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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 극한 전체 문제

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237문제 · 4 / 12쪽

61.OpenStax 2권 · 5.1절 · 52번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 그 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=(1000)nn!{a}_{n}=\frac{{(1000)}^{n}}{n!}

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=(1000)nn!{a}_{n}=\frac{{(1000)}^{n}}{n!}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 14번
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
62.OpenStax 2권 · 5.1절 · 53번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 그 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=(n!)2(2n)!{a}_{n}=\frac{{(n!)}^{2}}{(2n)!}

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=(n!)2(2n)!{a}_{n}=\frac{{(n!)}^{2}}{(2n)!}

정답·풀이 보기

an+1an=n!/(n+1)(n+2)⋯ (2n)\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n!/(n+1)(n+2)\cdots \,(2n) =1⋅2⋅3⋯n(n+1)(n+2)⋯ (2n)<1/2n=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+1)(n+2)\cdots \,(2n)}<1/{2}^{n}. 특히 an+1/an≤1/2{a}_{n+1}/{a}_{n}\le 1/2 이므로 n→∞n\to \infty 일 때 an→0{a}_{n}\to 0 이다.

원본 교재 풀이(영어)

an+1an=n!/(n+1)(n+2)⋯ (2n)\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n!/(n+1)(n+2)\cdots \,(2n) =1⋅2⋅3⋯n(n+1)(n+2)⋯ (2n)<1/2n.=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+1)(n+2)\cdots \,(2n)}<1/{2}^{n}. In particular, an+1/an≤1/2,{a}_{n+1}/{a}_{n}\le 1/2, so an→0{a}_{n}\to 0 as n→∞.n\to \infty .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 25번
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
63.OpenStax 2권 · 5.1절 · 54번우리말 번역

뉴턴의 방법은 f(x)=0f(x)=0 의 해를 어림하는 방법으로, 처음 근삿값 x0{x}_{0} 에서 시작하여 수열 xn+1=xn−f(xn)f′(xn){x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})} 을 차례로 정의한다. 주어진 ff 와 x0{x}_{0} 에 대해 xn+1{x}_{n+1} 의 식을 쓰세요. 수열이 수렴하는 것으로 보이면 해 xx 의 정확한 식을 구한 다음, 소수 넷째 자리까지 정확한 극한 xx 의 값과 xn{x}_{n} 이 xx 와 소수 넷째 자리까지 일치하는 가장 작은 nn 을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=x2−2,f(x)={x}^{2}-2, x0=1{x}_{0}=1

영어 원문 보기

Newton’s method seeks to approximate a solution f(x)=0f(x)=0 that starts with an initial approximation x0{x}_{0} and successively defines a sequence xn+1=xn−f(xn)f′(xn).{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})}. For the given choice of ff and x0,{x}_{0}, write out the formula for xn+1.{x}_{n+1}. If the sequence appears to converge, give an exact formula for the solution x,x, then identify the limit xx accurate to four decimal places and the smallest nn such that xn{x}_{n} agrees with xx up to four decimal places.

[T] f(x)=x2−2,f(x)={x}^{2}-2, x0=1{x}_{0}=1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 3번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
64.OpenStax 2권 · 5.1절 · 56번우리말 번역

뉴턴의 방법은 f(x)=0f(x)=0 의 해를 어림하는 방법으로, 처음 근삿값 x0{x}_{0} 에서 시작하여 수열 xn+1=xn−f(xn)f′(xn){x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})} 을 차례로 정의한다. 주어진 ff 와 x0{x}_{0} 에 대해 xn+1{x}_{n+1} 의 식을 쓰세요. 수열이 수렴하는 것으로 보이면 해 xx 의 정확한 식을 구한 다음, 소수 넷째 자리까지 정확한 극한 xx 의 값과 xn{x}_{n} 이 xx 와 소수 넷째 자리까지 일치하는 가장 작은 nn 을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=ex−2,f(x)={e}^{x}-2, x0=1{x}_{0}=1

영어 원문 보기

Newton’s method seeks to approximate a solution f(x)=0f(x)=0 that starts with an initial approximation x0{x}_{0} and successively defines a sequence xn+1=xn−f(xn)f′(xn).{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})}. For the given choice of ff and x0,{x}_{0}, write out the formula for xn+1.{x}_{n+1}. If the sequence appears to converge, give an exact formula for the solution x,x, then identify the limit xx accurate to four decimal places and the smallest nn such that xn{x}_{n} agrees with xx up to four decimal places.

[T] f(x)=ex−2,f(x)={e}^{x}-2, x0=1{x}_{0}=1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 2번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
65.OpenStax 2권 · 5.1절 · 57번우리말 번역

뉴턴의 방법은 초기 근삿값 x0{x}_{0} 에서 시작하여 수열 xn+1=xn−f(xn)f′(xn){x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})} 을 차례로 정의함으로써 방정식 f(x)=0f(x)=0 의 해를 어림하는 방법입니다. 주어진 ff 와 x0{x}_{0} 에 대하여 xn+1{x}_{n+1} 의 식을 쓰세요. 수열이 수렴하는 것으로 보이면, 해 xx 의 정확한 식을 구하고, 이어서 xx 를 소수 넷째 자리까지 정확하게 구한 뒤 xn{x}_{n} 이 xx 와 소수 넷째 자리까지 일치하는 가장 작은 nn 을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=ln⁡x−1,f(x)=\ln x-1, x0=2{x}_{0}=2

영어 원문 보기

Newton’s method seeks to approximate a solution f(x)=0f(x)=0 that starts with an initial approximation x0{x}_{0} and successively defines a sequence xn+1=xn−f(xn)f′(xn).{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})}. For the given choice of ff and x0,{x}_{0}, write out the formula for xn+1.{x}_{n+1}. If the sequence appears to converge, give an exact formula for the solution x,x, then identify the limit xx accurate to four decimal places and the smallest nn such that xn{x}_{n} agrees with xx up to four decimal places.

[T] f(x)=ln⁡x−1,f(x)=\ln x-1, x0=2{x}_{0}=2

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

xn+1=xn−xn(ln⁡(xn)−1);{x}_{n+1}={x}_{n}-{x}_{n}(\ln ({x}_{n})-1); x=e,x=e, x≈2.7183,x\approx 2.7183, n=5n=5

원본 교재 풀이(영어)

xn+1=xn−xn(ln⁡(xn)−1);{x}_{n+1}={x}_{n}-{x}_{n}(\ln ({x}_{n})-1); x=e,x=e, x≈2.7183,x\approx 2.7183, n=5n=5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 27번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
66.OpenStax 2권 · 5.1절 · 58번우리말 번역

[계산기 사용] 식초 1리터에서 시작하여, 0.1 L 를 덜어 내고 그만큼 물로 채운 뒤 섞는 과정을 반복한다고 합시다.

a. nn 단계 후의 농도에 대한 식을 구하세요. b. 몇 단계 후에 혼합액의 식초 비율이 10%10\% 미만이 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose you start with one liter of vinegar and repeatedly remove 0.1 L,0.1\,\text{L,} replace with water, mix, and repeat.

a. Find a formula for the concentration after nn steps. b. After how many steps does the mixture contain less than 10%10\% vinegar?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 5번
# 수열의 수렴과 발산활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
67.OpenStax 2권 · 5.1절 · 59번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 호수에 처음에 물고기가 20002000 마리 있습니다. 포식자나 그 밖의 제거 요인이 없다면 물고기 개체 수는 매달 6%6\% 씩 증가한다고 합시다. 그러나 모든 요인을 고려하면 매달 물고기 150150 마리가 사라집니다.

a. nn 개월 후의 물고기 개체 수가 P0=2000{P}_{0}=2000 일 때 Pn=1.06Pn−1−150{P}_{n}=1.06{P}_{n-1}-150 으로 모형화되는 이유를 설명하세요. b. 1년 후 연못에 물고기가 몇 마리 있게 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A lake initially contains 20002000 fish. Suppose that in the absence of predators or other causes of removal, the fish population increases by 6%6\% each month. However, factoring in all causes, 150150 fish are lost each month.

a. Explain why the fish population after nn months is modeled by Pn=1.06Pn−1−150{P}_{n}=1.06{P}_{n-1}-150 with P0=2000.{P}_{0}=2000. b. How many fish will be in the pond after one year?

정답·풀이 보기

a. 손실이 없다면 개체 수는 Pn=1.06Pn−1{P}_{n}=1.06{P}_{n-1} 을 따를 것이다. 150150 을 빼는 것은 물고기의 손실을 나타낸다. b. 1212 개월 후에는 P12≈1494{P}_{12}\approx 1494 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Without losses, the population would obey Pn=1.06Pn−1.{P}_{n}=1.06{P}_{n-1}. The subtraction of 150150 accounts for fish losses. b. After 1212 months, we have P12≈1494.{P}_{12}\approx 1494.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 51번
# 수열의 수렴과 발산활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
68.OpenStax 2권 · 5.1절 · 62번우리말 번역

[계산기 사용] 등비적 증가와 등차적 감소를 결합한 급수를 생각하세요. a1=1{a}_{1}=1 이라 하세요. a>1a>1 과 0<b<a0<b<a 를 고정하세요. an+1=a.an−b{a}_{n+1}=a.{a}_{n}-b 로 정하세요. an,{a}^{n}, aa, 그리고 bb 로 나타낸 an+1{a}_{n+1} 의 식과, an{a}_{n} 이 수렴하기 위한 aa 와 bb 사이의 관계를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Consider a series combining geometric growth and arithmetic decrease. Let a1=1.{a}_{1}=1. Fix a>1a>1 and 0<b<a.0<b<a. Set an+1=a.an−b.{a}_{n+1}=a.{a}_{n}-b. Find a formula for an+1{a}_{n+1} in terms of an,{a}^{n}, a,a, and bb and a relationship between aa and bb such that an{a}_{n} converges.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 43번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
69.OpenStax 2권 · 5.1절 · 64번우리말 번역

[계산기 사용] π\pi 의 근삿값을 구하기 위해 a0=2+1,{a}_{0}=\sqrt{2+1}, a1=2+a0{a}_{1}=\sqrt{2+{a}_{0}} 로 놓고, 일반적으로 an+1=2+an{a}_{n+1}=\sqrt{2+{a}_{n}} 으로 놓습니다. 마지막으로 pn=3.2n+12−an{p}_{n}={3.2}^{n+1}\sqrt{2-{a}_{n}} 으로 놓습니다. pn{p}_{n} 의 처음 열 개의 항을 구하고 그 값을 π\pi 와 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] To find an approximation for π,\pi , set a0=2+1,{a}_{0}=\sqrt{2+1}, a1=2+a0,{a}_{1}=\sqrt{2+{a}_{0}}, and, in general, an+1=2+an.{a}_{n+1}=\sqrt{2+{a}_{n}}. Finally, set pn=3.2n+12−an.{p}_{n}={3.2}^{n+1}\sqrt{2-{a}_{n}}. Find the first ten terms of pn{p}_{n} and compare the values to π.\pi .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 57번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
70.OpenStax 2권 · 5.1절 · 65번우리말 번역

[계산기 사용] K=16,807K=16,807 과 M=2,147,483,647M=2,147,483,647 에서 시작하여, 서로 다른 열 개의 처음값 a1{a}_{1} 을 사용해 n=1000n=1000 까지 비트 bn{b}_{n} 의 수열을 계산하고, 그 평균을 난수 비트 생성기로 만든 그러한 열 개의 수열의 평균과 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Starting with K=16,807K=16,807 and M=2,147,483,647,M=2,147,483,647, using ten different starting values of a1,{a}_{1}, compute sequences of bits bn{b}_{n} up to n=1000,n=1000, and compare their averages to ten such sequences generated by a random bit generator.

정답·풀이 보기

처음값 a1=1,{a}_{1}=1, a2=2,…,{a}_{2}=2,\ldots , a1=10{a}_{1}=10 에 대해, 제시된 방법으로 계산한 비트 평균은 각각 0.5220,0.5220, 0.5000,0.5000, 0.4960,0.4960, 0.4870,0.4870, 0.4860,0.4860, 0.4680,0.4680, 0.5130,0.5130, 0.5210,0.5210, 0.5040,0.5040, 0.48400.4840 이다. 다음은 난수 생성기로 만든 10001000 비트 열 열 개의 대응하는 평균의 한 예이다: 0.4880,0.4880, 0.4870,0.4870, 0.5150,0.5150, 0.5490,0.5490, 0.5130,0.5130, 0.5180,0.5180, 0.4860,0.4860, 0.5030,0.5030, 0.5050,0.5050, 0.49800.4980. 어느 쪽 평균에서도 뚜렷한 규칙은 없다. 난수 생성기로 만든 평균은 0.48600.4860 에서 0.54900.5490 사이에 분포하여 그 범위가 0.06300.0630 인 반면, 계산으로 얻은 의사난수 생성기의 비트 평균은 0.46800.4680 에서 0.52200.5220 사이에 분포하여 그 범위가 0.05400.0540 이다.

원본 교재 풀이(영어)

For the starting values a1=1,{a}_{1}=1, a2=2,…,{a}_{2}=2,\ldots , a1=10,{a}_{1}=10, the corresponding bit averages calculated by the method indicated are 0.5220,0.5220, 0.5000,0.5000, 0.4960,0.4960, 0.4870,0.4870, 0.4860,0.4860, 0.4680,0.4680, 0.5130,0.5130, 0.5210,0.5210, 0.5040,0.5040, and 0.4840.0.4840. Here is an example of ten corresponding averages of strings of 10001000 bits generated by a random number generator: 0.4880,0.4880, 0.4870,0.4870, 0.5150,0.5150, 0.5490,0.5490, 0.5130,0.5130, 0.5180,0.5180, 0.4860,0.4860, 0.5030,0.5030, 0.5050,0.5050, 0.4980.0.4980. There is no real pattern in either type of average. The random-number-generated averages range between 0.48600.4860 and 0.5490,0.5490, a range of 0.0630,0.0630, whereas the calculated PRNG bit averages range between 0.46800.4680 and 0.5220,0.5220, a range of 0.0540.0.0540.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 17번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
71.OpenStax 2권 · 5.1절 · 66번우리말 번역

[계산기 사용] 컴퓨터 프로그램이나 인터넷 자료를 이용하여 π\pi 의 처음 10001000 개의 숫자를 구하세요. π\pi 의 nn번째 숫자가 홀수이면 bn=1{b}_{n}=1, π\pi 의 nthn\text{th} 숫자가 짝수이면 bn=0{b}_{n}=0 으로 놓아 비트 수열 bn{b}_{n} 을 만드세요. bn{b}_{n} 의 평균값과 dn=∣bn+1−bn∣,{d}_{n}=|{b}_{n+1}-{b}_{n}|, n=1,...,999n=1,...,999 의 평균값을 계산하세요. 수열 bn{b}_{n} 은 무작위로 보이나요? bn{b}_{n} 의 이웃한 항들 사이의 차는 무작위로 보이나요?

영어 원문 보기

[T] Find the first 10001000 digits of π\pi using either a computer program or Internet resource. Create a bit sequence bn{b}_{n} by letting bn=1{b}_{n}=1 if the nthn\text{th} digit of π\pi is odd and bn=0{b}_{n}=0 if the nthn\text{th} digit of π\pi is even. Compute the average value of bn{b}_{n} and the average value of dn=∣bn+1−bn∣,{d}_{n}=|{b}_{n+1}-{b}_{n}|, n=1,...,999.n=1,...,999. Does the sequence bn{b}_{n} appear random? Do the differences between successive elements of bn{b}_{n} appear random?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 15번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
72.OpenStax 2권 · 5.2절 · 1번우리말 번역

시그마 기호를 사용하여 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

1+12+13+14+⋯1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

1+12+13+14+⋯1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots

정답·풀이 보기

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}

원본 교재 풀이(영어)

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 9번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
73.OpenStax 2권 · 5.2절 · 2번우리말 번역

시그마 기호를 사용하여 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

1−1+1−1+⋯1-1+1-1+\cdots

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

1−1+1−1+⋯1-1+1-1+\cdots

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 28번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
74.OpenStax 2권 · 5.2절 · 4번우리말 번역

시그마 기호를 사용하여 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

sin⁡1+sin⁡12+sin⁡13+sin⁡14+⋯\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\sin \frac{1}{3}+\sin \frac{1}{4}+\cdots

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

sin⁡1+sin⁡12+sin⁡13+sin⁡14+⋯\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\sin \frac{1}{3}+\sin \frac{1}{4}+\cdots

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 37번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
75.OpenStax 2권 · 5.2절 · 5번우리말 번역

n=1n=1 부터 시작하는 급수의 제 nn 항이 an{a}_{n} 일 때, 다음에 대해 처음 네 개의 부분합 S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} 를 구하세요.

an=n{a}_{n}=n

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} for the series having nthn\text{th} term an{a}_{n} starting with n=1n=1 as follows.

an=n{a}_{n}=n

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

1,3,6,101,3,6,10

원본 교재 풀이(영어)

1,3,6,101,3,6,10

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 1번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
76.OpenStax 2권 · 5.2절 · 6번우리말 번역

n=1n=1 부터 시작하는 급수의 제 nn 항이 an{a}_{n} 일 때, 다음에 대해 처음 네 개의 부분합 S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} 를 구하세요.

an=1/n{a}_{n}=1/n

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} for the series having nthn\text{th} term an{a}_{n} starting with n=1n=1 as follows.

an=1/n{a}_{n}=1/n

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 63번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
77.OpenStax 2권 · 5.2절 · 8번우리말 번역

다음과 같이 n=1n=1 부터 시작하는 nthn\text{th} 항이 an{a}_{n} 인 급수에 대해 처음 네 부분합 S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} 를 구하세요.

an=(−1)n{a}_{n}={(-1)}^{n}

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} for the series having nthn\text{th} term an{a}_{n} starting with n=1n=1 as follows.

an=(−1)n{a}_{n}={(-1)}^{n}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 3번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
78.OpenStax 2권 · 5.2절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 Sn{S}_{n} 을 갖는 급수의 일반항 an{a}_{n} 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 SS 를 구하세요.

Sn=1−1n,{S}_{n}=1-\frac{1}{n}, n≥2n\ge 2

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term an{a}_{n} of the series with the given partial sum Sn.{S}_{n}. If the sequence of partial sums converges, find its limit S.S.

Sn=1−1n,{S}_{n}=1-\frac{1}{n}, n≥2n\ge 2

정답·풀이 보기

an=Sn−Sn−1=1n−1−1n{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}. 급수는 S=1S=1 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

an=Sn−Sn−1=1n−1−1n.{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}. Series converges to S=1.S=1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 5번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
79.OpenStax 2권 · 5.2절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 Sn{S}_{n} 을 갖는 급수의 일반항 an{a}_{n} 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 SS 를 구하세요.

Sn=n(n+1)2,{S}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, n≥1n\ge 1

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term an{a}_{n} of the series with the given partial sum Sn.{S}_{n}. If the sequence of partial sums converges, find its limit S.S.

Sn=n(n+1)2,{S}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, n≥1n\ge 1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 27번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
80.OpenStax 2권 · 5.2절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 Sn{S}_{n} 을 갖는 급수의 일반항 an{a}_{n} 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 SS 를 구하세요.

Sn=n,n≥2{S}_{n}=\sqrt{n},n\ge 2

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term an{a}_{n} of the series with the given partial sum Sn.{S}_{n}. If the sequence of partial sums converges, find its limit S.S.

Sn=n,n≥2{S}_{n}=\sqrt{n},n\ge 2

정답·풀이 보기

an=Sn−Sn−1=n−n−1=1n−1+n{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}. 부분합이 유계가 아니므로 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

an=Sn−Sn−1=n−n−1=1n−1+n.{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}. Series diverges because partial sums are unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)