빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

최댓값·최솟값과 최적화

닫힌 구간의 최대·최소를 구하고, 넓이·비용 같은 문장제의 최적값을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

26문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번우리말 풀이

$x$ 를 어떻게 정해야 두 도형의 넓이의 합이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Choose $x$ to maximize the sum of their areas.

답 쓰고 채점

풀이 보기

넓이의 합이 아래로 볼록한 이차함수이면, 최댓값은 구간의 한쪽 끝에서 나와요.

1
원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$ 인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$ 인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$ 의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$ 이에요.
2
먼저 넓이의 합을 $x$ 로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$ 이므로 원의 둘레는 $L-4x$ 이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$ 예요. 그래서 $A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$
3
최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$ 이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$ 이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.
4
아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$ 인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.
5
$x=0$ 이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$ 이고, $x=\frac{L}{4}$ 이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$ 이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$ 이므로 $A(0)$ 이 더 커요. 따라서 $x=0$ 일 때 넓이의 합이 최대예요.

답

$x=0$

자주 하는 실수

도함수가 0인 점이 곧 최댓값이라고 생각하기 쉬워요. 아래로 볼록하면 그 점은 최솟값이고, 최댓값은 끝점에서 찾아야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

2.OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 직선 $y=5-2x$ 위에서 원점에 가장 가까운 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

[T] Where is the line $y=5-2x$ closest to the origin?

답 쓰고 채점

풀이 보기

거리 대신 거리의 제곱을 최소로 만들면 근호 없이 편하게 풀려요.

1
왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 $(x,\,5-2x)$ 로 쓸 수 있어서 변수가 $x$ 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.
2
거리의 제곱을 식으로 써요. $D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$
3
미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. $D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2$
4
최솟값인지 확인해요. $D''(x)=10>0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 $x=2$ 에서 최소예요.
5
점의 좌표를 구해요. $y=5-2\cdot2=1$ 이므로 가장 가까운 점은 $(2,1)$ 이에요.

답

$(2,1)$

자주 하는 실수

거리 $\sqrt{x^2+y^2}$ 을 그대로 미분하느라 식이 복잡해지거나, $x$ 만 구하고 $y$ 좌표를 쓰지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$(2,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

3.OpenStax 1권 · 4.7절 · 9번우리말 번역

소를 가두는 직사각형 우리를 만들기 위한 울타리가 $400\,\text{ft}$ 있습니다. 넓이가 최대가 되도록 하는 우리의 가로와 세로의 길이는 각각 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

You have $400\,\text{ft}$ of fencing to construct a rectangular pen for cattle. What are the dimensions of the pen that maximize the area?

정답·풀이 보기

$100\,\text{ft by}\,100\,\text{ft}$

원본 교재 풀이(영어)

$100\,\text{ft by}\,100\,\text{ft}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 1번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 4.7절 · 11번우리말 번역

넓이가 $1600\,{\text{ft}}^{2}$ 인 영역의 둘레에 울타리를 만들어야 합니다. 필요한 재료의 양이 최소가 되도록 하는 직사각형 우리의 가로와 세로의 길이는 각각 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

You need to construct a fence around an area of $1600\,{\text{ft}}^{2}.$ What are the dimensions of the rectangular pen to minimize the amount of material needed?

정답·풀이 보기

$40\,\text{ft by}\,40\,\text{ft}$

원본 교재 풀이(영어)

$40\,\text{ft by}\,40\,\text{ft}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 13번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.7절 · 19번우리말 번역

트럭의 연료 사용량이 $g(v)=av+\frac{b}{v}$ 라고 하자. 여기서 $v$ 는 트럭의 속력을, $g$ 는 1마일당 연료의 갤런 수를 나타낸다. $a$ 와 $b$ 가 양수라고 할 때, 연료 소비가 최소가 되는 속력은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A truck uses gas as $g(v)=av+\frac{b}{v},$ where $v$ represents the speed of the truck and $g$ represents the gallons of fuel per mile. Assuming $a$ and $b$ are positive, at what speed is fuel consumption minimized?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$v=\sqrt{\frac{b}{a}}$

원본 교재 풀이(영어)

$v=\sqrt{\frac{b}{a}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 15번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.7절 · 22번우리말 번역

피자 수에 대한 이윤 함수를 구하세요. 피자 몇 판일 때 피자 한 판당 이윤이 가장 큰지 구하세요.

영어 원문 보기

Find the profit function for the number of pizzas. How many pizzas gives the largest profit per pizza?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.7절 · 23번우리말 번역

$R(x)=10x$ 이고 $C(x)=2x+{x}^{2}$ 이라고 가정하자. 피자를 몇 판 팔아야 이윤이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Assume that $R(x)=10x$ and $C(x)=2x+{x}^{2}.$ How many pizzas sold maximizes the profit?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$4$

원본 교재 풀이(영어)

$4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 33번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.7절 · 24번우리말 번역

$R(x)=15x$ , 그리고 $C(x)=60+3x+\frac{1}{2}{x}^{2}$ 이라고 가정하자. 피자를 몇 개 팔아야 이윤이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Assume that $R(x)=15x,$ and $C(x)=60+3x+\frac{1}{2}{x}^{2}.$ How many pizzas sold maximizes the profit?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.7절 · 26번우리말 번역

각각의 넓이의 합이 최소가 되도록 $x$ 를 선택하세요.

영어 원문 보기

Choose $x$ to minimize the sum of their areas.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.7절 · 27번우리말 번역

다음 문제에서 $x+y=10$ 인 두 음이 아닌 수 $x$ 와 $y$ 를 생각하자. 주어진 식의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$xy$

영어 원문 보기

For the following exercises, consider two nonnegative numbers $x$ and $y$ such that $x+y=10.$ Maximize and minimize the quantities.

$xy$

정답·풀이 보기

최대: $x=5,y=5$ ; 최소: $x=0,y=10$ 그리고 $y=0,x=10$

원본 교재 풀이(영어)

Maximal: $x=5,y=5;$ minimal: $x=0,y=10$ and $y=0,x=10$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

11.OpenStax 1권 · 4.7절 · 28번우리말 번역

다음 문제에서 $x+y=10$ 인 두 음이 아닌 수 $x$ 와 $y$ 를 생각하자. 주어진 식의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

${x}^{2}{y}^{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, consider two nonnegative numbers $x$ and $y$ such that $x+y=10.$ Maximize and minimize the quantities.

${x}^{2}{y}^{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.5절 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.7절 · 29번우리말 번역

다음 연습문제에서, $x+y=10$ 인 두 음이 아닌 수 $x$ 와 $y$ 를 생각하세요. 주어진 양의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$y-\frac{1}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, consider two nonnegative numbers $x$ and $y$ such that $x+y=10.$ Maximize and minimize the quantities.

$y-\frac{1}{x}$

정답·풀이 보기

최대: $x=1,y=9$ ; 최소: 없음

원본 교재 풀이(영어)

Maximal: $x=1,y=9;$ minimal: none

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.7절 · 30번우리말 번역

다음 연습문제에서, $x+y=10$ 인 두 음이 아닌 수 $x$ 와 $y$ 를 생각하세요. 주어진 양의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

${x}^{2}-y$

영어 원문 보기

For the following exercises, consider two nonnegative numbers $x$ and $y$ such that $x+y=10.$ Maximize and minimize the quantities.

${x}^{2}-y$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 27번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.7절 · 31번우리말 번역

반지름이 $1$ 인 구 안에 들어가는 가장 큰 직원기둥의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the largest right circular cylinder that fits in a sphere of radius $1.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 41번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.7절 · 32번우리말 번역

반지름이 $1$ 인 구 안에 들어가는 가장 큰 직원뿔의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the largest right cone that fits in a sphere of radius $1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 29번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.7절 · 33번우리말 번역

세 변이 $x=0,y=0$ 및 $\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1$ 인 삼각형 안에 들어가는 가장 큰 직사각형의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the largest rectangle that fits into the triangle with sides $x=0,y=0$ and $\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$6$

원본 교재 풀이(영어)

$6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 31번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

17.OpenStax 1권 · 4.7절 · 34번우리말 번역

밑면의 반지름이 $R$ 이고 높이가 $h$ 인 원뿔 안에 들어가는 원기둥의 부피의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the largest volume of a cylinder that fits into a cone that has base radius $R$ and height $h.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

18.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 25번우리말 번역

자동차를 직육면체 모양으로 압축하고 있다. 부피는 $2$ m³/sec 의 비율로 감소하고 있다. 압축기의 가로와 세로는 정사각형이지만, 높이는 가로, 세로와 길이가 같지 않다. 가로와 세로의 벽이 $0.25$ m/sec 의 속도로 서로를 향해 움직일 때, 가로와 세로가 $2$ m 이고 높이가 $1.5$ m 인 순간에 높이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

A car is being compacted into a rectangular solid. The volume is decreasing at a rate of $2$ m³/sec. The length and width of the compactor are square, but the height is not the same length as the length and width. If the length and width walls move toward each other at a rate of $0.25$ m/sec, find the rate at which the height is changing when the length and width are $2$ m and the height is $1.5$ m.

정답·풀이 보기

높이는 $0.125$ m/sec 의 비율로 감소하고 있다

원본 교재 풀이(영어)

The height is decreasing at a rate of $0.125$ m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 23번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

19.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 26번우리말 번역

로켓이 우주로 발사됩니다. 로켓의 운동 에너지는 $K(t)=\left(\frac{1}{2}\right)m(t)v{(t)}^{2}$ 으로 주어집니다. 여기서 $K$ 는 운동 에너지(단위: 줄), $m$ 은 로켓의 질량(단위: 킬로그램), $v$ 는 로켓의 속도(단위: 미터/초)입니다. 속도는 $15$ m/sec² 의 비율로 증가하고, 연료가 연소되므로 질량은 $10$ kg/sec 의 비율로 감소한다고 가정합니다. 질량이 $2000$ kg 이고 속도가 $5000$ m/sec 일 때, 로켓의 운동 에너지는 어떤 비율로 변하는지 구하세요. 답은 메가줄/초(MJ/s)로 나타내세요. 이는 ${10}^{6}$ J/s 와 같습니다.

영어 원문 보기

A rocket is launched into space; its kinetic energy is given by $K(t)=\left(\frac{1}{2}\right)m(t)v{(t)}^{2},$ where $K$ is the kinetic energy in joules, $m$ is the mass of the rocket in kilograms, and $v$ is the velocity of the rocket in meters/second. Assume the velocity is increasing at a rate of $15$ m/sec² and the mass is decreasing at a rate of $10$ kg/sec because the fuel is being burned. At what rate is the rocket’s kinetic energy changing when the mass is $2000$ kg and the velocity is $5000$ m/sec? Give your answer in mega-Joules per second (MJ/s), which is equivalent to ${10}^{6}$ J/s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

20.APEX · 4.3절 · 7번우리말 번역

빗변의 길이가 1인 직각삼각형의 넓이의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximal area of a right triangle with hypotenuse of length 1.

정답·풀이 보기

넓이 = 1/4, 이때 두 변의 길이는 $1/\sqrt{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Area = 1/4, with sides of length $1/\sqrt{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 6번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류