미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

441.APEX · 2.1절 · 26번우리말 번역

연습문제 23–26에서, 함수 $f$ 와 $x$ 의 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $h=0.1$ 을 이용하여 $f\,'(a)$ 를 수치적으로 어림함으로써, $x=a$ 에서 $f$ 의 그래프의 접선의 방정식을 어림하세요.

$\displaystyle f(x) = \cos x$ , $x=0$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a function $f$ and an $x$ –value $a$ are given. Approximate the equation of the tangent line to the graph of $f$ at $x=a$ by numerically approximating $f\,'(a)$ , using $h=0.1$ .

$\displaystyle f(x) = \cos x$ , $x=0$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=-0.05x+1$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-0.05x+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 23번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

442.APEX · 2.1절 · 27번우리말 번역

$f(x)=x^2-1$ 의 그래프가 그림과 같다.

(a) 그래프를 이용하여 다음 점에서 $f$ 의 접선의 기울기를 어림하세요: $(-1,0)$ , $(0,-1)$ , $(2,3)$ . (b) 정의를 이용하여 $f\,'(x)$ 를 구하세요. (c) 점 $(-1,0)$ , $(0,-1)$ , $(2,3)$ 에서 접선의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $f(x)=x^2-1$ is shown.

(a) Use the graph to approximate the slope of the tangent line to $f$ at the following points: $(-1,0)$ , $(0,-1)$ and $(2,3)$ . (b) Using the definition, find $f\,'(x)$ . (c) Find the slope of the tangent line at the points $(-1,0)$ , $(0,-1)$ and $(2,3)$ .

정답·풀이 보기

(a) 어림한 값은 사람마다 다를 수 있으며, (c)의 값과 거의 일치해야 한다. (b) $f\,'(x) = 2x$ (c) $(-1,0)$ 에서 기울기는 $-2$ 이다. $(0,-1)$ 에서 기울기는 0 이다. $(2,3)$ 에서 기울기는 4 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Approximations will vary; they should match (c) closely. (b) $f\,'(x) = 2x$ (c) At $(-1,0)$ , slope is $-2$ . At $(0,-1)$ , slope is 0. At $(2,3)$ , slope is 4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

443.APEX · 2.1절 · 28번우리말 번역

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}$ 의 그래프가 그림과 같다.

(a) 그래프를 이용하여 다음 점에서 $f$ 의 접선의 기울기를 어림하세요: $(0,1)$ , $(1,0.5)$ . (b) 정의를 이용하여 $f\,'(x)$ 를 구하세요. (c) 점 $(0,1)$ , $(1,0.5)$ 에서 접선의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}$ is shown.

(a) Use the graph to approximate the slope of the tangent line to $f$ at the following points: $(0,1)$ and $(1,0.5)$ . (b) Using the definition, find $f\,'(x)$ . (c) Find the slope of the tangent line at the points $(0,1)$ and $(1,0.5)$ .

정답·풀이 보기

(a) 어림한 값은 사람마다 다를 수 있으며, (c)의 값과 거의 일치해야 한다. (b) $f\,'(x) = -1/(x+1)^2$ (c) $(0,1)$ 에서 기울기는 $-1$ 이다. $(1,0.5)$ 에서 기울기는 $-1/4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Approximations will vary; they should match (c) closely. (b) $f\,'(x) = -1/(x+1)^2$ (c) At $(0,1)$ , slope is $-1$ . At $(1,0.5)$ , slope is $-1/4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.1절 · 27번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

444.APEX · 2.1절 · 29번우리말 번역

연습문제 29~32에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 그래프를 이용하여 $f\,'(x)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–32, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the graph, sketch $f\,'(x)$ .

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 4번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

445.APEX · 2.1절 · 30번우리말 번역

연습문제 29~32에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 그래프를 이용하여 $f\,'(x)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–32, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the graph, sketch $f\,'(x)$ .

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 2번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

446.APEX · 2.1절 · 31번우리말 번역

연습문제 29~32에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 그래프를 이용하여 $f\,'(x)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–32, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the graph, sketch $f\,'(x)$ .

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 13번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

447.APEX · 2.1절 · 32번우리말 번역

연습문제 29–32에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있습니다. 그래프를 이용하여 $f\,'(x)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–32, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the graph, sketch $f\,'(x)$ .

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.5절 · 9번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

448.APEX · 2.1절 · 33번우리말 번역

연습문제 33–34에서 함수 $g(x)$ 의 그래프가 주어져 있습니다. 그래프를 이용하여 다음 물음에 답하세요.

(a) $g(x) > 0$ 인 곳은 어디입니까? (b) $g(x) < 0$ 인 곳은 어디입니까? (c) $g(x) = 0$ 인 곳은 어디입니까?

(a) $g'(x) > 0$ 인 곳은 어디입니까? (b) $g'(x) < 0$ 인 곳은 어디입니까? (c) $g'(x) = 0$ 인 곳은 어디입니까?

영어 원문 보기

In Exercises 33–34, a graph of a function $g(x)$ is given. Using the graph, answer the following questions.

(a) Where is $g(x) > 0$ ? (b) Where is $g(x) < 0$ ? (c) Where is $g(x) = 0$ ?

(a) Where is $g'(x) > 0$ ? (b) Where is $g'(x) < 0$ ? (c) Where is $g'(x) = 0$ ?

정답·풀이 보기

(a) 대략 $(-2,0)$ 과 $(2,\infty)$ 에서이다. (b) 대략 $(-\infty,-2)$ 와 $(0,2)$ 에서이다. (c) 대략 $x=0,\ \pm 2$ 에서이다. (d) 대략 $(-\infty,-1)$ 과 $(1,\infty)$ 에서이다. (e) 대략 $(-1,1)$ 에서이다. (f) 대략 $x=\pm 1$ 에서이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Approximately on $(-2,0)$ and $(2,\infty)$ . (b) Approximately on $(-\infty,-2)$ and $(0,2)$ . (c) Approximately at $x=0,\ \pm 2$ . (d) Approximately on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$ . (e) Approximately on $(-1,1)$ . (f) Approximately at $x=\pm 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 7번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

449.APEX · 2.1절 · 34번우리말 번역

연습문제 33–34에서 함수 $g(x)$ 의 그래프가 주어져 있습니다. 그래프를 이용하여 다음 물음에 답하세요.

(a) $g(x) > 0$ 인 곳은 어디입니까? (b) $g(x) < 0$ 인 곳은 어디입니까? (c) $g(x) = 0$ 인 곳은 어디입니까?

(a) $g'(x) > 0$ 인 곳은 어디입니까? (b) $g'(x) < 0$ 인 곳은 어디입니까? (c) $g'(x) = 0$ 인 곳은 어디입니까?

영어 원문 보기

In Exercises 33–34, a graph of a function $g(x)$ is given. Using the graph, answer the following questions.

(a) Where is $g(x) > 0$ ? (b) Where is $g(x) < 0$ ? (c) Where is $g(x) = 0$ ?

(a) Where is $g'(x) > 0$ ? (b) Where is $g'(x) < 0$ ? (c) Where is $g'(x) = 0$ ?

정답·풀이 보기

(a) 대략 $(-1.5,1.5)$ 에서이다. (b) 대략 $(-\infty,-1.5)$ 와 $(1.5,\infty)$ 에서이다. (c) 대략 $x=\pm 1.5$ 에서이다. (d) $(-\infty,-1)$ 과 $(0,1)$ 에서이다. (e) $(-1,0)$ 과 $(1,\infty)$ 에서이다. (f) $x=\pm 1$ 과 $x=0$ 에서이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Approximately on $(-1.5,1.5)$ . (b) Approximately on $(-\infty,-1.5)$ and $(1.5,\infty)$ . (c) Approximately at $x=\pm 1.5$ . (d) On $(-\infty,-1)$ and $(0,1)$ . (e) On $(-1,0)$ and $(1,\infty)$ . (f) At $x=\pm 1$ and $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 9번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

450.APEX · 2.1절 · 35번우리말 번역

연습문제 35–36에서 함수 $f(x)$ 와 그 정의역, 도함수가 주어져 있습니다. $f(x)$ 가 정의역에서 미분가능한지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{x^5(1-x)}$ , 정의역 = $[0,1]$ , $\displaystyle f\,'(x) = \frac{(5-6x)x^{3/2}}{2\sqrt{1-x}}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–36, a function $f(x)$ is given, along with its domain and derivative. Determine if $f(x)$ is differentiable on its domain.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{x^5(1-x)}$ , domain = $[0,1]$ , $\displaystyle f\,'(x) = \frac{(5-6x)x^{3/2}}{2\sqrt{1-x}}$

정답·풀이 보기

$\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}h =0$ 이고, 또한 $\lim_{x\to0^+}f\,'(x) = 0$ 임에 주목한다. 따라서 $f$ 는 $x=0$ 에서 미분가능하다.

$\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}h =-\infty$ 이고, 또한 $\lim_{x\to1^-}f\,'(x) = -\infty$ 임에 주목한다. 따라서 $f$ 는 $x=1$ 에서 미분가능하지 않다.

$f$ 는 $[0,1)$ 에서 미분가능하지만 정의역 전체에서는 미분가능하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}h =0$ ; note also that $\lim_{x\to0^+}f\,'(x) = 0$ . So $f$ is differentiable at $x=0$ .

$\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}h =-\infty$ ; note also that $\lim_{x\to1^-}f\,'(x) = -\infty$ . So $f$ is not differentiable at $x=1$ .

$f$ is differentiable on $[0,1)$ , not its entire domain.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.1절 · 6번

# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류

451.APEX · 2.2절 · 1번우리말 번역

위치의 순간변화율을 무엇이라고 합니까?

영어 원문 보기

What is the instantaneous rate of change of position called?

정답·풀이 보기

속도

원본 교재 풀이(영어)

Velocity

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 2번

# 평균변화율과 미분계수개념 확인자동 분류

452.APEX · 2.2절 · 2번우리말 번역

함수 $y=f(x)$ 가 주어졌을 때, $f\,'(x)$ 의 단위를 구하는 방법을 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Given a function $y=f(x)$ , in your own words describe how to find the units of $f\,'(x)$ .

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 14번

# 평균변화율과 미분계수개념 확인자동 분류

453.APEX · 2.2절 · 3번우리말 번역

상수 변화율을 갖는 함수는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What functions have a constant rate of change?

정답·풀이 보기

일차함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Linear functions.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 13번

# 평균변화율과 미분계수개념 확인자동 분류

454.APEX · 2.2절 · 4번우리말 번역

$f(5)=10$ 이고 $f\,'(5) = 2$ 일 때, $f(6)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Given $f(5)=10$ and $f\,'(5) = 2$ , approximate $f(6)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

12

원본 교재 풀이(영어)

12

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.5절 · 7번

# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류

455.APEX · 2.2절 · 5번우리말 번역

$P(100)=-67$ 이고 $P'(100) = 5$ 일 때, $P(110)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Given $P(100)=-67$ and $P'(100) = 5$ , approximate $P(110)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-17$

원본 교재 풀이(영어)

$-17$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.5절 · 6번

# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류

456.APEX · 2.2절 · 6번우리말 번역

$z(25)=187$ 이고 $z'(25) = 17$ 일 때, $z(20)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Given $z(25)=187$ and $z'(25) = 17$ , approximate $z(20)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$102$

원본 교재 풀이(영어)

$102$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 7번

# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류

457.APEX · 2.2절 · 7번우리말 번역

$f(10)=25$ 이고 $f\,'(10) = 5$ 임을 알고, 이 절에서 설명한 방법을 사용할 때, $f(10.1)$ , $f(11)$ , $f(20)$ 중 어느 어림값이 가장 정확할 것 같은지 판단하세요. 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Knowing $f(10)=25$ and $f\,'(10) = 5$ and the methods described in this section, which approximation is likely to be most accurate: $f(10.1)$ , $f(11)$ , or $f(20)$ ? Explain your reasoning.