미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

161.OpenStax 1권 · 4.7절 · 1번우리말 번역

최적화 문제에서 최댓값을 구할 때, 왜 임계점 주변에서 도함수의 부호를 확인해야 하나요?

영어 원문 보기

When you find the maximum for an optimization problem, why do you need to check the sign of the derivative around the critical points?

정답·풀이 보기

임계점은 최솟값이 될 수도, 최댓값이 될 수도, 둘 다 아닐 수도 있기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

The critical points can be the minima, maxima, or neither.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 7번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

162.OpenStax 1권 · 4.7절 · 2번우리말 번역

최적화 문제에서 끝점을 확인해야 하는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why do you need to check the endpoints for optimization problems?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

163.OpenStax 1권 · 4.7절 · 7번우리말 번역

양의 정수와 그 역수의 합이 최소가 되게 하는 양의 정수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the positive integer that minimizes the sum of the number and its reciprocal.

답 쓰고 채점

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$1$

원본 교재 풀이(영어)

$1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.6절 · 12번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

164.OpenStax 1권 · 4.7절 · 8번우리말 번역

합이 $10$ 이고 제곱의 합이 가능한 한 크도록 하는 두 양의 정수를 구하세요. 그런 다음, 합이 10 이고 제곱의 합이 가능한 한 작도록 하는 또 다른 두 양의 정수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the two positive integers so that their sum is $10$ and the sum of their squares is as large as possible. Then find another two positive integers so that their sum is 10 and the sum of their squares is as small as possible.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 29번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

165.OpenStax 1권 · 4.7절 · 10번우리말 번역

돼지를 가두는 우리를 만들기 위한 울타리가 $800\,\text{ft}$ 있습니다. 땅의 한쪽 면이 강에 접해 있을 때, 넓이가 최대가 되도록 하는 직사각형 우리의 가로와 세로의 길이는 각각 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

You have $800\,\text{ft}$ of fencing to make a pen for hogs. If you have a river on one side of your property, what is the dimension of the rectangular pen that maximizes the area?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

166.OpenStax 1권 · 4.7절 · 14번우리말 번역

환자의 맥박을 측정했더니 $\text{70 bpm, 80 bpm, 그다음 120 bpm}$ 이었습니다. 정확한 맥박 측정값을 정하기 위해, 의사는 식 ${(x-70)}^{2}+{(x-80)}^{2}+{(x-120)}^{2}$ 을 최소로 만드는 값이 무엇인지 알고 싶어 합니다. 어떤 값이 이 식을 최소로 만드는지 구하세요.

영어 원문 보기

A patient’s pulse measures $\text{70 bpm, 80 bpm, then 120 bpm}.$ To determine an accurate measurement of pulse, the doctor wants to know what value minimizes the expression ${(x-70)}^{2}+{(x-80)}^{2}+{(x-120)}^{2}?$ What value minimizes it?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

167.OpenStax 1권 · 4.7절 · 15번우리말 번역

앞의 문제에서 환자가 세 번째 측정 때 긴장했다고 가정하여, 그 값에는 다른 값들의 절반만큼만 가중치를 둡니다. 식 ${(x-70)}^{2}+{(x-80)}^{2}+\frac{1}{2}{(x-120)}^{2}?$ 을 최소로 하는 값은 무엇인가요?

영어 원문 보기

In the previous problem, assume the patient was nervous during the third measurement, so we only weight that value half as much as the others. What is the value that minimizes ${(x-70)}^{2}+{(x-80)}^{2}+\frac{1}{2}{(x-120)}^{2}?$

답 쓰고 채점

회/분

정답·풀이 보기

$84\,\text{bpm}$

원본 교재 풀이(영어)

$84\,\text{bpm}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.6절 · 12번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

168.OpenStax 1권 · 4.7절 · 18번우리말 번역

인명구조원이 물에 빠진 사람에게 가장 짧은 시간에 도달하려면 어떤 각도 $\theta$ 로 수영해야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Find at what angle $\theta$ the lifeguard should swim to reach the drowning person in the least amount of time.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 2번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

169.OpenStax 1권 · 4.7절 · 35번우리말 번역

부피가 $V=16\pi$ 인 닫힌 원기둥 중에서 겉넓이가 가장 작은 것의 치수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the dimensions of the closed cylinder volume $V=16\pi$ that has the least amount of surface area.

정답·풀이 보기

$r=2,h=4$

원본 교재 풀이(영어)

$r=2,h=4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 1번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

170.OpenStax 1권 · 4.7절 · 36번우리말 번역

겉넓이가 $S=4\pi$ 인 직원뿔 중에서 부피가 가장 큰 것의 치수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the dimensions of a right cone with surface area $S=4\pi$ that has the largest volume.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 4번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

171.OpenStax 1권 · 4.7절 · 42번우리말 번역

정원에 수박 식물 $20$ 그루가 한 줄로 심겨 있고, 한 그루당 평균 $30$ 개의 수박이 열립니다. 수박 식물을 추가로 심을 때마다 수박 식물 한 그루당 수확량이 수박 1개씩 줄어듭니다. 수박 식물을 몇 그루 더 심어야 합니까?

영어 원문 보기

You have a garden row of $20$ watermelon plants that produce an average of $30$ watermelons apiece. For any additional watermelon plants planted, the output per watermelon plant drops by one watermelon. How many extra watermelon plants should you plant?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 1번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

172.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 1번우리말 번역

$f(-1)=-6$ 이고 $f(1)=2$ 이면, ${f}^{'}(x)=4$ 인 점 $x\in [-1,1]$ 이 적어도 하나 존재한다.

영어 원문 보기

If $f(-1)=-6$ and $f(1)=2,$ then there exists at least one point $x\in [-1,1]$ such that ${f}^{'}(x)=4.$

정답·풀이 보기

참, 평균값 정리에 의해

원본 교재 풀이(영어)

True, by Mean Value Theorem

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 23번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

173.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 3번우리말 번역

$f(x)<0,{f}^{'}(x)>0$ , 그리고 ${f}^{''}(x)<0$ 을 만족하는 함수가 존재한다. (이 답에는 그래프를 이용한 "증명"도 허용된다.)

영어 원문 보기

There is a function such that $f(x)<0,{f}^{'}(x)>0,$ and ${f}^{''}(x)<0.$ (A graphical “proof” is acceptable for this answer.)

정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

True

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

174.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 4번우리말 번역

어떤 값 $x=a$ 에서 변곡점과 임계점이 모두 존재하는 함수가 있다.

영어 원문 보기

There is a function such that there is both an inflection point and a critical point for some value $x=a.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

175.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 8번우리말 번역

$y={x}^{2}-5x-6$ 의 미분을 구하고, $x=2$ , $dx=0.1$ 일 때의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the differential of $y={x}^{2}-5x-6$ and evaluate for $x=2$ with $dx=0.1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 27번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

176.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 9번우리말 번역

주어진 구간에서 다음 함수의 임계점과 극값, 그리고 최댓값과 최솟값을 구하세요.

구간 $[0,\pi ]$ 에서 $f(x)=x+{\sin }^{2}(x)$

영어 원문 보기

Find the critical points and the local and absolute extrema of the following functions on the given interval.

$f(x)=x+{\sin }^{2}(x)$ over $[0,\pi ]$

정답·풀이 보기

임계점: $x=\frac{3\pi }{4}$ , 최솟값: $x=0$ , 최댓값: $x=\pi$

원본 교재 풀이(영어)

Critical point: $x=\frac{3\pi }{4},$ absolute minimum: $x=0,$ absolute maximum: $x=\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 7번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

177.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 10번우리말 번역

주어진 구간에서 다음 함수의 임계점과 극값, 그리고 최댓값과 최솟값을 구하세요.

구간 $[-3,3]$ 에서 $f(x)=3{x}^{4}-4{x}^{3}-12{x}^{2}+6$

영어 원문 보기

Find the critical points and the local and absolute extrema of the following functions on the given interval.

$f(x)=3{x}^{4}-4{x}^{3}-12{x}^{2}+6$ over $[-3,3]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 4번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

178.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 11번우리말 번역

다음 함수가 증가, 감소, 아래로 볼록, 위로 볼록인 구간을 각각 구하세요.

$x(t)=3{t}^{4}-8{t}^{3}-18{t}^{2}$

영어 원문 보기

Determine over which intervals the following functions are increasing, decreasing, concave up, and concave down.

$x(t)=3{t}^{4}-8{t}^{3}-18{t}^{2}$

정답·풀이 보기

증가: $(-1,0)\cup (3,\infty )$ , 감소: $(-\infty ,-1)\cup (0,3)$ , 아래로 볼록: $\left(-\infty ,\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right)\right)\cup \left(\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right),\infty \right)$ , 위로 볼록: $\left(\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right),\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right)\right)$

원본 교재 풀이(영어)

Increasing: $(-1,0)\cup (3,\infty ),$ decreasing: $(-\infty ,-1)\cup (0,3),$ concave up: $\left(-\infty ,\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right)\right)\cup \left(\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right),\infty \right),$ concave down: $\left(\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right),\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right)\right)$