미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

101.OpenStax 1권 · 4.5절 · 46번우리말 번역

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},x>0$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},x>0$

정답·풀이 보기

a. $x>4$ 에서 증가, $0<x<4$ 에서 감소 b. $x=4$ 에서 극소 c. $0<x<8\sqrt[3]{2}$ 에서 아래로 볼록, $x>8\sqrt[3]{2}$ 에서 위로 볼록 d. 변곡점은 $x=8\sqrt[3]{2}$ 이다

원본 교재 풀이(영어)

a. Increasing over $x>4,$ decreasing over $0<x<4$ b. Minimum at $x=4$ c. Concave up for $0<x<8\sqrt[3]{2},$ concave down for $x>8\sqrt[3]{2}$ d. Inflection point at $x=8\sqrt[3]{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 26번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

102.OpenStax 1권 · 4.5절 · 47번우리말 번역

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

$f(x)=\frac{{e}^{x}}{x},x\ne 0$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

$f(x)=\frac{{e}^{x}}{x},x\ne 0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 6번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

103.OpenStax 1권 · 4.7절 · 6번우리말 번역

판지로 치수가 $\text{2 m × 4 m}$ 인 상자를 만들려고 합니다. 접을 수 있도록 각 모서리에서 크기가 같은 정사각형을 잘라 냅니다. 부피가 가장 큰 상자의 치수를 구하세요.

높이가 2, 너비가 4인 직사각형이 그려져 있다. 각 모서리에는 한 변의 길이가 x인 정사각형이 표시되어 있다.

영어 원문 보기

You are constructing a cardboard box with the dimensions $\text{2 m by 4 m}.$ You then cut equal-size squares from each corner so you may fold the edges. What are the dimensions of the box with the largest volume?

A rectangle is drawn with height 2 and width 4. Each corner has a square with side length x marked on it.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 35번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

104.OpenStax 1권 · 4.7절 · 12번우리말 번역

전선으로 연결된 두 기둥이 있고, 이 전선은 지면에도 연결되어 있습니다. 첫 번째 기둥의 높이는 $20\,\text{ft}$ 이고 두 번째 기둥의 높이는 $10\,\text{ft}$ 입니다. 두 기둥 사이의 거리는 $30\,\text{ft}$ 입니다. 필요한 전선의 양을 최소로 하려면 전선을 지면의 어느 곳에 고정해야 하나요?

두 개의 기둥이 그려져 있는데, 하나는 높이가 10이고 다른 하나는 높이가 20이다. 더 짧은 기둥을 이용하여 직각삼각형이 만들어지며, 다른 한 변의 길이는 x 이다. 두 기둥 사이의 거리는 30이다.

영어 원문 보기

Two poles are connected by a wire that is also connected to the ground. The first pole is $20\,\text{ft}$ tall and the second pole is $10\,\text{ft}$ tall. There is a distance of $30\,\text{ft}$ between the two poles. Where should the wire be anchored to the ground to minimize the amount of wire needed?

Two poles are shown, one that is 10 tall and the other is 20 tall. A right triangle is made with the shorter pole with other side length x. The distance between the two poles is 30.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

105.OpenStax 1권 · 4.7절 · 13번우리말 번역

[계산기 사용] 새 아파트로 이사를 하는데, 복도가 $\text{8 ft에서 6 ft로}$ 좁아지는 모퉁이가 있습니다. 이 모퉁이를 수평으로 돌아 운반할 수 있는 가장 긴 물건의 길이는 얼마입니까?

거꾸로 된 L자 모양의 도형이 그려져 있다. _ 부분의 폭은 6이고 | 부분의 폭은 8이다. _ 부분에서 | 부분까지 선이 그어져 있는데, 이 선은 도형의 안쪽 모서리에 닿아 직각삼각형의 빗변을 이룬다. 이 직각삼각형의 나머지 두 변은 _ 부분과 | 부분의 나머지 부분이다. 이 선에는 L이라고 표시되어 있다.

영어 원문 보기

[T] You are moving into a new apartment and notice there is a corner where the hallway narrows from $\text{8 ft to 6 ft}.$ What is the length of the longest item that can be carried horizontally around the corner?

An upside L-shaped figure is drawn with the _ part being 6 wide and the | part being 8 wide. There is a line drawn from the _ part to the | part that touches the near corner of the shape to form a hypotenuse for a right triangle the other sides being the the rest of the _ and | parts. This line is marked L.

정답·풀이 보기

$19.73\,\text{ft}.$

원본 교재 풀이(영어)

$19.73\,\text{ft}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 19번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

106.OpenStax 1권 · 4.7절 · 16번우리말 번역

여러분은 시속 $6$ 마일의 속력으로 달릴 수 있고 시속 $3$ 마일의 속력으로 헤엄칠 수 있습니다. 여러분은 해안가에 있으며, 해안선에서 북쪽으로 $1$ 마일 떨어진 섬의 동쪽 $4$ 마일 지점에 있습니다. 섬에 도달하는 데 걸리는 시간을 최소로 하려면 서쪽으로 얼마나 달려야 하는지 구하세요.

높이가 1이고 길이가 4인 직사각형이 그려져 있다. 오른쪽 아래 모서리에는 "여러분"이라고, 왼쪽 위 모서리에는 "섬"이라고 표시되어 있다.

영어 원문 보기

You can run at a speed of $6$ mph and swim at a speed of $3$ mph and are located on the shore, $4$ miles east of an island that is $1$ mile north of the shoreline. How far should you run west to minimize the time needed to reach the island?

A rectangle is drawn that has height 1 and length 4. In the lower right corner, it is marked “You” and in the upper left corner it is marked “Island.”

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

107.OpenStax 1권 · 4.7절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 그래프 위의 점들을 생각하세요. 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] 직선 $y=5-2x$ 는 어느 점에서 점 $(1,1)$ 에 가장 가깝나요?

영어 원문 보기

For the following exercises, consider the points on the given graphs. Use a calculator to graph the functions.

[T] Where is the line $y=5-2x$ closest to point $(1,1)?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

108.OpenStax 1권 · 4.7절 · 39번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 그래프 위의 점을 생각합니다. 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] 포물선 $y={x}^{2}$ 위에서 점 $(2,0)$ 에 가장 가까운 곳은 어디인가요?

영어 원문 보기

For the following exercises, consider the points on the given graphs. Use a calculator to graph the functions.

[T] Where is the parabola $y={x}^{2}$ closest to point $(2,0)?$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(0.8351,0.6974)$

원본 교재 풀이(영어)

$(0.8351,0.6974)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

109.OpenStax 1권 · 4.7절 · 40번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 그래프 위의 점을 생각합니다. 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] 포물선 $y={x}^{2}$ 위에서 점 $(0,3)$ 에 가장 가까운 곳은 어디인가요?

영어 원문 보기

For the following exercises, consider the points on the given graphs. Use a calculator to graph the functions.

[T] Where is the parabola $y={x}^{2}$ closest to point $(0,3)?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.6절 · 12번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

110.OpenStax 1권 · 4.7절 · 41번우리말 번역

창문이 직사각형 위에 반원을 얹은 모양으로 되어 있습니다. 바깥 틀에 쓸 창틀 재료가 $20\,\text{ft}$ 있다면, 만들 수 있는 창문의 최대 크기는 얼마입니까? 반원의 반지름을 $r$ 로 나타내세요.

반지름이 r인 반원 모양의 창문이 그려져 있다.

영어 원문 보기

A window is composed of a semicircle placed on top of a rectangle. If you have $20\,\text{ft}$ of window-framing materials for the outer frame, what is the maximum size of the window you can create? Use $r$ to represent the radius of the semicircle.

A semicircular window is drawn with radius r.

정답·풀이 보기

$\begin{array}{ccc}A & = & 20\left( \frac{20}{\pi +4} \right)-2{\left( \frac{20}{\pi +4} \right)}^{2}-\frac{1}{2}\pi {\left( \frac{20}{\pi +4} \right)}^{2}\end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{ccc}A & = & 20\left( \frac{20}{\pi +4} \right)-2{\left( \frac{20}{\pi +4} \right)}^{2}-\frac{1}{2}\pi {\left( \frac{20}{\pi +4} \right)}^{2}\end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 27번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

111.OpenStax 1권 · 4.7절 · 44번우리말 번역

다음 그림과 같이 똑같은 우리 다섯 개를 서로 이웃하게 만들려고 하며, 전체 넓이는 $1000{\,\text{m}}^{2}$ 입니다. 울타리의 양을 최소로 하려면 어떤 치수로 만들어야 합니까?

직사각형이 다섯 개의 구역으로 나뉘어 있고, 각 구역의 길이는 y, 너비는 x이다.

영어 원문 보기

You are building five identical pens adjacent to each other with a total area of $1000{\,\text{m}}^{2},$ as shown in the following figure. What dimensions should you use to minimize the amount of fencing?

A rectangle is divided into five sections, and each section has length y and width x.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 15번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

112.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 5번우리말 번역

${f}^{'}$ 의 그래프가 주어졌을 때, $f$ 가 어디에서 증가하고 어디에서 감소하는지 판단하세요.

함수는 증가하여 −2에서 x축을 지나고, 극대에 이른 뒤 감소하여 원점을 지나며, 극소에 이른 뒤 증가하여 2에서 극대에 이르고, 감소하여 극소에 이른 뒤 다시 증가하여 4에서 x축을 지나 계속 증가한다.

영어 원문 보기

Given the graph of ${f}^{'},$ determine where $f$ is increasing or decreasing.

The function increases to cross the x-axis at −2, reaches a maximum and then decreases through the origin, reaches a minimum and then increases to a maximum at 2, decreases to a minimum and then increases to pass through the x-axis at 4 and continues increasing.

정답·풀이 보기

증가: $(-2,0)\cup (4,\infty )$ , 감소: $(-\infty ,-2)\cup (0,4)$

원본 교재 풀이(영어)

Increasing: $(-2,0)\cup (4,\infty ),$ decreasing: $(-\infty ,-2)\cup (0,4)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

113.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 23번우리말 번역

다음 함수의 그래프를 손으로 그리세요. 변곡점, 임계점, 영점, 점근선을 반드시 표시하세요.

$y=\frac{1}{x{(x+1)}^{2}}$

영어 원문 보기

Graph the following functions by hand. Make sure to label the inflection points, critical points, zeros, and asymptotes.

$y=\frac{1}{x{(x+1)}^{2}}$

정답·풀이 보기

이 그래프는 x = 0 과 x = −1 에서 수직 점근선을 가진다. 함수의 첫째 부분은 제3사분면에 있으며 수평 점근선 y = 0 을 가진다. 함수는 (−5, 0) 근처에서 수직 점근선 (−1, ∞) 근처까지 빠르게 감소한다. 이 점근선의 반대쪽에서 함수는 x = −1 과 x = 0 사이의 제3사분면에서 아래로 뾰족한 대략 U자 모양이며, 최댓값은 (−0.4, −6) 근처에서 갖는다. x = 0 점근선의 반대쪽에서 함수는 수직 점근선 근처인 (0, ∞) 부근에서 감소하여 수평 점근선 y = 0 에 가까워진다.

변곡점: 없음; 임계점: $x=-\frac{1}{3}$ ; 영점: 없음; 수직 점근선: $x=-1,$ $x=0$ ; 수평 점근선: $y=0$

원본 교재 풀이(영어)

Inflection points: none; critical points: $x=-\frac{1}{3};$ zeros: none; vertical asymptotes: $x=-1,$ $x=0;$ horizontal asymptote: $y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 21번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

114.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 24번우리말 번역

다음 함수의 그래프를 손으로 그리세요. 변곡점, 임계점, 영점, 점근선을 반드시 표시하세요.

$y=x-\sqrt{4-{x}^{2}}$

영어 원문 보기

Graph the following functions by hand. Make sure to label the inflection points, critical points, zeros, and asymptotes.

$y=x-\sqrt{4-{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

115.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 27번우리말 번역

각의 최대화에 관한 유명한 레기오몬타누스의 문제는 15세기에 제기되었습니다. 어떤 그림이 벽에 걸려 있는데, 그림의 아랫부분은 눈높이보다 $a$ 피트 위에 있고, 윗부분은 눈높이보다 $b$ 피트 위에 있습니다. 그림이 이루는 각 $\theta$ 가 최대가 되려면, 보는 사람은 벽에서 몇 피트( $x$ ) 떨어진 곳에 서야 하는지 구하세요.

눈높이를 나타내는 점이 하나 표시되어 있고, 이 점에서 직각삼각형이 하나 만들어진다. 이 직각삼각형에서 이웃한 변의 길이는 x이고, 마주 보는 변의 길이는 a이며, a는 그림의 아랫부분에서 눈높이까지의 길이이다. 눈높이를 나타내는 같은 점에서 두 번째 직각삼각형이 만들어지는데, 이 삼각형에서 이웃한 변은 x이고 다른 변의 길이는 b이며, b는 그림의 높이이다. 두 빗변 사이의 각이 θ로 표시되어 있다.

영어 원문 보기

The famous Regiomontanus’ problem for angle maximization was proposed during the 15th century. A painting hangs on a wall with the bottom of the painting a distance $a$ feet above eye level, and the top $b$ feet above eye level. What distance $x$ (in feet) from the wall should the viewer stand to maximize the angle subtended by the painting, $\theta ?$

답 쓰고 채점

피트

정답·풀이 보기

$x=\sqrt{ab}$ 피트

원본 교재 풀이(영어)

$x=\sqrt{ab}$ feet

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

116.APEX · 2.1절 · 23번우리말 번역

연습문제 23–26에서, 함수 $f$ 와 $x$ 의 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $h=0.1$ 을 이용하여 $f\,'(a)$ 를 수치적으로 어림함으로써, $x=a$ 에서 $f$ 의 그래프의 접선의 방정식을 어림하세요.

$f(x) = x^2+2x+1$ , $x=3$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a function $f$ and an $x$ –value $a$ are given. Approximate the equation of the tangent line to the graph of $f$ at $x=a$ by numerically approximating $f\,'(a)$ , using $h=0.1$ .

$f(x) = x^2+2x+1$ , $x=3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=8.1(x-3)+16$

원본 교재 풀이(영어)

$y=8.1(x-3)+16$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

117.APEX · 2.1절 · 24번우리말 번역

연습문제 23–26에서, 함수 $f$ 와 $x$ 의 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $h=0.1$ 을 이용하여 $f\,'(a)$ 를 수치적으로 어림함으로써, $x=a$ 에서 $f$ 의 그래프의 접선의 방정식을 어림하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{10}{x+1}$ , $x=9$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a function $f$ and an $x$ –value $a$ are given. Approximate the equation of the tangent line to the graph of $f$ at $x=a$ by numerically approximating $f\,'(a)$ , using $h=0.1$ .

$\displaystyle f(x) = \frac{10}{x+1}$ , $x=9$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=-0.099(x-9)+1$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-0.099(x-9)+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

118.APEX · 2.1절 · 25번우리말 번역

연습문제 23–26에서, 함수 $f$ 와 $x$ 의 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $h=0.1$ 을 이용하여 $f\,'(a)$ 를 수치적으로 어림함으로써, $x=a$ 에서 $f$ 의 그래프의 접선의 방정식을 어림하세요.

$\displaystyle f(x) = e^x$ , $x=2$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a function $f$ and an $x$ –value $a$ are given. Approximate the equation of the tangent line to the graph of $f$ at $x=a$ by numerically approximating $f\,'(a)$ , using $h=0.1$ .

$\displaystyle f(x) = e^x$ , $x=2$

정답·풀이 보기

$y=7.77(x-2)+e^2$ , or $y = 7.77(x-2)+7.39$ .

원본 교재 풀이(영어)

$y=7.77(x-2)+e^2$ , or $y = 7.77(x-2)+7.39$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 7번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

119.APEX · 2.1절 · 26번우리말 번역

연습문제 23–26에서, 함수 $f$ 와 $x$ 의 값 $a$ 가 주어져 있습니다. $h=0.1$ 을 이용하여 $f\,'(a)$ 를 수치적으로 어림함으로써, $x=a$ 에서 $f$ 의 그래프의 접선의 방정식을 어림하세요.

$\displaystyle f(x) = \cos x$ , $x=0$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a function $f$ and an $x$ –value $a$ are given. Approximate the equation of the tangent line to the graph of $f$ at $x=a$ by numerically approximating $f\,'(a)$ , using $h=0.1$ .

$\displaystyle f(x) = \cos x$ , $x=0$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=-0.05x+1$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-0.05x+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 23번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

120.APEX · 2.1절 · 27번우리말 번역

$f(x)=x^2-1$ 의 그래프가 그림과 같다.

(a) 그래프를 이용하여 다음 점에서 $f$ 의 접선의 기울기를 어림하세요: $(-1,0)$ , $(0,-1)$ , $(2,3)$ . (b) 정의를 이용하여 $f\,'(x)$ 를 구하세요. (c) 점 $(-1,0)$ , $(0,-1)$ , $(2,3)$ 에서 접선의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $f(x)=x^2-1$ is shown.

(a) Use the graph to approximate the slope of the tangent line to $f$ at the following points: $(-1,0)$ , $(0,-1)$ and $(2,3)$ . (b) Using the definition, find $f\,'(x)$ . (c) Find the slope of the tangent line at the points $(-1,0)$ , $(0,-1)$ and $(2,3)$ .

정답·풀이 보기

(a) 어림한 값은 사람마다 다를 수 있으며, (c)의 값과 거의 일치해야 한다. (b) $f\,'(x) = 2x$ (c) $(-1,0)$ 에서 기울기는 $-2$ 이다. $(0,-1)$ 에서 기울기는 0 이다. $(2,3)$ 에서 기울기는 4 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Approximations will vary; they should match (c) closely. (b) $f\,'(x) = 2x$ (c) At $(-1,0)$ , slope is $-2$ . At $(0,-1)$ , slope is 0. At $(2,3)$ , slope is 4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

미분 전체 문제