벡터와 공간 전체 연습문제

221.APEX · 11.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서는 곡선 $C$ 와 $C$ 위의 2개의 점이 주어져 있다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) $C$ 의 곡률 $\kappa$ 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 $\kappa$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \cos^2 t, \sin t\cos t\right\rangle$ 로 정의되고, 주어진 점은 $t=0$ 과 $t=\pi/3$ 에서의 점이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve $C$ is described along with 2 points on $C$ .

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature $\kappa$ of $C$ , and evaluate $\kappa$ at each of the 2 given points.

$C$ is defined by $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \cos^2 t, \sin t\cos t\right\rangle$ ; points given at $t=0$ and $t=\pi/3$ .

정답·풀이 보기

$\kappa = 2$ ;

$\kappa(0) = 2$ , $\kappa(\pi/3) = 2$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa = 2$ ;

$\kappa(0) = 2$ , $\kappa(\pi/3) = 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 26번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

222.APEX · 11.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서는 곡선 $C$ 와 $C$ 위의 2개의 점이 주어져 있다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) $C$ 의 곡률 $\kappa$ 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 $\kappa$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2-1,t^3-t\right\rangle$ 로 정의되고, 주어진 점은 $t=0$ 과 $t=5$ 에서의 점이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve $C$ is described along with 2 points on $C$ .

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature $\kappa$ of $C$ , and evaluate $\kappa$ at each of the 2 given points.

$C$ is defined by $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2-1,t^3-t\right\rangle$ ; points given at $t=0$ and $t=5$ .

정답·풀이 보기

$\kappa = \frac{|6t^2+2|}{\left(4t^2+(3t^2-1)^2\right)^{3/2}}$ ;

$\kappa(0) = 2$ , $\kappa(5) = \frac{19}{1394\sqrt{1394}}\approx 0.0004$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa = \frac{|6t^2+2|}{\left(4t^2+(3t^2-1)^2\right)^{3/2}}$ ;

$\kappa(0) = 2$ , $\kappa(5) = \frac{19}{1394\sqrt{1394}}\approx 0.0004$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 12번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

223.APEX · 11.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22 에서는 곡선 $C$ 와 $C$ 위의 2개의 점이 주어진다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) $C$ 의 곡률 $\kappa$ 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 $\kappa$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \tan t,\sec t\right\rangle$ 로 정의되고, 주어진 점은 $t=0$ 과 $t=\pi/6$ 일 때의 점이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve $C$ is described along with 2 points on $C$ .

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature $\kappa$ of $C$ , and evaluate $\kappa$ at each of the 2 given points.

$C$ is defined by $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \tan t,\sec t\right\rangle$ ; points given at $t=0$ and $t=\pi/6$ .

정답·풀이 보기

$\kappa = \frac{|\sec^3t|}{\left(\sec^4t+\sec^2t\tan^2t\right)^{3/2}}$ ;

$\kappa(0) = 1$ , $\kappa(\pi/6) = \frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{5}}\approx 0.465$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa = \frac{|\sec^3t|}{\left(\sec^4t+\sec^2t\tan^2t\right)^{3/2}}$ ;

$\kappa(0) = 1$ , $\kappa(\pi/6) = \frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{5}}\approx 0.465$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 12번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

224.APEX · 11.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서는 곡선 $C$ 와 $C$ 위의 2개의 점이 주어진다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) $C$ 의 곡률 $\kappa$ 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 $\kappa$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 4t+2,3t-1,2t+5\right\rangle$ 로 정의되고, 주어진 점은 $t=0$ 과 $t=1$ 에 대응한다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve $C$ is described along with 2 points on $C$ .

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature $\kappa$ of $C$ , and evaluate $\kappa$ at each of the 2 given points.

$C$ is defined by $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 4t+2,3t-1,2t+5\right\rangle$ ; points given at $t=0$ and $t=1$ .

정답·풀이 보기

$\kappa = 0$ ;

$\kappa(0) = 0$ , $\kappa(1) = 0$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa = 0$ ;

$\kappa(0) = 0$ , $\kappa(1) = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.2절 · 2번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

225.APEX · 11.5절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서는 곡선 $C$ 와 $C$ 위의 2개의 점이 주어져 있습니다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) $C$ 의 곡률 $\kappa$ 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 $\kappa$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^3-t,t^3-4,t^2-1\right\rangle$ 로 정의되며, 주어진 점은 $t=0$ 과 $t=1$ 일 때의 점입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve $C$ is described along with 2 points on $C$ .

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature $\kappa$ of $C$ , and evaluate $\kappa$ at each of the 2 given points.

$C$ is defined by $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^3-t,t^3-4,t^2-1\right\rangle$ ; points given at $t=0$ and $t=1$ .

정답·풀이 보기

$\kappa = \frac{2 \sqrt{18 t^4+15t^2+1}}{\left(18 t^4-2t^2+1\right)^{3/2}}$ ;

$\kappa(0) = 2$ , $\kappa(1) = 2\sqrt{2}/17\approx 0.166378$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa = \frac{2 \sqrt{18 t^4+15t^2+1}}{\left(18 t^4-2t^2+1\right)^{3/2}}$ ;

$\kappa(0) = 2$ , $\kappa(1) = 2\sqrt{2}/17\approx 0.166378$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 4번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

226.APEX · 11.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서는 곡선 $C$ 와 $C$ 위의 2개의 점이 주어져 있다.

(a) 그림을 이용하여 이 점들 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) $C$ 의 곡률 $\kappa$ 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 $\kappa$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t, 2t\right\rangle$ 로 정의되며, 주어진 점은 $t=0$ 과 $t=\pi/2$ 일 때의 점이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve $C$ is described along with 2 points on $C$ .

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature $\kappa$ of $C$ , and evaluate $\kappa$ at each of the 2 given points.

$C$ is defined by $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t, 2t\right\rangle$ ; points given at $t=0$ and $t=\pi/2$ .

정답·풀이 보기

$\kappa = \frac{3}{13}$ ;

$\kappa(0) = 3/13$ , $\kappa(\pi/2) = 3/13$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa = \frac{3}{13}$ ;

$\kappa(0) = 3/13$ , $\kappa(\pi/2) = 3/13$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 8번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

227.APEX · 11.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서는 곡선 $C$ 와 $C$ 위의 2개의 점이 주어져 있습니다.

(a) 스케치를 이용하여, 이 2개의 점 중 어느 점에서 곡률이 더 큰지 판단하세요. (b) $C$ 의 곡률 $\kappa$ 를 구하고, 주어진 2개의 점 각각에서 $\kappa$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 5\cos t,13\sin t, 12\cos t\right\rangle$ 로 정의되며, 주어진 점은 $t=0$ 과 $t=\pi/2$ 일 때의 점입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–22 , a curve $C$ is described along with 2 points on $C$ .

(a) Using a sketch, determine at which of these points the curvature is greater. (b) Find the curvature $\kappa$ of $C$ , and evaluate $\kappa$ at each of the 2 given points.

$C$ is defined by $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 5\cos t,13\sin t, 12\cos t\right\rangle$ ; points given at $t=0$ and $t=\pi/2$ .

정답·풀이 보기

$\kappa = \frac{1}{13}$ ;

$\kappa(0) = 1/13$ , $\kappa(\pi/2) = 1/13$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa = \frac{1}{13}$ ;

$\kappa(0) = 1/13$ , $\kappa(\pi/2) = 1/13$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.2절 · 3번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

228.CLP-3 · 1.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^2$ 에서 다음을 만족하는 모든 점 $(x,y)$ 의 집합을 설명하고 그래프를 그리세요.

(a) $x=y$ (b) $x+y=1$ (c) $x^2+y^2=4$ (d) $x^2+y^2=2y$ (e) $x^2+y^2<2y$

영어 원문 보기

Describe and sketch the set of all points $(x,y)$ in $\mathbb{R}^2$ that satisfy

(a) $x=y$ (b) $x+y=1$ (c) $x^2+y^2=4$ (d) $x^2+y^2=2y$ (e) $x^2+y^2<2y$

정답·풀이 보기

(a) $x=y$ 는 직선이고 두 점 $(0,0)$ 과 $(1,1)$ 을 지난다. 따라서 원점을 지나고 $x$ 축 및 $y$ 축과 $45^\circ$ 의 각을 이루는 직선이다. 아래 왼쪽 그림에 그려져 있다.

(b) $x+y=1$ 은 두 점 $(1,0)$ 과 $(0,1)$ 을 지나는 직선이다. 위 오른쪽 그림에 그려져 있다.

(c) $x^2+y^2$ 은 $(0,0)$ 에서 $(x,y)$ 까지의 거리의 제곱이다. 따라서 $x^2+y^2=4$ 는 중심이 $(0,0)$ 이고 반지름이 2인 원이다. 아래 왼쪽 그림에 그려져 있다.

(d) 방정식 $x^2+y^2=2y$ 는 $x^2+(y-1)^2=1$ 과 같다. $x^2+(y-1)^2$ 은 $(0,1)$ 에서 $(x,y)$ 까지의 거리의 제곱이므로, $x^2+(y-1)^2=1$ 은 중심이 $(0,1)$ 이고 반지름이 1인 원이다. 위 오른쪽 그림에 그려져 있다.

(e) (d)와 같이,

$x^2+y^2<2y \iff x^2+y^2-2y<0 \iff x^2+y^2-2y+1<1 \iff x^2+(y-1)^2<1$

이다. $x^2+(y-1)^2$ 은 $(0,1)$ 에서 $(x,y)$ 까지의 거리의 제곱이므로, $x^2+(y-1)^2<1$ 은 $(0,1)$ 로부터의 거리가 $1$ 보다 엄밀하게 작은 점들의 집합이다. 즉, 중심이 $(0,1)$ 이고 반지름이 1인 원의 엄밀하게 안쪽에 있는 점들의 집합이다. 이 집합은 아래 그림에서 색칠한 부분(점선으로 그린 원은 포함하지 않음)이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $x=y$ is a straight line and passes through the points $(0,0)$ and $(1,1)$ . So it is the straight line through the origin that makes an angle $45^\circ$ with the $x$ – and $y$ –axes. It is sketched in the figure on the left below.

(b) $x+y=1$ is the straight line through the points $(1,0)$ and $(0,1)$ . It is sketched in the figure on the right above.

(c) $x^2+y^2$ is the square of the distance from $(0,0)$ to $(x,y)$ . So $x^2+y^2=4$ is the circle with centre $(0,0)$ and radius 2. It is sketched in the figure on the left below.

(d) The equation $x^2+y^2=2y$ is equivalent to $x^2+(y-1)^2=1$ . As $x^2+(y-1)^2$ is the square of the distance from $(0,1)$ to $(x,y)$ , $x^2+(y-1)^2=1$ is the circle with centre $(0,1)$ and radius 1. It is sketched in the figure on the right above.

(e) As in part (d),

$x^2+y^2<2y \iff x^2+y^2-2y<0 \iff x^2+y^2-2y+1<1 \iff x^2+(y-1)^2<1$

As $x^2+(y-1)^2$ is the square of the distance from $(0,1)$ to $(x,y)$ , $x^2+(y-1)^2<1$ is the set of points whose distance from $(0,1)$ is strictly less than $1$ . That is, it is the set of points strictly inside the circle with centre $(0,1)$ and radius 1. That set is the shaded region (not including the dashed circle) in the sketch below.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.1절 · 3번

# 공간좌표그래프·표 해석기본자동 분류

229.CLP-3 · 1.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 조건을 만족하는 $\mathbb{R}^3$ 의 모든 점 $(x,y,z)$ 의 집합을 설명하세요. 그 집합 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프를 그리세요.

(a) $z = x$ (b) $x + y + z = 1$ (c) $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ (d) $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ , $z = 1$ (e) $x^2+y^2=4$ (f) $z = x^2 + y^2$

영어 원문 보기

Describe the set of all points $(x,y,z)$ in $\mathbb{R}^3$ that satisfy the following conditions. Sketch the part of the set that is in the first octant.

(a) $z = x$ (b) $x + y + z = 1$ (c) $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ (d) $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ , $z = 1$ (e) $x^2+y^2=4$ (f) $z = x^2 + y^2$

정답·풀이 보기

(a) 고정된 각 $y_0$ 에 대해 $z=x,\ y=y_0$ 은 평면 $y=y_0$ 위에 놓인 직선이다. (이 평면은 $x$ 축과 $z$ 축을 포함하는 평면과 평행하며, 그 평면으로부터의 거리가 $y_0$ 이다.) 이 직선은 $x=z=0$ 인 점을 지나고 $xy$ 평면과 $45^\circ$ 의 각을 이룬다. 이러한 직선( $y_0=0$ 인 경우)을 아래 그림에 그렸다. 집합 $z=x$ 는 $y_0$ 의 모든 값에 대한 직선 $z=x,\ y=y_0$ 들의 합집합이다. $y_0$ 가 변함에 따라 $z=x,\ y=y_0$ 은 $y$ 축을 포함하고 $xy$ 평면과 $45^\circ$ 의 각을 이루는 평면을 훑는다. 다음은 이 평면 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

(b) $x+y+z=1$ 은 세 점 $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ 을 지나는 평면이다. 다음은 이 평면 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

(c) $x^2+y^2+z^2$ 은 $(0,0,0)$ 에서 $(x,y,z)$ 까지의 거리의 제곱이다. 따라서 $x^2+y^2+z^2=4$ 는 $(0,0,0)$ 으로부터의 거리가 $2$ 인 점들의 집합이다. 이것은 중심이 $(0,0,0)$ 이고 반지름이 2인 구이다. 다음은 이 구 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

(d) $x^2+y^2+z^2=4$ , $z=1$ 은, 즉 $x^2+y^2=3$ , $z=1$ 은, 평면 $z=1$ 과 중심이 $(0,0,0)$ 이고 반지름이 2인 구의 교집합이다. 이것은 평면 $z=1$ 위에 있고 중심이 $(0,0,1)$ 이며 반지름이 $\sqrt{3}$ 인 원이다. 이 원 중 제1팔분공간에 있는 부분은 다음 그림에서 굵게 표시된 사분원이다.

(e) 고정된 각 $z_0$ 에 대해 $x^2+y^2=4$ , $z=z_0$ 은 평면 $z=z_0$ 위에 있고 중심이 $(0,0,z_0)$ 이며 반지름이 $2$ 인 원이다. 따라서 $x^2+y^2=4$ 는 $z_0$ 의 모든 가능한 값에 대한 $x^2+y^2=4,\ z=z_0$ 들의 합집합이다. 이것은 수평인 원들이 수직으로 쌓인 것이며, $z$ 축을 중심축으로 하고 반지름이 $2$ 인 원기둥이다. 다음은 이 원기둥 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

(f) 고정된 각 $z_0\ge 0$ 에 대해 곡선 $z = x^2 + y^2,\ z=z_0$ 은 평면 $z=z_0$ 위에 있고 중심이 $(0,0,z_0)$ 이며 반지름이 $\sqrt{z_0}$ 인 원이다. $z = x^2 + y^2$ 은 $z_0\ge 0$ 의 모든 가능한 값에 대한 $z = x^2 + y^2,\ z=z_0$ 들의 합집합이므로, 수평인 원들이 수직으로 쌓인 것이다. 이 곡면과 $yz$ 평면의 교선은 포물선 $z=y^2$ 이다. 다음은 이 포물면 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For each fixed $y_0$ , $z=x,\ y=y_0$ is a straight line that lies in the plane, $y=y_0$ (which is parallel to the plane containing the $x$ and $z$ axes and is a distance $y_0$ from it). This line passes through $x=z=0$ and makes an angle $45^\circ$ with the $xy$ –plane. Such a line (with $y_0=0$ ) is sketched in the figure below. The set $z=x$ is the union of all the lines $z=x,\ y=y_0$ with all values of $y_0$ . As $y_0$ varies $z=x,\ y=y_0$ sweeps out the plane which contains the $y$ –axis and which makes an angle $45^\circ$ with the $xy$ –plane. Here is a sketch of the part of the plane that is in the first octant.

(b) $x+y+z=1$ is the plane through the points $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ and $(0,0,1)$ . Here is a sketch of the part of the plane that is in the first octant.

(c) $x^2+y^2+z^2$ is the square of the distance from $(0,0,0)$ to $(x,y,z)$ . So $x^2+y^2+z^2=4$ is the set of points whose distance from $(0,0,0)$ is $2$ . It is the sphere with centre $(0,0,0)$ and radius 2. Here is a sketch of the part of the sphere that is in the first octant.

(d) $x^2+y^2+z^2=4$ , $z=1$ or equivalently $x^2+y^2=3$ , $z=1$ , is the intersection of the plane $z=1$ with the sphere of centre $(0,0,0)$ and radius 2. It is a circle in the plane $z=1$ that has centre $(0,0,1)$ and radius $\sqrt{3}$ . The part of the circle in the first octant is the heavy quarter circle in the sketch

(e) For each fixed $z_0$ , $x^2+y^2=4$ , $z=z_0$ is a circle in the plane $z=z_0$ with centre $(0,0,z_0)$ and radius $2$ . So $x^2+y^2=4$ is the union of $x^2+y^2=4,\ z=z_0$ for all possible values of $z_0$ . It is a vertical stack of horizontal circles. It is the cylinder of radius $2$ centered on the $z$ –axis. Here is a sketch of the part of the cylinder that is in the first octant.

(f) For each fixed $z_0\ge 0$ , the curve $z = x^2 + y^2,\ z=z_0$ is the circle in the plane $z=z_0$ with centre $(0,0,z_0)$ and radius $\sqrt{z_0}$ . As $z = x^2 + y^2$ is the union of $z = x^2 + y^2,\ z=z_0$ for all possible values of $z_0\ge 0$ , it is a vertical stack of horizontal circles. The intersection of the surface with the $yz$ –plane is the parabola $z=y^2$ . Here is a sketch of the part of the paraboloid that is in the first octant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.2절 · 17번

# 공간좌표그래프·표 해석기본자동 분류

230.CLP-3 · 1.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

어떤 곡면이 다음을 만족하는 모든 점 $P=(x,y,z)$ 로 이루어져 있다. $P$ 에서 점 $(0,0,1)$ 까지의 거리가 $P$ 에서 평면 $z+1=0$ 까지의 거리와 같다. 이 곡면의 방정식을 구하고, 그래프를 그린 다음 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

A certain surface consists of all points $P=(x,y,z)$ such that the distance from $P$ to the point $(0,0,1)$ is equal to the distance from $P$ to the plane $z+1=0$ . Find an equation for the surface, sketch and describe it verbally.

정답·풀이 보기

$P$ 에서 점 $(0,0,1)$ 까지의 거리는 $\sqrt{x^2+y^2+(z-1)^2}$ 이다. $P$ 에서 주어진 평면까지의 거리는 $|z+1|$ 이다. 따라서 곡면의 방정식은

$x^2+y^2+(z-1)^2=(z+1)^2\text{ 또는 } x^2+y^2=4z$

이다. 이 곡면 위의 모든 점은 $z\ge 0$ 이다. 곡면 위의 점 중 $z$ 의 값이 고정된 값 $z_0\ge 0$ 인 점들의 집합은 $z$ 축 위에 중심이 있고, $xy$ 평면과 평행하며, 반지름이 $2\sqrt{z_0}$ 인 원이다. 이 곡면은 이러한 원들을 쌓아 놓은 모양으로, 원점의 한 점에서 시작하여 위로 갈수록 반지름이 증가한다. 이 곡면은 포물면이며 아래 그림과 같다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance from $P$ to the point $(0,0,1)$ is $\sqrt{x^2+y^2+(z-1)^2}$ . The distance from $P$ to the specified plane is $|z+1|$ . Hence the equation of the surface is

$x^2+y^2+(z-1)^2=(z+1)^2\text{ or } x^2+y^2=4z$

All points on this surface have $z\ge 0$ . The set of points on the surface that have any fixed value, $z_0\ge 0$ , of $z$ consists of a circle that is centred on the $z$ –axis, is parallel to the $xy$ -plane and has radius $2\sqrt{z_0}$ . The surface consists of a stack of these circles, starting with a point at the origin and with radius increasing vertically. The surface is a paraboloid and is sketched below.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.1절 · 7번

# 공간좌표그래프·표 해석보통자동 분류

231.CLP-3 · 1.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

점 $(x,y)$ 에서의 압력 $p(x,y)$ 는 0 이상이며 방정식 $x^2-2px+y^2=3p^2$ 으로 정해진다. 등압선 몇 개를 그래프로 그리세요. 등압선은 어떤 상수 $c\ge 0$ 에 대하여 방정식 $p(x,y)=c$ 로 나타내어지는 곡선이다.

영어 원문 보기

The pressure $p(x,y)$ at the point $(x,y)$ is at least zero and is determined by the equation $x^2-2px+y^2=3p^2$ . Sketch several isobars. An isobar is a curve with equation $p(x,y)=c$ for some constant $c\ge 0$ .

정답·풀이 보기

고정된 각 $c\ge 0$ 에 대하여 등압선 $p(x,y)=c$ 는 곡선 $x^2-2cx+y^2=3c^2$ , 즉 $(x-c)^2+y^2=4c^2$ 이다. 이것은 중심이 $(c,0)$ 이고 반지름이 $2c$ 인 원이다. 다음은 $c=0,1,2,3$ 일 때의 등압선 $p(x,y)=c$ 를 그린 그래프이다.

원본 교재 풀이(영어)

For each fixed $c\ge 0$ , the isobar $p(x,y)=c$ is the curve $x^2-2cx+y^2=3c^2$ , or equivalently, $(x-c)^2+y^2=4c^2$ . This is a circle with centre $(c,0)$ and radius $2c$ . Here is a sketch of the isobars $p(x,y)=c$ with $c=0,1,2,3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.1절 · 6번

# 공간좌표그래프·표 해석도전자동 분류

232.CLP-3 · 1.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{a}=\left< 2,0\right>$ , $\mathbf{b}=\left< 1,1\right>$ 라 하자. $\mathbf{a}+\mathbf{b},\ \mathbf{a}+2\mathbf{b}$ , $2\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 의 값을 구하고 그림으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $\mathbf{a}=\left< 2,0\right>$ and $\mathbf{b}=\left< 1,1\right>$ . Evaluate and sketch $\mathbf{a}+\mathbf{b},\ \mathbf{a}+2\mathbf{b}$ and $2\mathbf{a}-\mathbf{b}$ .

정답·풀이 보기

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left< 3,1\right>$ , $\mathbf{a}+2\mathbf{b}=\left< 4,2\right>$ , $2\mathbf{a}-\mathbf{b}=\left< 3,-1\right>$

원본 교재 풀이(영어)

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left< 3,1\right>$ , $\mathbf{a}+2\mathbf{b}=\left< 4,2\right>$ , $2\mathbf{a}-\mathbf{b}=\left< 3,-1\right>$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.2절 · 26번

# 벡터의 연산그래프·표 해석기본자동 분류

233.CLP-3 · 1.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

방정식 $3x+\frac{1}{2}y+z=4$ 로 주어진 평면 $P$ 를 생각하자.

(a) $P$ 와 $y$ 축의 교점을 구하세요. (b) $P$ 와 $z$ 축의 교점을 구하세요. (c) $P$ 와 $yz$ 평면의 교선 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프를 그리세요. (즉, $x,y,z\ge 0$ 인 부분이다.)

영어 원문 보기

Consider the plane $P$ with equation $3x+\frac{1}{2}y+z=4$ .

(a) Find the intersection of $P$ with the $y$ -axis. (b) Find the intersection of $P$ with the $z$ -axis. (c) Sketch the part of the intersection of $P$ with the $yz$ -plane that is in the first octant. (That is, with $x,y,z\ge 0$ .)

정답·풀이 보기

(a) $y$ 축 위의 각 점은 $(0,y,0)$ 꼴이다. 이러한 점이 평면 $P$ 위에 있으려면

$3(0)+\frac{1}{2}y+0=4 \iff y=8$

이어야 한다. 따라서 $P$ 와 $y$ 축의 교점은 한 점 $(0,8,0)$ 이다. (b) $z$ 축 위의 각 점은 $(0,0,z)$ 꼴이다. 이러한 점이 평면 $P$ 위에 있으려면

$3(0)+\frac{1}{2}(0)+z=4 \iff z=4$

이어야 한다. 따라서 $P$ 와 $z$ 축의 교점은 한 점 $(0,0,4)$ 이다. (c) 평면 $P$ 와 $yz$ 평면의 교선은 직선이다. (a)와 (b)에서 두 점 $(0,8,0)$ 과 $(0,0,4)$ 가 그 직선 위에 있음을 보였다. 다음은 그 직선 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그래프이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Each point on the $y$ -axis is of the form $(0,y,0)$ . Such a point is on the plane $P$ if

$3(0)+\frac{1}{2}y+0=4 \iff y=8$

So the intersection of $P$ with the $y$ -axis is the single point $(0,8,0)$ . (b) Each point on the $z$ -axis is of the form $(0,0,z)$ . Such a point is on the plane $P$ if

$3(0)+\frac{1}{2}(0)+z=4 \iff z=4$

So the intersection of $P$ with the $z$ -axis is the single point $(0,0,4)$ . (c) The intersection of the plane $P$ with the $yz$ -plane is a line. We have shown in parts (a) and (b) that the points $(0,8,0)$ and $(0,0,4)$ are on that line. Here is a sketch of the part of that line that is in the first octant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 1번

# 직선과 평면의 방정식그래프·표 해석기본자동 분류

234.CLP-3 · 1.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 방정식과 식을 알맞은 그림과 짝지으세요. 직교좌표는 $(x, y, z)$ , 원기둥좌표는 $(r, \theta, z)$ , 구면좌표는 $(\rho, \theta, \varphi)$ 입니다.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

$\begin{aligned} &\text{(a)}\quad& \varphi&=\pi/3 & &\text{(b)}\quad& r&=2\cos\theta & &\text{(c)}\quad& x^2+y^2&=z^2+1 \\ &\text{(d)}& y&=x^2+z^2\qquad & &\text{(e)}& \rho&=2\cos\varphi\qquad & &\text{(f)}& z&=x^4+y^4-4xy & \end{aligned}$

영어 원문 보기

Match the following equations and expressions with the corresponding pictures. Cartesian coordinates are $(x, y, z)$ , cylindrical coordinates are $(r, \theta, z)$ , and spherical coordinates are $(\rho, \theta, \varphi)$ .

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

$\begin{aligned} &\text{(a)}\quad& \varphi&=\pi/3 & &\text{(b)}\quad& r&=2\cos\theta & &\text{(c)}\quad& x^2+y^2&=z^2+1 \\ &\text{(d)}& y&=x^2+z^2\qquad & &\text{(e)}& \rho&=2\cos\varphi\qquad & &\text{(f)}& z&=x^4+y^4-4xy & \end{aligned}$

정답·풀이 보기

(a) $\varphi =\frac{\pi}{3}$ 는 (구면좌표) $\varphi$ 가 상수인 곡면이다. 따라서 원점을 꼭짓점으로 하는 원뿔이다. $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ 이므로 $z\ge 0$ 이고, 다음과 같이 $\varphi=\frac{\pi}{3}$ 를 직교좌표로 나타낼 수 있다.

$\begin{aligned} \varphi=\frac{\pi}{3} \iff \tan\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2} \iff \rho\sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}\rho\cos\varphi \iff \sqrt{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} z \end{aligned}$

따라서 (a)에 해당하는 그림은 (C)이다.

(b) $r$ 와 $\theta$ 는 원기둥좌표이므로

$\begin{aligned} r=2\cos\theta \iff r^2=2 r\cos\theta \iff x^2+y^2 = 2x \iff (x-1)^2+y^2=1 \end{aligned}$

$(x-1)^2+y^2=1$ 에는 $z$ 가 나타나지 않는다. 따라서 $(x-1)^2+y^2=1$ 의 $z$ 가 상수인 모든 단면은 직선 $x=1$ , $y=0$ 위에 중심이 있고 반지름이 $1$ 인 (수평) 원이다. 이는 직선 $x=1$ , $y=0$ 을 중심축으로 하고 반지름이 $1$ 인 원기둥이다. 따라서 (b)에 해당하는 그림은 (F)이다.

(c) $x^2+y^2=z^2+1$ 의 $z$ 가 상수인 각 단면은 $z$ 축 위에 중심이 있는 (수평) 원이다. 이 원의 반지름은 $z=0$ 일 때 $1$ 이고, $z$ 가 $z=0$ 에서 멀어질수록 커진다. 따라서 $x^2+y^2=z^2+1$ 은 (수평) 원들이 차곡차곡 쌓인 모양이고, 반지름은 $|z|$ 에 따라 증가한다. 이는 일엽쌍곡면이다. (c)에 해당하는 그림은 (D)이다.

(d) $y=x^2+z^2$ 의 모든 점은 $y\ge 0$ 이다. 이 성질을 가진 것은 (B)뿐이다. 또한 $y$ 가 상수인 각 단면은 $x=z=0$ 에 중심이 있는 원임을 알 수 있다. 이 원의 반지름은 $y=0$ 일 때 $0$ 이고, $y$ 가 커질수록 증가한다. 곡면 $y=x^2+z^2$ 은 포물면이다. (d)에 해당하는 그림은 (B)이다.

(e) $\rho$ 와 $\varphi$ 는 구면좌표이므로

$\begin{aligned} \rho=2\cos\varphi \iff \rho^2=2\rho\cos\varphi \iff x^2+y^2+z^2=2z \iff x^2+y^2 + (z-1)^2=1 \end{aligned}$

이는 $(0,0,1)$ 을 중심으로 하고 반지름이 $1$ 인 구이다. (e)에 해당하는 그림은 (A)이다.

(f) 남은 가능성은 하나뿐이므로 (f)에 해당하는 그림은 (E)이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\varphi =\frac{\pi}{3}$ is a surface of constant (spherical coordinate) $\varphi$ . So it is a cone with vertex at the origin. We can express $\varphi=\frac{\pi}{3}$ in cartesian coordinates by observing that $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ so that $z\ge 0$ , and

$\begin{aligned} \varphi=\frac{\pi}{3} \iff \tan\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2} \iff \rho\sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}\rho\cos\varphi \iff \sqrt{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} z \end{aligned}$

So the picture that corresponds to (a) is (C).

(b) As $r$ and $\theta$ are cylindrical coordinates

$\begin{aligned} r=2\cos\theta \iff r^2=2 r\cos\theta \iff x^2+y^2 = 2x \iff (x-1)^2+y^2=1 \end{aligned}$

There is no $z$ appearing in $(x-1)^2+y^2=1$ . So every constant $z$ cross–section of $(x-1)^2+y^2=1$ is a (horizontal) circle of radius $1$ centred on the line $x=1$ , $y=0$ . It is a cylinder of radius $1$ centred on the line $x=1$ , $y=0$ . So the picture that corresponds to (b) is (F).

(c) Each constant $z$ cross–section of $x^2+y^2=z^2+1$ is a (horizontal) circle centred on the $z$ –axis. The radius of the circle is $1$ when $z=0$ and grows as $z$ moves away from $z=0$ . So $x^2+y^2=z^2+1$ consists of a bunch of (horizontal) circles stacked on top of each other, with the radius increasing with $|z|$ . It is a hyperboloid of one sheet. The picture that corresponds to (c) is (D).

(d) Every point of $y=x^2+z^2$ has $y\ge 0$ . Only (B) has that property. We can also observe that every constant $y$ cross–section is a circle centred on $x=z=0$ . The radius of the circle is zero when $y=0$ and increases as $y$ increases. The surface $y=x^2+z^2$ is a paraboloid. The picture that corresponds to (d) is (B).

(e) As $\rho$ and $\varphi$ are spherical coordinates

$\begin{aligned} \rho=2\cos\varphi \iff \rho^2=2\rho\cos\varphi \iff x^2+y^2+z^2=2z \iff x^2+y^2 + (z-1)^2=1 \end{aligned}$

This is the sphere of radius $1$ centred on $(0,0,1)$ . The picture that corresponds to (e) is (A).

(f) The only possibility left is that the picture that corresponds to (f) is (E).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 2번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석기본자동 분류

235.CLP-3 · 1.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

아래 (a), (b) 각각에는 어떤 함수 $f(x,y)$ 의 등위곡선 몇 개 중 제1사분면 부분을 그린 스케치가 주어져 있다. 이에 대응하는 그래프 $z=f(x,y)$ 의 제1팔분공간 부분을 그리세요.

(a)

(b)

영어 원문 보기

In each of (a) and (b) below, you are provided with a sketch of the first quadrant parts of a few level curves of some function $f(x,y)$ . Sketch the first octant part of the corresponding graph $z=f(x,y)$ .

(a)

(b)

정답·풀이 보기

아래 각 풀이는 세 개의 스케치로 이루어진다.

첫 번째 스케치에서는 주어진 등위곡선을 그대로 다시 그리되, $z$ 축 위 높은 곳에서 $xy$ 평면을 내려다보는 것처럼 보이도록 $x$ 축과 $y$ 축의 방향을 고쳐 그린다.
두 번째 스케치에서는 각 등위곡선 $f(x,y)=C$ 를 위로 들어 올려 수평면 $z=C$ 위에 그린다. 즉 다음 집합을 그린다.

$\begin{aligned} &\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y)=C,\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=f(x,y),\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

마지막으로 세 번째 스케치에서는 “두 번째 스케치의 빈틈을 메워서” 그래프 $z=f(x,y)$ 의 제1팔분공간 부분을 그린다.

(a)

(b)

원본 교재 풀이(영어)

Each solution below consists of three sketchs.

In the first sketch, we just redraw the given level curves with the $x$ - and $y$ -axes reoriented so that the sketch looks like we are high on the $z$ -axis looking down at the $xy$ -plane.
In the second sketch, we lift up each level curve $f(x,y)=C$ and draw it in the horizontal plane $z=C$ . That is we draw

$\begin{aligned} &\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y)=C,\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=f(x,y),\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

Finally, in the third sketch, we draw the part of graph $z=f(x,y)$ in the first octant, just by “filling in the gaps in the second sketch”.

(a)

(b)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 3번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석기본자동 분류

236.CLP-3 · 1.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

아래에 그래프 $z=f(x,y)$ 가 스케치되어 있는 함수 $f(x,y)$ 의 등위곡선을 몇 개 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch a few level curves for the function $f(x,y)$ whose graph $z=f(x,y)$ is sketched below.

정답·풀이 보기

먼저 그래프의 스케치에 $C=3$ , $2$ , $1$ , $0.5$ , $0.25$ 에 대한 수평면 $z=C$ 를 덧붙인다.

복잡해 보이지 않도록, 각 $C$ 에 대해 다음 두 가지만 그려 넣었다.

수평면 $z=C$ 와 $yz$ 평면, 즉 수직 평면 $x=0$ 의 교선(회색)
수평면 $z=C$ 와 그래프 $z=f(x,y)$ 의 교선(파란색)

평면 $z=0.25$ 의 이름표는 생략했다.

평면 $z=C$ 와 그래프 $z=f(x,y)$ 의 교선은 직선

$\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=f(x,y),\ z=C\ \big\} = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y)=C,\ z=C\ \big\}$

이다. ( $x$ 축에 평행한) 이 직선을 평면 $z=C$ 가 아니라 $xy$ 평면에 그리면 등위곡선이 된다. $C=3$ , $2$ , $1$ , $0.5$ , $0.25$ 각각에 대해 이렇게 하면 다섯 개의 등위곡선을 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

We first add into the sketch of the graph the horizontal planes $z=C$ , for $C=3$ , $2$ , $1$ , $0.5$ , $0.25$ .

To reduce clutter, for each $C$ , we have drawn in only

the (gray) intersection of the horizontal plane $z=C$ with the $yz$ –plane, i.e. with the vertical plane $x=0$ , and
the (blue) intersection of the horizontal plane $z=C$ with the graph $z=f(x,y)$ .

We have also omitted the label for the plane $z=0.25$ .

The intersection of the plane $z=C$ with the graph $z=f(x,y)$ is line

$\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=f(x,y),\ z=C\ \big\} = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y)=C,\ z=C\ \big\}$

Drawing this line (which is parallel to the $x$ -axis) in the $xy$ -plane, rather than in the plane $z=C$ , gives a level curve. Doing this for each of $C=3$ , $2$ , $1$ , $0.5$ , $0.25$ gives five level curves.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 12번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석기본자동 분류

237.CLP-3 · 1.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 함수의 등위곡선을 몇 개 그리세요.

(a) $f(x,y)=x^2+2y^2$ (b) $f(x,y)=xy$ (c) $f(x,y)=xe^{-y}$

영어 원문 보기

Sketch some of the level curves of

(a) $f(x,y)=x^2+2y^2$ (b) $f(x,y)=xy$ (c) $f(x,y)=xe^{-y}$

정답·풀이 보기

(a) 고정된 각 $c>0$ 에 대해 등위곡선 $x^2+2y^2=c$ 는 원점을 중심으로 하고 $x$ 방향 반축의 길이가 $\sqrt{c}$ , $y$ 방향 반축의 길이가 $\sqrt{c/2}$ 인 타원이다. $c=0$ 이면 등위곡선 $x^2+2y^2=c=0$ 은 한 점 $(0,0)$ 뿐이다.

(b) 고정된 각 $c\ne 0$ 에 대해 등위곡선 $xy=c$ 는 원점을 중심으로 하고 $x$ 축과 $y$ 축을 점근선으로 갖는 쌍곡선이다. $c>0$ 이면 $xy=c>0$ 을 만족하는 $x$ 와 $y$ 는 부호가 같다. 따라서 쌍곡선은 제1사분면과 제3사분면에 놓인다. $c<0$ 이면 $xy=c>0$ 을 만족하는 $x$ 와 $y$ 는 부호가 반대이다. 따라서 쌍곡선은 제2사분면과 제4사분면에 놓인다. $c=0$ 이면 등위곡선 $xy=c=0$ 은 한 점 $(0,0)$ 뿐이다.

(c) 고정된 각 $c\ne 0$ 에 대해 등위곡선 $xe^{-y}=c$ 는 로그 곡선 $y=-\ln\frac{c}{x}$ 이다. $c>0$ 일 때 이 곡선은 다음과 같다.

$x>0$ 으로 제한되며, 그래야 $\frac{c}{x}>0$ 이 되어 $\ln \frac{c}{x}$ 가 정의된다. 또한
$x\rightarrow 0^+$ 일 때 $y$ 는 $-\infty$ 로 가고,
$x\rightarrow +\infty$ 일 때 $y$ 는 $+\infty$ 로 간다. 그리고
$x=c$ 일 때 $x$ 축과 만난다(즉 $y=0$ 이다).

$c<0$ 일 때 이 곡선은 다음과 같다.

$x<0$ 으로 제한되며, 그래야 $\frac{c}{x}>0$ 이 되어 $\ln \frac{c}{x}$ 가 정의된다. 또한
$x\rightarrow 0^-$ 일 때 $y$ 는 $-\infty$ 로 가고,
$x\rightarrow -\infty$ 일 때 $y$ 는 $+\infty$ 로 간다. 그리고
$x=c$ 일 때 $x$ 축과 만난다(즉 $y=0$ 이다).

$c=0$ 이면 등위곡선 $xe^{-y}=c=0$ 은 $y$ 축, 곧 $x=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For each fixed $c>0$ , the level curve $x^2+2y^2=c$ is the ellipse centred on the origin with $x$ semi axis $\sqrt{c}$ and $y$ semi axis $\sqrt{c/2}$ . If $c=0$ , the level curve $x^2+2y^2=c=0$ is the single point $(0,0)$ .

(b) For each fixed $c\ne 0$ , the level curve $xy=c$ is a hyperbola centred on the origin with asymptotes the $x$ - and $y$ -axes. If $c>0$ , any $x$ and $y$ obeying $xy=c>0$ are of the same sign. So the hyperbola is contained in the first and third quadrants. If $c<0$ , any $x$ and $y$ obeying $xy=c>0$ are of opposite sign. So the hyperbola is contained in the second and fourth quadrants. If $c=0$ , the level curve $xy=c=0$ is the single point $(0,0)$ .

(c) For each fixed $c\ne 0$ , the level curve $xe^{-y}=c$ is the logarithmic curve $y=-\ln\frac{c}{x}$ . Note that, for $c>0$ , the curve

is restricted to $x>0$ , so that $\frac{c}{x}>0$ and $\ln \frac{c}{x}$ is defined, and that
as $x\rightarrow 0^+$ , $y$ goes to $-\infty$ , while
as $x\rightarrow +\infty$ , $y$ goes to $+\infty$ , and
the curve crosses the $x$ -axis (i.e. has $y=0$ ) when $x=c$ .

and for $c<0$ , the curve

is restricted to $x<0$ , so that $\frac{c}{x}>0$ and $\ln \frac{c}{x}$ is defined, and that
as $x\rightarrow 0^-$ , $y$ goes to $-\infty$ , while
as $x\rightarrow -\infty$ , $y$ goes to $+\infty$ , and
the curve crosses the $x$ -axis (i.e. has $y=0$ ) when $x=c$ .

If $c=0$ , the level curve $xe^{-y}=c=0$ is the $y$ -axis, $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 5번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석보통자동 분류

238.CLP-3 · 1.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ 의 등위곡선을 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the level curves of $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ .

정답·풀이 보기

$C=0$ 이면 등위곡선 $f=C=0$ 은 직선 $y=0$ 뿐이다. $C\ne 0$ (부호는 어느 쪽이든) 이면 등위곡선 $f=C$ 의 방정식 $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}=C$ 를 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

$x^2-\frac{2}{C}y+y^2=0 \iff x^2+\left(y-\frac{1}{C}\right)^2 =\frac{1}{C^2}$

이는 중심이 $\left(0\,,\,\frac{1}{C}\right)$ 이고 반지름이 $\frac{1}{|C|}$ 인 원의 방정식이다.

참고. 엄밀히 말하면, 함수 $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ 은 $(x,y)=(0,0)$ 에서 정의되지 않는다. 문제에서 $f$ 의 정의역에서 $(0,0)$ 을 제외한다고 밝히거나 $f(0,0)$ 의 값을 정해 주었어야 한다. 사실 $f(x,y)$ 가 $(0,0)$ 에서 연속이 되도록 $f(0,0)$ 의 값을 정하는 것은 불가능한데, $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0)=0$ 인 반면 $\lim_{y\rightarrow 0}f(0,|y|)=\infty$ 이기 때문이다. 따라서 $f$ 의 정의역을 $\mathbb{R}^2$ 에서 점 $(0,0)$ 을 제외한 것으로 잡는 편이 더 타당하다. 위 그림의 원점에 작은 구멍이 있는 이유가 이것이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $C=0$ , the level curve $f=C=0$ is just the line $y=0$ . If $C\ne 0$ (of either sign), we may rewrite the equation, $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}=C$ , of the level curve $f=C$ as

$x^2-\frac{2}{C}y+y^2=0 \iff x^2+\left(y-\frac{1}{C}\right)^2 =\frac{1}{C^2}$

which is the equation of the circle of radius $\frac{1}{|C|}$ centred on $\left(0\,,\,\frac{1}{C}\right)$ .

Remark. To be picky, the function $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ is not defined at $(x,y)=(0,0)$ . The question should have either specified that the domain of $f$ excludes $(0,0)$ or have specified a value for $f(0,0)$ . In fact, it is impossible to assign a value to $f(0,0)$ in such a way that $f(x,y)$ is continuous at $(0,0)$ , because $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0)=0$ while $\lim_{y\rightarrow 0}f(0,|y|)=\infty$ . So it makes more sense to have the domain of $f$ being $\mathbb{R}^2$ with the point $(0,0)$ removed. That's why there is a little hole at the origin in the above sketch.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 6번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석보통자동 분류

239.CLP-3 · 1.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

곡면이 다음과 같이 음함수로 주어져 있다.

$x^2 + y^2 - z^2 + 2z = 0$

(a) 여러 개의 등위곡선 $z =$ 상수를 그리세요. (b) 곡면의 대략적인 그림을 그리세요.

영어 원문 보기

A surface is given implicitly by

$x^2 + y^2 - z^2 + 2z = 0$

(a) Sketch several level curves $z =$ constant. (b) Draw a rough sketch of the surface.

정답·풀이 보기

(a) 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1$

우변은 $|z-1|<1$ , 즉 $0<z<2$ 일 때 음수이다. 따라서 곡면 위의 점 중에는 $0<z<2$ 인 점이 없다. 이 범위 밖에서 고정된 임의의 $z$ 에 대해 곡선 $x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1$ 은 $z$ 축 위에 중심이 있는 원이고, 그 반지름은 $\sqrt{(z-1)^2 - 1}$ 이다. 이 반지름은 $z=0,2$ 일 때 $0$ 이고, $z$ 가 $z=0,2$ 에서 멀어질수록 커진다. $|z|$ 가 매우 크면 반지름은 $|z|$ 에 거의 비례하여 커진다. 다음은 등위곡선 몇 개를 그린 그림이다.

(b) 이 곡면은 원이 쌓인 두 개의 더미로 이루어져 있다. 한 더미는 $z=2$ 에서 반지름 $0$ 으로 시작한다. $z$ 가 커짐에 따라 반지름이 커진다. 다른 더미는 $z=0$ 에서 반지름 $0$ 으로 시작한다. $z$ 가 작아짐에 따라 반지름이 커진다. 이 곡면은 이엽쌍곡면이다. 다음은 두 개의 그림이다. 왼쪽 그림은 곡면 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그림이다. 오른쪽 그림은 곡면 전체의 그림이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We can rewrite the equation as

$x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1$

The right hand side is negative for $|z-1|<1$ , i.e. for $0<z<2$ . So no point on the surface has $0<z<2$ . For any fixed $z$ , outside that range, the curve $x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1$ is the circle of radius $\sqrt{(z-1)^2 - 1}$ centred on the $z$ –axis. That radius is $0$ when $z=0,2$ and increases as $z$ moves away from $z=0,2$ . For very large $|z|$ , the radius increases roughly linearly with $|z|$ . Here is a sketch of some level curves.

(b) The surface consists of two stacks of circles. One stack starts with radius $0$ at $z=2$ . The radius increases as $z$ increases. The other stack starts with radius $0$ at $z=0$ . The radius increases as $z$ decreases. This surface is a hyperboloid of two sheets. Here are two sketchs. The sketch on the left is of the part of the surface in the first octant. The sketch on the right of the full surface.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 1번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석보통자동 분류

240.CLP-3 · 1.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

쌍곡면 $z^2=4x^2+y^2-1$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the hyperboloid $z^2=4x^2+y^2-1$ .

정답·풀이 보기

고정된 각 $z$ 에 대해 $4x^2+y^2=1+z^2$ 은 타원이다. 따라서 이 곡면은 타원이 차곡차곡 쌓인 모양이다. 반축의 길이는 $\frac{1}{2}\sqrt{1+z^2}$ 과 $\sqrt{1+z^2}$ 이다. 이 값들은 $z=0$ 일 때 (즉 $xy$ 평면 위의 타원일 때) 가장 작고 $|z|$ 가 커짐에 따라 커진다. 곡면과 $xz$ 평면(즉 평면 $y=0$ )의 교선은 쌍곡선 $4x^2-z^2=1$ 이고, 곡면과 $yz$ 평면(즉 평면 $x=0$ )의 교선은 쌍곡선 $y^2-z^2=1$ 이다. 다음은 곡면의 두 그림이다. 왼쪽 그림은 곡면 중 제1팔분공간에 있는 부분만 (좌표축과 함께) 보여 준다.

원본 교재 풀이(영어)

For each fixed $z$ , $4x^2+y^2=1+z^2$ is an ellipse. So the surface consists of a stack of ellipses one on top of the other. The semi axes are $\frac{1}{2}\sqrt{1+z^2}$ and $\sqrt{1+z^2}$ . These are smallest when $z=0$ (i.e. for the ellipse in the $xy$ -plane) and increase as $|z|$ increases. The intersection of the surface with the $xz$ -plane (i.e. with the plane $y=0$ ) is the hyperbola $4x^2-z^2=1$ and the intersection with the $yz$ -pane (i.e. with the plane $x=0$ ) is the hyperbola $y^2-z^2=1$ . Here are two sketches of the surface. The sketch on the left only shows the part of the surface in the first octant (with axes).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 9번

# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석보통자동 분류

벡터와 공간 전체 문제