공간에서의 운동 연습문제

61.APEX · 11.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 주어진 구간에서 $\vec r(t)$ 의 그래프를 그리세요. $\vec v(t)$ 와 $\vec a(t)$ 를 구한 다음, 주어진 $t_0$ 의 값에 대해 $\vec v(t_0)$ 와 $\vec a(t_0)$ 를 시작점이 $\vec r(t_0)$ 가 되도록 그래프에 추가하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \frac{2t+3}{t^2+1},t^2\right\rangle$ ( $[-1,1]$ 에서); $t_0= 0$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14 , a position function $\vec r(t)$ is given. Sketch $\vec r(t)$ on the indicated interval. Find $\vec v(t)$ and $\vec a(t)$ , then add $\vec v(t_0)$ and $\vec a(t_0)$ to your sketch, with their initial points at $\vec r(t_0)$ , for the given value of $t_0$ .

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \frac{2t+3}{t^2+1},t^2\right\rangle$ on $[-1,1]$ ; $t_0= 0$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle -\frac{2 \left(t^2+3 \ t-1\right)}{\left(t^2+1\right)^2},2 t\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle \frac{2 \left(2 t^3+9 t^2-6 t-3\right)}{\left(t^2+1\right)^3},2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle -\frac{2 \left(t^2+3 \ t-1\right)}{\left(t^2+1\right)^2},2 t\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle \frac{2 \left(2 t^3+9 t^2-6 t-3\right)}{\left(t^2+1\right)^3},2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 2번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

62.APEX · 11.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 관한 식으로 나타내고, 주어진 구간에서 속력이 최소가 되는 곳과 최대가 되는 곳을 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2,t \right\rangle$ ( $[-1,1]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2,t \right\rangle$ on $[-1,1]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{4t^2+1}$ .

최소는 $t=0$ 에서, 최대는 $t=\pm 1$ 에서 일어난다.

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{4t^2+1}$ .

Min at $t=0$ ; Max at $t=\pm 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 6번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

63.APEX · 11.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 관한 식으로 나타내고, 주어진 구간에서 속력이 최소가 되는 곳과 최대가 되는 곳을 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2,t^2-t^3 \right\rangle$ ( $[-1,1]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2,t^2-t^3 \right\rangle$ on $[-1,1]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = |t|\sqrt{9t^2-12t+8}$ .

최소: $t=0$ ; 최대: $t=-1$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = |t|\sqrt{9t^2-12t+8}$ .

min: $t=0$ ; max: $t=-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 3번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

64.APEX · 11.3절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 관한 식으로 나타내고, 주어진 구간에서 속력이 최소가 되는 곳과 최대가 되는 곳을 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 5\cos t,5\sin t \right\rangle$ ( $[0,2\pi]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 5\cos t,5\sin t \right\rangle$ on $[0,2\pi]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = 5$ .

속력이 상수이므로 최솟값과 최댓값에 차이가 없다.

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = 5$ .

Speed is constant, so there is no difference between min/max

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 9번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

65.APEX · 11.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 관한 식으로 나타내고, 주어진 구간에서 속력이 최소가 되는 곳과 최대가 되는 곳을 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 2\cos t,5\sin t \right\rangle$ ( $[0,2\pi]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 2\cos t,5\sin t \right\rangle$ on $[0,2\pi]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{4\sin^2t+25\cos^2t}$ .

최소: $t=\pi/2,\ 3\pi/2$ ; 최대: $t=0,\ 2\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{4\sin^2t+25\cos^2t}$ .

min: $t=\pi/2,\ 3\pi/2$ ; max: $t=0,\ 2\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 13번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

66.APEX · 11.3절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 대한 식으로 구하고, 주어진 구간에서 속력이 최소가 되는 곳과 최대가 되는 곳을 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \sec t,\tan t \right\rangle$ ( $[0,\pi/4]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \sec t,\tan t \right\rangle$ on $[0,\pi/4]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = |\sec t|\sqrt{\tan^2t+\sec^2t}$ .

최소: $t=0$ ; 최대: $t=\pi/4$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = |\sec t|\sqrt{\tan^2t+\sec^2t}$ .

min: $t=0$ ; max: $t=\pi/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 5번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

67.APEX · 11.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 대한 식으로 구하고, 주어진 구간에서 속력이 최소가 되는 곳과 최대가 되는 곳을 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t+\cos t,1-\sin t \right\rangle$ ( $[0,2\pi]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t+\cos t,1-\sin t \right\rangle$ on $[0,2\pi]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{2-2\sin t}$ .

최소: $t=\pi/2$ ; 최대: $t=3\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{2-2\sin t}$ .

min: $t=\pi/2$ ; max: $t=3\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 5번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

68.APEX · 11.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 대한 식으로 구하고, 주어진 구간에서 속력이 최소가 되는 곳과 최대가 되는 곳을 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 12t,5\cos t,5\sin t \right\rangle$ ( $[0,4\pi]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle 12t,5\cos t,5\sin t \right\rangle$ on $[0,4\pi]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = 13$ .

속력이 상수이므로 최소와 최대의 차이가 없다

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = 13$ .

speed is constant, so there is no difference between min/max

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 3번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

69.APEX · 11.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 대한 식으로 구하고, 주어진 구간에서 속력이 최소가 되는 곳과 최대가 되는 곳을 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2-t,t^2+t,t \right\rangle$ ( $[0,1]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2-t,t^2+t,t \right\rangle$ on $[0,1]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{8t^2+3}$ .

최소: $t=0$ ; 최대: $t=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{8t^2+3}$ .

min: $t=0$ ; max: $t=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 2번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

70.APEX · 11.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 대한 식으로 구하고, 주어진 구간에서 속력이 최소가 되는 곳과 최대가 되는 곳을 구하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t,t^2,\sqrt{1-t^2}\right\rangle$ ( $[-1,1]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t,t^2,\sqrt{1-t^2}\right\rangle$ on $[-1,1]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{4t^2+1+t^2/(1-t^2)}$ .

최소: $t=0$ ; 최대: 최댓값은 존재하지 않는다. $t\to\pm 1$ 일 때 속력은 $\infty$ 에 가까워진다

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{4t^2+1+t^2/(1-t^2)}$ .

min: $t=0$ ; max: there is no max; speed approaches $\infty$ as $t\to\pm 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 1번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

71.APEX · 11.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 물체의 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 물체의 속력을 $t$ 에 대한 식으로 구하고, 주어진 구간에서 속력이 최소 또는 최대가 되는 곳을 구하세요.

포물체 운동: $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle (v_0\cos \theta)t,-\frac12gt^2+(v_0\sin\theta)t \right\rangle$ ( $\displaystyle \left[0,\frac{2v_0\sin\theta}g\right]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24 , a position function $\vec r(t)$ of an object is given. Find the speed of the object in terms of $t$ , and find where the speed is minimized/maximized on the indicated interval.

Projectile Motion: $\displaystyle \vec r(t) = \left\langle (v_0\cos \theta)t,-\frac12gt^2+(v_0\sin\theta)t \right\rangle$ on $\displaystyle \left[0,\frac{2v_0\sin\theta}g\right]$

정답·풀이 보기

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{g^2t^2-(2gv_0\sin\theta)t+v_0^2}$ .

최소: $t=(v_0\sin\theta)/g$ ; 최대: $t=0$ , $t=(2v_0\sin\theta)/g$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\|\vec v(t)\right\| = \sqrt{g^2t^2-(2gv_0\sin\theta)t+v_0^2}$ .

min: $t=(v_0\sin\theta)/g$ ; max: $t=0$ , $t=(2v_0\sin\theta)/g$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 13번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

72.APEX · 11.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 $\vec r_1(t)$ 와 $\vec r_2(s)$ 가 주어져 있다.

(a) 주어진 $t_0$ 와 $s_0$ 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0)$ 임을 보이세요. (b) 두 물체의 $t_0$ 와 $s_0$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

$\vec r_1(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ ( $[0,1]$ 에서); $t_0 = 1$

$\vec r_2(s) = \left\langle s^2,s^4\right\rangle$ ( $[0,1]$ 에서); $s_0 = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions $\vec r_1(t)$ and $\vec r_2(s)$ for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated $t_0$ and $s_0$ values; i.e., show $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0).$ (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at $t_0$ and $s_0$ , respectively.

$\vec r_1(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ on $[0,1]$ ; $t_0 = 1$

$\vec r_2(s) = \left\langle s^2,s^4\right\rangle$ on $[0,1]$ ; $s_0 = 1$

정답·풀이 보기

(a) $\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ ; $\vec r_2(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ (b) $\vec v_1(1) = \left\langle 1,2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}$ ; $\vec a_1(1) = \left\langle 0,2\right\rangle$

$\vec v_2(1) = \left\langle 2,4\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(1)\right\| = 2\sqrt{5}$ ; $\vec a_2(1) = \left\langle 2,12\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ ; $\vec r_2(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ (b) $\vec v_1(1) = \left\langle 1,2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}$ ; $\vec a_1(1) = \left\langle 0,2\right\rangle$

$\vec v_2(1) = \left\langle 2,4\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(1)\right\| = 2\sqrt{5}$ ; $\vec a_2(1) = \left\langle 2,12\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 17번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

73.APEX · 11.3절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 $\vec r_1(t)$ 와 $\vec r_2(s)$ 가 주어져 있다.

(a) 주어진 $t_0$ 와 $s_0$ 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0)$ 임을 보이세요. (b) 두 물체의 $t_0$ 와 $s_0$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

$\vec r_1(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t\right\rangle$ ( $[0,2\pi]$ 에서); $t_0 = \pi/2$

$\vec r_2(s) = \left\langle 3\cos (4s),3\sin(4s)\right\rangle$ ( $[0,\pi/2]$ 에서); $s_0 = \pi/8$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions $\vec r_1(t)$ and $\vec r_2(s)$ for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated $t_0$ and $s_0$ values; i.e., show $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0).$ (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at $t_0$ and $s_0$ , respectively.

$\vec r_1(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t\right\rangle$ on $[0,2\pi]$ ; $t_0 = \pi/2$

$\vec r_2(s) = \left\langle 3\cos (4s),3\sin(4s)\right\rangle$ on $[0,\pi/2]$ ; $s_0 = \pi/8$

정답·풀이 보기

(a) $\vec r_1(\pi/2) = \left\langle 0,3\right\rangle$ ; $\vec r_2(\pi/8) = \left\langle 0,3\right\rangle$ (b) $\vec v_1(\pi/2) = \left\langle -3,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(\pi/2)\right\| = 3$ ; $\vec a_1(\pi/2) = \left\langle 0,-3\right\rangle$

$\vec v_2(\pi/8) = \left\langle -12,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(\pi/8)\right\| = 12$ ; $\vec a_2(\pi/8) = \left\langle 0,-48\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r_1(\pi/2) = \left\langle 0,3\right\rangle$ ; $\vec r_2(\pi/8) = \left\langle 0,3\right\rangle$ (b) $\vec v_1(\pi/2) = \left\langle -3,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(\pi/2)\right\| = 3$ ; $\vec a_1(\pi/2) = \left\langle 0,-3\right\rangle$

$\vec v_2(\pi/8) = \left\langle -12,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(\pi/8)\right\| = 12$ ; $\vec a_2(\pi/8) = \left\langle 0,-48\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 27번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

74.APEX · 11.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 $\vec r_1(t)$ 와 $\vec r_2(s)$ 가 주어져 있다.

(a) 주어진 $t_0$ 와 $s_0$ 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0)$ 임을 보이세요. (b) 두 물체의 $t_0$ 와 $s_0$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

$\vec r_1(t) = \left\langle 3t,2t\right\rangle$ ( $[0,2]$ 에서); $t_0 = 2$

$\vec r_2(s) = \left\langle 6s-6,4s-4\right\rangle$ ( $[1,2]$ 에서); $s_0 = 2$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions $\vec r_1(t)$ and $\vec r_2(s)$ for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated $t_0$ and $s_0$ values; i.e., show $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0).$ (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at $t_0$ and $s_0$ , respectively.

$\vec r_1(t) = \left\langle 3t,2t\right\rangle$ on $[0,2]$ ; $t_0 = 2$

$\vec r_2(s) = \left\langle 6s-6,4s-4\right\rangle$ on $[1,2]$ ; $s_0 = 2$

정답·풀이 보기

(a) $\vec r_1(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ ; $\vec r_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ (b) $\vec v_1(2) = \left\langle 3,2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(2)\right\| = \sqrt{13}$ ; $\vec a_1(2) = \left\langle 0,0\right\rangle$

$\vec v_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(2)\right\| = 2\sqrt{13}$ ; $\vec a_2(2) = \left\langle 0,0\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r_1(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ ; $\vec r_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ (b) $\vec v_1(2) = \left\langle 3,2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(2)\right\| = \sqrt{13}$ ; $\vec a_1(2) = \left\langle 0,0\right\rangle$

$\vec v_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(2)\right\| = 2\sqrt{13}$ ; $\vec a_2(2) = \left\langle 0,0\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 15번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

75.APEX · 11.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28 에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 $\vec r_1(t)$ 와 $\vec r_2(s)$ 가 주어져 있다.

(a) 주어진 $t_0$ 와 $s_0$ 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0)$ 임을 보이세요. (b) 두 물체의 $t_0$ 와 $s_0$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

$\vec r_1(t) = \left\langle t,\sqrt{t}\right\rangle$ , 구간 $[0,1]$ ; $t_0 = 1$

$\vec r_2(s) = \left\langle \sin t,\sqrt{\sin t}\right\rangle$ , 구간 $[0,\pi/2]$ ; $s_0 = \pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions $\vec r_1(t)$ and $\vec r_2(s)$ for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated $t_0$ and $s_0$ values; i.e., show $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0).$ (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at $t_0$ and $s_0$ , respectively.

$\vec r_1(t) = \left\langle t,\sqrt{t}\right\rangle$ on $[0,1]$ ; $t_0 = 1$

$\vec r_2(s) = \left\langle \sin t,\sqrt{\sin t}\right\rangle$ on $[0,\pi/2]$ ; $s_0 = \pi/2$

정답·풀이 보기

(a) $\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ ; $\vec r_2(\pi/2) = \left\langle 1,1\right\rangle$ (b) $\vec v_1(1) = \left\langle 1,1/2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}/2$ ; $\vec a_1(1) = \left\langle 0,-1/4\right\rangle$

$\vec v_2(\pi/2) = \left\langle 0,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(\pi/2)\right\| = 0$ ; $\vec a_2(\pi/2) = \left\langle -1,-1/2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ ; $\vec r_2(\pi/2) = \left\langle 1,1\right\rangle$ (b) $\vec v_1(1) = \left\langle 1,1/2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}/2$ ; $\vec a_1(1) = \left\langle 0,-1/4\right\rangle$

$\vec v_2(\pi/2) = \left\langle 0,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(\pi/2)\right\| = 0$ ; $\vec a_2(\pi/2) = \left\langle -1,-1/2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 25번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

76.APEX · 11.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32 에서는 물체의 가속도와 처음 속도, 처음 위치가 주어질 때 그 물체의 위치 함수를 구하세요.

$\vec a(t) = \left\langle 2,3\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 5,-2\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 29–32 , find the position function of an object given its acceleration and initial velocity and position.

$\vec a(t) = \left\langle 2,3\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 5,-2\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 2t+1,3t+2\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle t^2+t+5,3t^2/2+2t-2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 2t+1,3t+2\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle t^2+t+5,3t^2/2+2t-2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 39번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

77.APEX · 11.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32 에서는 물체의 가속도와 처음 속도, 처음 위치가 주어질 때 그 물체의 위치 함수를 구하세요.

$\vec a(t) = \left\langle 2,3\right\rangle$ ; $\vec v(1) = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $\vec r(1) = \left\langle 5,-2\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 29–32 , find the position function of an object given its acceleration and initial velocity and position.

$\vec a(t) = \left\langle 2,3\right\rangle$ ; $\vec v(1) = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $\vec r(1) = \left\langle 5,-2\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 2t-1,3t-1\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle t^2-t+5,3t^2/2-t-5/2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 2t-1,3t-1\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle t^2-t+5,3t^2/2-t-5/2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 15번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

78.APEX · 11.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32 에서는 물체의 가속도와 처음 속도, 처음 위치가 주어질 때 그 물체의 위치 함수를 구하세요.

$\vec a(t) = \left\langle \cos t,-\sin t\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 0,1\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 0,0\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 29–32 , find the position function of an object given its acceleration and initial velocity and position.

$\vec a(t) = \left\langle \cos t,-\sin t\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 0,1\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 0,0\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle \sin t,\cos t\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle 1-\cos t,\sin t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle \sin t,\cos t\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle 1-\cos t,\sin t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 27번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

79.APEX · 11.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32 에서는 물체의 가속도와 처음 속도, 처음 위치가 주어질 때 그 물체의 위치 함수를 구하세요.

$\vec a(t) = \left\langle 0,-32\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 10,50\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 0,0\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 29–32 , find the position function of an object given its acceleration and initial velocity and position.

$\vec a(t) = \left\langle 0,-32\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 10,50\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 0,0\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 10,-32t+50\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle 10t,-16t^2+50t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 10,-32t+50\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle 10t,-16t^2+50t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 17번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

80.APEX · 11.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–36에서, 주어진 구간에서 다음 물체의 변위, 이동 거리, 평균 속도, 평균 속력을 구하세요.

위치 함수가 $\vec r(t) = \left\langle 2\cos t,2\sin t, 3t\right\rangle$ 인 물체이다. 여기서 거리는 피트 단위, 시간은 초 단위로 측정하며, 구간은 $[0,2\pi]$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 33–36 , find the displacement, distance traveled, average velocity and average speed of the described object on the given interval.

An object with position function $\vec r(t) = \left\langle 2\cos t,2\sin t, 3t\right\rangle$ , where distances are measured in feet and time is in seconds, on $[0,2\pi]$ .

정답·풀이 보기

변위: $\left\langle 0,0,6\pi\right\rangle$ ; 이동 거리: $2\sqrt{13}\pi \approx 22.65$ ft; 평균 속도: $\left\langle 0,0,3\right\rangle$ ; 평균 속력: $\sqrt{13} \approx 3.61$ ft/s

원본 교재 풀이(영어)

Displacement: $\left\langle 0,0,6\pi\right\rangle$ ; distance traveled: $2\sqrt{13}\pi \approx 22.65$ ft; average velocity: $\left\langle 0,0,3\right\rangle$ ; average speed: $\sqrt{13} \approx 3.61$ ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 33번

# 공간에서의 운동활용자동 분류