡2x}=ddx{2sin⁡xcos⁡x}2cos⁡2x=2[cos⁡2x−sin⁡2x]cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\begin{aligned} \sin 2x &= 2\sin x \cos x\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin 2x\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\sin x \cos x\}\\ 2\cos 2x &=2[\cos^2x-\sin^2x]\\ \cos 2x &=\cos^2x-\sin^2 x \end{aligned}

We conclude cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x =\cos^2x-\sin^2 x, which is another common trig identity.

Remark: if we differentiate both sides of this equation, we get the original identity back.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 31번
# 합성함수의 미분법계산도전자동 분류
115.CLP-1 · 2.9절 · 34번우리말 번역

f(x)=ecsc⁡x2x3−9tan⁡x3f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }} 의 도함수를 구하세요. 답을 간단히 하지 않아도 됩니다.

영어 원문 보기

Evaluate the derivative of f(x)=ecsc⁡x2x3−9tan⁡x3f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }}. You do not have to simplify your answer.

정답·풀이 보기

f(x)=ecsc⁡x2x3−9tan⁡x3=(ecsc⁡x2x3−9tan⁡x)13To begin the differentiation, we can choose our “outside" function to be g(x)=x13, and our “inside" function to be h(x)=ecsc⁡x2x3−9tan⁡x. Then f(x)=g(h(x)), so f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=13(h(x))−23h′(x):f′(x)=13(ecsc⁡x2x3−9tan⁡x)−23⋅ddx{ecsc⁡x2x3−9tan⁡x}=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23⋅ddx{ecsc⁡x2x3−9tan⁡x}This leads us to use the quotient rule:=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23(x3−9tan⁡xddx{ecsc⁡x2}−ecsc⁡x2ddx{x3−9tan⁡x}(tan⁡2x)(x3−9))Let’s figure out those two derivatives on their own, then plug them in. Using the chain rule twice:ddx{ecsc⁡x2}=ecsc⁡x2ddx{csc⁡x2}=ecsc⁡x2⋅(−csc⁡(x2)cot⁡(x2))⋅ddx{x2}=−2xecsc⁡x2csc⁡(x2)cot⁡(x2)For the other derivative, we start with the product rule, then chain:ddx{x3−9tan⁡x}=ddx{x3−9}⋅tan⁡x+x3−9sec⁡2x=12x3−9ddx{x3−9}⋅tan⁡x+x3−9sec⁡2x=3x2tan⁡x2x3−9+x3−9sec⁡2xNow, we plug these into our equation for f′(x):f′(x)=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23(x3−9tan⁡xddx{ecsc⁡x2}−ecsc⁡x2ddx{x3−9tan⁡x}(tan⁡2x)(x3−9))=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23⋅ (x3−9tan⁡x(−2x)ecsc⁡x2csc⁡(x2)cot⁡(x2)−ecsc⁡x2(3x2tan⁡x2x3−9+x3−9sec⁡2x)(tan⁡2x)(x3−9))\begin{aligned} f(x)&=\sqrt[3]{\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }}\\ &=\left({\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }}\right)^{\frac{1}{3}} \\ \text{To begin the differentiation, we can choose our ``outside" function to be $g(x)=x^{\frac{1}{3}}$, and our ``inside" function to be $h(x)=\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }$. Then $f(x)=g(h(x))$, so $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{3}(h(x))^{-\frac{2}{3}}h'(x)$:} \\ f'(x)&=\frac{1}{3}\left( \dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }\right)^{\frac{-2}{3}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }\right\}\\ &=\frac{1}{3} \left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }\right\} \\ \text{This leads us to use the quotient rule:} \\ &=\frac{1}{3}\left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{ \sqrt{x^3-9}\tan x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\csc x^2}\right\}-e^{\csc x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^3-9}\tan x \right\}}{(\tan^2 x)(x^3-9) }\right) \\ \text{Let's figure out those two derivatives on their own, then plug them in. Using the chain rule twice:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\csc x^2}\right\}&=e^{ \csc x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \csc x^2\right\}=e^{\csc x^2}\cdot (-\csc( x^2)\cot( x^2))\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\&=-2xe^{\csc x^2}\csc(x^2)\cot(x^2) \\ \text{For the other derivative, we start with the product rule, then chain:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sqrt{x^3-9} \tan x \right\}&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^3-9}\right\}\cdot\tan x+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x\\ &=\frac{1}{2\sqrt{ x^3-9}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^3-9\right\}\cdot \tan x+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x\\ &=\frac{3x^2 \tan x}{2\sqrt{{x^3-9}}}+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x \\ \text{Now, we plug these into our equation for $f'(x)$:} \\ f'(x)&=\frac{1}{3}\left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{ \sqrt{x^3-9}\tan x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\csc x^2}\right\}-e^{\csc x^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^3-9}\tan x \right\}}{(\tan^2 x)(x^3-9) }\right)\\ &=\frac{1}{3}\left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}}\cdot\\ &~\left(\frac{ \sqrt{x^3-9}\tan x (-2x)e^{\csc x^2}\csc(x^2)\cot(x^2)-e^{\csc x^2} \left(\frac{3x^2\tan x}{2\sqrt{{x^3-9}}}+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x\right)}{(\tan^2 x)(x^3-9) }\right) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=ecsc⁡x2x3−9tan⁡x3=(ecsc⁡x2x3−9tan⁡x)13To begin the differentiation, we can choose our “outside" function to be g(x)=x13, and our “inside" function to be h(x)=ecsc⁡x2x3−9tan⁡x. Then f(x)=g(h(x)), so f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=13(h(x))−23h′(x):f′(x)=13(ecsc⁡x2x3−9tan⁡x)−23⋅ddx{ecsc⁡x2x3−9tan⁡x}=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23⋅ddx{ecsc⁡x2x3−9tan⁡x}This leads us to use the quotient rule:=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23(x3−9tan⁡xddx{ecsc⁡x2}−ecsc⁡x2ddx{x3−9tan⁡x}(tan⁡2x)(x3−9))Let’s figure out those two derivatives on their own, then plug them in. Using the chain rule twice:ddx{ecsc⁡x2}=ecsc⁡x2ddx{csc⁡x2}=ecsc⁡x2⋅(−csc⁡(x2)cot⁡(x2))⋅ddx{x2}=−2xecsc⁡x2csc⁡(x2)cot⁡(x2)For the other derivative, we start with the product rule, then chain:ddx{x3−9tan⁡x}=ddx{x3−9}⋅tan⁡x+x3−9sec⁡2x=12x3−9ddx{x3−9}⋅tan⁡x+x3−9sec⁡2x=3x2tan⁡x2x3−9+x3−9sec⁡2xNow, we plug these into our equation for f′(x):f′(x)=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23(x3−9tan⁡xddx{ecsc⁡x2}−ecsc⁡x2ddx{x3−9tan⁡x}(tan⁡2x)(x3−9))=13(x3−9tan⁡xecsc⁡x2)23⋅ (x3−9tan⁡x(−2x)ecsc⁡x2csc⁡(x2)cot⁡(x2)−ecsc⁡x2(3x2tan⁡x2x3−9+x3−9sec⁡2x)(tan⁡2x)(x3−9))\begin{aligned} f(x)&=\sqrt[3]{\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }}\\ &=\left({\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }}\right)^{\frac{1}{3}} \\ \text{To begin the differentiation, we can choose our ``outside" function to be $g(x)=x^{\frac{1}{3}}$, and our ``inside" function to be $h(x)=\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }$. Then $f(x)=g(h(x))$, so $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{3}(h(x))^{-\frac{2}{3}}h'(x)$:} \\ f'(x)&=\frac{1}{3}\left( \dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }\right)^{\frac{-2}{3}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }\right\}\\ &=\frac{1}{3} \left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }\right\} \\ \text{This leads us to use the quotient rule:} \\ &=\frac{1}{3}\left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{ \sqrt{x^3-9}\tan x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\csc x^2}\right\}-e^{\csc x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^3-9}\tan x \right\}}{(\tan^2 x)(x^3-9) }\right) \\ \text{Let's figure out those two derivatives on their own, then plug them in. Using the chain rule twice:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\csc x^2}\right\}&=e^{ \csc x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \csc x^2\right\}=e^{\csc x^2}\cdot (-\csc( x^2)\cot( x^2))\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\&=-2xe^{\csc x^2}\csc(x^2)\cot(x^2) \\ \text{For the other derivative, we start with the product rule, then chain:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sqrt{x^3-9} \tan x \right\}&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^3-9}\right\}\cdot\tan x+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x\\ &=\frac{1}{2\sqrt{ x^3-9}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^3-9\right\}\cdot \tan x+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x\\ &=\frac{3x^2 \tan x}{2\sqrt{{x^3-9}}}+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x \\ \text{Now, we plug these into our equation for $f'(x)$:} \\ f'(x)&=\frac{1}{3}\left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{ \sqrt{x^3-9}\tan x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\csc x^2}\right\}-e^{\csc x^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^3-9}\tan x \right\}}{(\tan^2 x)(x^3-9) }\right)\\ &=\frac{1}{3}\left( \dfrac{ \sqrt{x^3-9} \tan x }{e^{\csc x^2}} \right)^{\frac{2}{3}}\cdot\\ &~\left(\frac{ \sqrt{x^3-9}\tan x (-2x)e^{\csc x^2}\csc(x^2)\cot(x^2)-e^{\csc x^2} \left(\frac{3x^2\tan x}{2\sqrt{{x^3-9}}}+\sqrt{x^3-9}\sec^2 x\right)}{(\tan^2 x)(x^3-9) }\right) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 29번
# 합성함수의 미분법계산도전자동 분류
116.Active Calculus · 2.5절 · 11번우리말 번역

기본 함수 f(x)=x3f(x) = x^3 과 g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x) 를 생각하세요.

(a) h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)) 라 하자. x=π4x = \frac{\pi}{4} 인 점에서 hh 의 순간변화율의 정확한 값을 구하세요. (b) x=0.25x = 0.25 에서 h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)) 와 r(x)=g(f(x))r(x) = g(f(x)) 중 어느 함수가 가장 빠르게 변하고 있나요? 그 이유는 무엇인가요? (c) h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)), r(x)=g(f(x))r(x) = g(f(x)) 라 하자. 이 두 함수 중 도함수가 주기적인 것은 어느 것인가요? 그 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Consider the basic functions f(x)=x3f(x) = x^3 and g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x).

(a) Let h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)). Find the exact instantaneous rate of change of hh at the point where x=π4x = \frac{\pi}{4}. (b) Which function is changing most rapidly at x=0.25x = 0.25: h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)) or r(x)=g(f(x))r(x) = g(f(x))? Why? (c) Let h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)) and r(x)=g(f(x))r(x) = g(f(x)). Which of these functions has a derivative that is periodic? Why?

정답·풀이 보기

(a) h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)) 이므로 연쇄 법칙에 의해 h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) 이다. f(x)=x3f(x)=x^3, g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x) 이므로 f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2, f′(g(x))=3sin⁡2(x)f'(g(x)) = 3\sin^2(x), g′(x)=cos⁡(x)g'(x) = \cos(x) 이다. 따라서 h′(x)=3sin⁡2(x)⋅cos⁡(x)h'(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x) 이고, h′(π4)=3(12)2⋅12=322h'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 3 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} 이다. (b) r′(x)=g′(f(x))⋅f′(x)=cos⁡(x3)⋅3x2r'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2 임에 주목한다. 따라서 r′(0.25)=cos⁡(0.253)⋅3(0.25)2≈0.1875r'(0.25) = \cos(0.25^3) \cdot 3(0.25)^2 \approx 0.1875 이고, (a)의 결과를 이용하면 h′(0.25)=3sin⁡2(0.25)⋅cos⁡(0.25)≈0.1779h'(0.25) = 3\sin^2(0.25) \cdot \cos(0.25) \approx 0.1779 이다. 그러므로 ∣h′(0.25)<r′(0.25)∣|h'(0.25) < r'(0.25)| 이므로 rr 이 더 빠르게 변하고 있음을 알 수 있다. (c) (a)와 (b)에서 h′(x)=3sin⁡2(x)⋅cos⁡(x)h'(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x), r′(x)=cos⁡(x3)⋅3x2r'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2 임을 확인했다. h′(x)h'(x) 의 곱을 이루는 두 부분이 모두 주기함수이므로 h′(x)h'(x) 는 (주기 2π2\pi 로) 주기적이다. 그러나 xx 가 증가함에 따라 3x23x^2 은 한없이 커지므로 r′(x)r'(x) 는 주기적이지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)), by the chain rule we know that h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x). Using the facts that f(x)=x3f(x)=x^3 and g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x), it follows f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 and f′(g(x))=3sin⁡2(x)f'(g(x)) = 3\sin^2(x), and g′(x)=cos⁡(x)g'(x) = \cos(x). Therefore, h′(x)=3sin⁡2(x)⋅cos⁡(x)h'(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x) and h′(π4)=3(12)2⋅12=322h'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 3 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}. (b) Note that r′(x)=g′(f(x))⋅f′(x)=cos⁡(x3)⋅3x2r'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2. Thus, we have r′(0.25)=cos⁡(0.253)⋅3(0.25)2≈0.1875r'(0.25) = \cos(0.25^3) \cdot 3(0.25)^2 \approx 0.1875, while using our work from (a), h′(0.25)=3sin⁡2(0.25)⋅cos⁡(0.25)≈0.1779h'(0.25) = 3\sin^2(0.25) \cdot \cos(0.25) \approx 0.1779, so since ∣h′(0.25)<r′(0.25)∣|h'(0.25) < r'(0.25)|, we see that rr is changing more rapidly. (c) We have observed in (a) and (b) that h′(x)=3sin⁡2(x)⋅cos⁡(x)h'(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x) and r′(x)=cos⁡(x3)⋅3x2r'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2. Because both parts of the product in h′(x)h'(x) are periodic functions, h′(x)h'(x) is periodic (with period 2π2\pi). However, r′(x)r'(x) is not periodic, since 3x23x^2 grows without bound as xx increases.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 44번
# 합성함수의 미분법계산자동 분류
Active Calculus CC BY-SA우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
117.Active Calculus · 2.5절 · 12번우리말 번역

u(x)u(x) 를 미분가능한 함수라 하자. 다음 각 함수에 대해 도함수를 구하세요. 각 답에는 uu 및/또는 u′u' 이 포함됩니다.

(a) p(x)=eu(x)p(x) = e^{u(x)} (b) q(x)=u(ex)q(x) = u(e^x) (c) r(x)=cot⁡(u(x))r(x) = \cot(u(x)) (d) s(x)=u(cot⁡(x))s(x) = u(\cot(x)) (e) a(x)=u(x4)a(x) = u(x^4) (f) b(x)=(u(x))4b(x) = (u(x))^4

영어 원문 보기

Let u(x)u(x) be a differentiable function. For each of the following functions, determine the derivative. Each response will involve uu and/or u′u'.

(a) p(x)=eu(x)p(x) = e^{u(x)} (b) q(x)=u(ex)q(x) = u(e^x) (c) r(x)=cot⁡(u(x))r(x) = \cot(u(x)) (d) s(x)=u(cot⁡(x))s(x) = u(\cot(x)) (e) a(x)=u(x4)a(x) = u(x^4) (f) b(x)=(u(x))4b(x) = (u(x))^4

정답·풀이 보기

(a) 연쇄 법칙에 의해 p′(x)=eu(x)⋅u′(x)p'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x) 이다. (b) 연쇄 법칙에 의해 q′(x)=u′(ex)⋅exq'(x) = u'(e^x) \cdot e^x 이다. (c) 연쇄 법칙에 의해 r′(x)=−csc⁡2(u(x)⋅u′(x)r'(x) = -\csc^2(u(x) \cdot u'(x) 이다. (d) 연쇄 법칙에 의해 s′(x)=u′(cot⁡(x))⋅(−csc⁡2(x))s'(x) = u'(\cot(x)) \cdot (-\csc^2(x)) 이다. (e) 연쇄 법칙에 의해 a′(x)=u′(x4)⋅4x3a'(x) = u'(x^4) \cdot 4x^3 이다. (f) 연쇄 법칙에 의해 b′(x)=4(u(x))3⋅u′(x)b'(x) = 4(u(x))^3 \cdot u'(x) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By the chain rule, p′(x)=eu(x)⋅u′(x)p'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x). (b) By the chain rule, q′(x)=u′(ex)⋅exq'(x) = u'(e^x) \cdot e^x. (c) By the chain rule, r′(x)=−csc⁡2(u(x)⋅u′(x)r'(x) = -\csc^2(u(x) \cdot u'(x). (d) By the chain rule, s′(x)=u′(cot⁡(x))⋅(−csc⁡2(x))s'(x) = u'(\cot(x)) \cdot (-\csc^2(x)). (e) By the chain rule, a′(x)=u′(x4)⋅4x3a'(x) = u'(x^4) \cdot 4x^3. (f) By the chain rule, b′(x)=4(u(x))3⋅u′(x)b'(x) = 4(u(x))^3 \cdot u'(x).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 46번
# 합성함수의 미분법계산자동 분류
Active Calculus CC BY-SA우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
118.Active Calculus · 2.5절 · 14번우리말 번역

반지름이 4피트인 구 모양의 물탱크에 물이 hh피트 높이로 들어 있을 때, 탱크 안에 있는 물의 부피는 다음 식으로 주어집니다.

V=π3h2(12−h) .V = \frac{\pi}{3} h^2(12-h)\,.

(a) h=1h = 1 인 순간에, 물의 부피는 물의 높이에 대해 어떤 순간변화율로 변하나요? 이 양의 단위는 무엇인지 구하세요. (b) 이제 유입과 유출(예: 수도꼭지와 배수구)로 탱크 안 물의 높이가 조절되어, 시각 tt 에서 물의 높이가 h(t)=sin⁡(πt)+1h(t) = \sin(\pi t) + 1 이라는 규칙으로 주어진다고 합시다. 여기서 tt 는 시간 단위로 재고(hh 는 여전히 피트 단위로 잽니다). t=2t = 2 인 순간에 물의 높이는 시간에 대해 어떤 비율로 변하는지 구하세요. (c) (b)의 가정을 이어서 사용할 때, t=2t = 2 인 순간에 탱크 안 물의 부피는 시간에 대해 어떤 순간변화율로 변하는지 구하세요. (d) (a)에서 구한 변화율과 (c)에서 구한 변화율의 주된 차이점은 무엇인지 설명하세요. 관련된 단위에 대한 논의를 포함하세요.

영어 원문 보기

If a spherical tank of radius 4 feet has hh feet of water present in the tank, then the volume of water in the tank is given by the formula

V=π3h2(12−h) .V = \frac{\pi}{3} h^2(12-h)\,.

(a) At what instantaneous rate is the volume of water in the tank changing with respect to the height of the water at the instant h=1h = 1? What are the units on this quantity? (b) Now suppose that the height of water in the tank is being regulated by an inflow and outflow (e.g., a faucet and a drain) so that the height of the water at time tt is given by the rule h(t)=sin⁡(πt)+1h(t) = \sin(\pi t) + 1, where tt is measured in hours (and hh is still measured in feet). At what rate is the height of the water changing with respect to time at the instant t=2t = 2? (c) Continuing under the assumptions in (b), at what instantaneous rate is the volume of water in the tank changing with respect to time at the instant t=2t = 2? (d) What are the main differences between the rates found in (a) and (c)? Include a discussion of the relevant units.

정답·풀이 보기

(a) h=1h = 1 인 순간에 dVdh\frac{dV}{dh} (VV 를 독립변수 hh 에 대해 미분한 도함수)를 구하는 문제이다. 먼저 VV 를 전개하여 V=π3(12h2−h3)V = \frac{\pi}{3}\left(12h^2 - h^3\right) 으로 쓰면 dVdh=π3(24h−3h2)=π(8h−h2) ,\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} \left(24h - 3h^2\right) = \pi \left(8h-h^2 \right)\,, 이고 단위는 “피트당 세제곱피트”이다. h=1h=1 에서의 값을 구하면 dVdh∣h=1=π(8⋅1−12)=7π\left. \frac{dV}{dh} \right|_{h=1} = \pi \left(8 \cdot 1 - 1^2 \right) = 7\pi 이다. (b) h(t)=sin⁡(πt)+1h(t) = \sin(\pi t) + 1 이므로 tt 에 대한 hh 의 순간변화율은 h′(t)=πcos⁡(πt)h'(t) = \pi \cos(\pi t) 이고, 따라서 h′(2)=πcos⁡(2π)=πh'(2) = \pi \cos(2\pi) = \pi 시간당 피트이다. (c) 먼저 VV 를 독립변수 tt 에 대해 미분한 도함수 dVdt\frac{dV}{dt} 를 구한다. 여기서 VV 를 tt 의 함수로 V(t)=π3(12(h(t))2−(h(t))3)V(t) = \frac{\pi}{3}\left(12(h(t))^2 - (h(t))^3\right) 과 같이 쓸 수 있고, h(t)=sin⁡(πt)+1h(t) = \sin(\pi t) + 1 이다. 연쇄 법칙에 의해 dVdt=π3(12⋅2h(t)⋅h′(t)−3(h(t))2⋅h′(t))\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left( 12 \cdot 2 h(t) \cdot h'(t) - 3 (h(t))^2 \cdot h'(t) \right) 이고, h(t)=sin⁡(πt)+1h(t) = \sin(\pi t) + 1 과 h′(t)=πcos⁡(πt)h'(t) = \pi \cos(\pi t) 를 이용하면 dVdt=π3[12⋅2(sin⁡(πt)+1)⋅πcos⁡(πt)−3(sin⁡(πt)+1)2⋅πcos⁡(πt)]\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(\pi t) + 1) \cdot \pi \cos(\pi t) - 3 (\sin(\pi t) + 1)^2 \cdot \pi \cos(\pi t) \right] 이며 단위는 “시간당 피트”이다. 이제 t=2t=2 일 때의 dVdt\frac{dV}{dt} 를 구한다. 위에서 구한 결과를 이용하면 dVdt∣t=2=π3[12⋅2(sin⁡(2π)+1)⋅πcos⁡(2π)−3(sin⁡(2π)+1)2⋅πcos⁡(2π)]=7π2\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t=2} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(2\pi) + 1) \cdot \pi \cos(2\pi) - 3 (\sin(2\pi) + 1)^2 \cdot \pi \cos(2\pi) \right] = 7 \pi^2 시간당 세제곱피트이다. (d) (a)에서는 탱크 안 물의 높이를 증가시킬 때 부피가 변하는 순간변화율을 구하고, (c)에서는 시간이 증가할 때 부피가 변하는 순간변화율을 구한다. 첫 번째 계산은 직접적인 계산이고, 두 번째 계산은 VV 와 시간의 함수인 hh 의 합성을 포함하므로 보다 간접적이다. 후자의 경우 hh 와 VV 모두 시간의 함수이므로, VV 가 hh 의 함수로서 어떻게 변하는지뿐만 아니라 tt 의 함수로서 어떻게 변하는지도 생각할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are asked to find dVdh\frac{dV}{dh} (the derivative of VV with respect to the independent variable hh) at the instant h=1h = 1. If we first expand VV to write V=π3(12h2−h3)V = \frac{\pi}{3}\left(12h^2 - h^3\right) we find that dVdh=π3(24h−3h2)=π(8h−h2) ,\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} \left(24h - 3h^2\right) = \pi \left(8h-h^2 \right)\,, with units “cubic feet per foot”. Evaluating at h=1h=1, we get dVdh∣h=1=π(8⋅1−12)=7π\left. \frac{dV}{dh} \right|_{h=1} = \pi \left(8 \cdot 1 - 1^2 \right) = 7\pi (b) Since h(t)=sin⁡(πt)+1h(t) = \sin(\pi t) + 1, the instantaneous rate of change of hh with respect to tt is h′(t)=πcos⁡(πt)h'(t) = \pi \cos(\pi t), and therefore h′(2)=πcos⁡(2π)=πh'(2) = \pi \cos(2\pi) = \pi feet per hour. (c) First we want to find dVdt\frac{dV}{dt}, the derivative of VV with respect to the independent variable tt. Here we can write VV as a function of tt by writing V(t)=π3(12(h(t))2−(h(t))3)V(t) = \frac{\pi}{3}\left(12(h(t))^2 - (h(t))^3\right), where h(t)=sin⁡(πt)+1h(t) = \sin(\pi t) + 1. By the chain rule, it follows that dVdt=π3(12⋅2h(t)⋅h′(t)−3(h(t))2⋅h′(t))\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left( 12 \cdot 2 h(t) \cdot h'(t) - 3 (h(t))^2 \cdot h'(t) \right) and hence using h(t)=sin⁡(πt)+1h(t) = \sin(\pi t) + 1 and h′(t)=πcos⁡(πt)h'(t) = \pi \cos(\pi t), dVdt=π3[12⋅2(sin⁡(πt)+1)⋅πcos⁡(πt)−3(sin⁡(πt)+1)2⋅πcos⁡(πt)]\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(\pi t) + 1) \cdot \pi \cos(\pi t) - 3 (\sin(\pi t) + 1)^2 \cdot \pi \cos(\pi t) \right] with units “ feet per hour”. Now we want to find dVdt\frac{dV}{dt} when t=2t=2. Using our most recent work, we have dVdt∣t=2=π3[12⋅2(sin⁡(2π)+1)⋅πcos⁡(2π)−3(sin⁡(2π)+1)2⋅πcos⁡(2π)]=7π2\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t=2} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(2\pi) + 1) \cdot \pi \cos(2\pi) - 3 (\sin(2\pi) + 1)^2 \cdot \pi \cos(2\pi) \right] = 7 \pi^2 cubic feet per hour. (d) In (a) we are determining the instantaneous rate at which the volume changes as we increase the height of the water in the tank, while in (c) we are finding the instantaneous rate at which volume changes as we increase time. The first calculation is a direct one, while the second is more indirect, as it involves the composition of VV with hh as a function of time. In the latter case, both hh and VV are functions of time, which allows us to think not only of how VV is changing as a function of hh, but also as a function of tt.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 36번
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