벡터와 공간 전체 연습문제

41.OpenStax 3권 · 3.2절 · 27번대학 수준우리말 번역

속도 함수를 구하고, $\text{v}(t)$ 가 항상 $\text{r}(t)$ 에 수직임을 보이세요.

영어 원문 보기

Find the velocity function and show that $\text{v}(t)$ is always orthogonal to $\text{r}(t).$

정답·풀이 보기

$\text{r}'(t)=-b\omega \sin (\omega t)\text{i}+b\omega \cos (\omega t)\text{j}$ . 직교임을 보이려면 $\text{r}'(t)\cdot \text{r}(t)=0$ 임에 주목한다.

원본 교재 풀이(영어)

$\text{r}'(t)=-b\omega \sin (\omega t)\text{i}+b\omega \cos (\omega t)\text{j}.$ To show orthogonality, note that $\text{r}'(t)\cdot \text{r}(t)=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 37번

# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술자동 분류

42.OpenStax 3권 · 3.2절 · 28번대학 수준우리말 번역

입자의 속력이 각속도에 비례함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the speed of the particle is proportional to the angular velocity.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 11번

# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술자동 분류

43.OpenStax 3권 · 3.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

벡터함수로 나타낸 곡선을 따라 움직이는 입자의 속력이 상수이면, 속도 함수는 항상 가속도 함수와 수직임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that if the speed of a particle traveling along a curve represented by a vector-valued function is constant, then the velocity function is always perpendicular to the acceleration function.

정답·풀이 보기

$\begin{array}{ccc}\| \text{v}(t)\| & = & k \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}(t) & = & k \\ \frac{d}{dt}(\text{v}(t)\cdot \text{v}(t)) & = & \frac{d}{dt}k=0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t)+\text{v}'(t)\cdot \text{v}(t) & = & 0 \\ 2\text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0.\end{array}$

마지막 식은 속도와 가속도가 수직, 즉 직교함을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{ccc}\| \text{v}(t)\| & = & k \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}(t) & = & k \\ \frac{d}{dt}(\text{v}(t)\cdot \text{v}(t)) & = & \frac{d}{dt}k=0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t)+\text{v}'(t)\cdot \text{v}(t) & = & 0 \\ 2\text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0.\end{array}$

The last statement implies that the velocity and acceleration are perpendicular or orthogonal.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 43번

# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술자동 분류

44.OpenStax 3권 · 3.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=r\cosh (\omega t)\text{i}+r\sinh (\omega t)\text{j}$ 라 하자. 속도 벡터와 가속도 벡터를 구하고, 가속도가 $\text{r}(t)$ 에 비례함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $\text{r}(t)=r\cosh (\omega t)\text{i}+r\sinh (\omega t)\text{j}.$ Find the velocity and acceleration vectors and show that the acceleration is proportional to $\text{r}(t).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 3번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

45.OpenStax 3권 · 3.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

일정한 속력으로 직선 위를 움직이는 물체의 가속도가 0임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove that an object moving in a straight line at a constant speed has an acceleration of zero.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 31번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

46.OpenStax 3권 · 3.4절 · 45번대학 수준우리말 번역

입자가 원뿔 위에서 움직임을 보이세요

영어 원문 보기

Show that the particle moves on a circular cone.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.3절 · 6번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

47.APEX · 10.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^2$ 에서 벡터 $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ 를 직접 만들어 $\vec u\cdot (\vec v+\vec w) = \vec u\cdot \vec v + \vec u\cdot \vec w$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Create your own vectors $\vec u$ , $\vec v$ and $\vec w$ in $\mathbb{R}^2$ and show that $\vec u\cdot (\vec v+\vec w) = \vec u\cdot \vec v + \vec u\cdot \vec w$ .

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 23번

# 내적과 정사영증명·논술자동 분류

48.APEX · 10.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^3$ 에서 벡터 $\vec u$ 와 $\vec v$ , 스칼라 $c$ 를 직접 만들어 $c(\vec u\cdot \vec v) = \vec u\cdot (c\vec v)$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Create your own vectors $\vec u$ and $\vec v$ in $\mathbb{R}^3$ and scalar $c$ and show that $c(\vec u\cdot \vec v) = \vec u\cdot (c\vec v)$ .

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 4번

# 내적과 정사영증명·논술자동 분류

49.APEX · 10.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^3$ 에서 임의의 벡터 $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ 를 골라 $\vec u \times (\vec v+\vec w) = \vec u\times \vec v+\vec u\times \vec w$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Pick any vectors $\vec u$ , $\vec v$ and $\vec w$ in $\mathbb{R}^3$ and show that $\vec u \times (\vec v+\vec w) = \vec u\times \vec v+\vec u\times \vec w$ .

정답·풀이 보기

답은 다양합니다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 18번

# 외적증명·논술자동 분류

50.APEX · 10.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^3$ 에서 임의의 벡터 $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ 를 골라 $\vec u \cdot (\vec v\times\vec w) = (\vec u\times \vec v)\cdot \vec w$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Pick any vectors $\vec u$ , $\vec v$ and $\vec w$ in $\mathbb{R}^3$ and show that $\vec u \cdot (\vec v\times\vec w) = (\vec u\times \vec v)\cdot \vec w$ .

정답·풀이 보기

답은 다양합니다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 37번

# 외적증명·논술자동 분류

51.APEX · 11.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 $\vec r_1(t)$ 와 $\vec r_2(s)$ 가 주어져 있다.

(a) 주어진 $t_0$ 와 $s_0$ 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0)$ 임을 보이세요. (b) 두 물체의 $t_0$ 와 $s_0$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

$\vec r_1(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ ( $[0,1]$ 에서); $t_0 = 1$

$\vec r_2(s) = \left\langle s^2,s^4\right\rangle$ ( $[0,1]$ 에서); $s_0 = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions $\vec r_1(t)$ and $\vec r_2(s)$ for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated $t_0$ and $s_0$ values; i.e., show $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0).$ (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at $t_0$ and $s_0$ , respectively.

$\vec r_1(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle$ on $[0,1]$ ; $t_0 = 1$

$\vec r_2(s) = \left\langle s^2,s^4\right\rangle$ on $[0,1]$ ; $s_0 = 1$

정답·풀이 보기

(a) $\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ ; $\vec r_2(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ (b) $\vec v_1(1) = \left\langle 1,2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}$ ; $\vec a_1(1) = \left\langle 0,2\right\rangle$

$\vec v_2(1) = \left\langle 2,4\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(1)\right\| = 2\sqrt{5}$ ; $\vec a_2(1) = \left\langle 2,12\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ ; $\vec r_2(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ (b) $\vec v_1(1) = \left\langle 1,2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}$ ; $\vec a_1(1) = \left\langle 0,2\right\rangle$

$\vec v_2(1) = \left\langle 2,4\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(1)\right\| = 2\sqrt{5}$ ; $\vec a_2(1) = \left\langle 2,12\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 17번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

52.APEX · 11.3절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 $\vec r_1(t)$ 와 $\vec r_2(s)$ 가 주어져 있다.

(a) 주어진 $t_0$ 와 $s_0$ 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0)$ 임을 보이세요. (b) 두 물체의 $t_0$ 와 $s_0$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

$\vec r_1(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t\right\rangle$ ( $[0,2\pi]$ 에서); $t_0 = \pi/2$

$\vec r_2(s) = \left\langle 3\cos (4s),3\sin(4s)\right\rangle$ ( $[0,\pi/2]$ 에서); $s_0 = \pi/8$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions $\vec r_1(t)$ and $\vec r_2(s)$ for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated $t_0$ and $s_0$ values; i.e., show $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0).$ (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at $t_0$ and $s_0$ , respectively.

$\vec r_1(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t\right\rangle$ on $[0,2\pi]$ ; $t_0 = \pi/2$

$\vec r_2(s) = \left\langle 3\cos (4s),3\sin(4s)\right\rangle$ on $[0,\pi/2]$ ; $s_0 = \pi/8$

정답·풀이 보기

(a) $\vec r_1(\pi/2) = \left\langle 0,3\right\rangle$ ; $\vec r_2(\pi/8) = \left\langle 0,3\right\rangle$ (b) $\vec v_1(\pi/2) = \left\langle -3,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(\pi/2)\right\| = 3$ ; $\vec a_1(\pi/2) = \left\langle 0,-3\right\rangle$

$\vec v_2(\pi/8) = \left\langle -12,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(\pi/8)\right\| = 12$ ; $\vec a_2(\pi/8) = \left\langle 0,-48\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r_1(\pi/2) = \left\langle 0,3\right\rangle$ ; $\vec r_2(\pi/8) = \left\langle 0,3\right\rangle$ (b) $\vec v_1(\pi/2) = \left\langle -3,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(\pi/2)\right\| = 3$ ; $\vec a_1(\pi/2) = \left\langle 0,-3\right\rangle$

$\vec v_2(\pi/8) = \left\langle -12,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(\pi/8)\right\| = 12$ ; $\vec a_2(\pi/8) = \left\langle 0,-48\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 27번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

53.APEX · 11.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 $\vec r_1(t)$ 와 $\vec r_2(s)$ 가 주어져 있다.

(a) 주어진 $t_0$ 와 $s_0$ 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0)$ 임을 보이세요. (b) 두 물체의 $t_0$ 와 $s_0$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

$\vec r_1(t) = \left\langle 3t,2t\right\rangle$ ( $[0,2]$ 에서); $t_0 = 2$

$\vec r_2(s) = \left\langle 6s-6,4s-4\right\rangle$ ( $[1,2]$ 에서); $s_0 = 2$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions $\vec r_1(t)$ and $\vec r_2(s)$ for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated $t_0$ and $s_0$ values; i.e., show $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0).$ (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at $t_0$ and $s_0$ , respectively.

$\vec r_1(t) = \left\langle 3t,2t\right\rangle$ on $[0,2]$ ; $t_0 = 2$

$\vec r_2(s) = \left\langle 6s-6,4s-4\right\rangle$ on $[1,2]$ ; $s_0 = 2$

정답·풀이 보기

(a) $\vec r_1(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ ; $\vec r_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ (b) $\vec v_1(2) = \left\langle 3,2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(2)\right\| = \sqrt{13}$ ; $\vec a_1(2) = \left\langle 0,0\right\rangle$

$\vec v_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(2)\right\| = 2\sqrt{13}$ ; $\vec a_2(2) = \left\langle 0,0\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r_1(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ ; $\vec r_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ (b) $\vec v_1(2) = \left\langle 3,2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(2)\right\| = \sqrt{13}$ ; $\vec a_1(2) = \left\langle 0,0\right\rangle$

$\vec v_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(2)\right\| = 2\sqrt{13}$ ; $\vec a_2(2) = \left\langle 0,0\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 15번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

54.APEX · 11.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28 에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 $\vec r_1(t)$ 와 $\vec r_2(s)$ 가 주어져 있다.

(a) 주어진 $t_0$ 와 $s_0$ 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0)$ 임을 보이세요. (b) 두 물체의 $t_0$ 와 $s_0$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

$\vec r_1(t) = \left\langle t,\sqrt{t}\right\rangle$ , 구간 $[0,1]$ ; $t_0 = 1$

$\vec r_2(s) = \left\langle \sin t,\sqrt{\sin t}\right\rangle$ , 구간 $[0,\pi/2]$ ; $s_0 = \pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions $\vec r_1(t)$ and $\vec r_2(s)$ for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated $t_0$ and $s_0$ values; i.e., show $\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0).$ (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at $t_0$ and $s_0$ , respectively.

$\vec r_1(t) = \left\langle t,\sqrt{t}\right\rangle$ on $[0,1]$ ; $t_0 = 1$

$\vec r_2(s) = \left\langle \sin t,\sqrt{\sin t}\right\rangle$ on $[0,\pi/2]$ ; $s_0 = \pi/2$

정답·풀이 보기

(a) $\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ ; $\vec r_2(\pi/2) = \left\langle 1,1\right\rangle$ (b) $\vec v_1(1) = \left\langle 1,1/2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}/2$ ; $\vec a_1(1) = \left\langle 0,-1/4\right\rangle$

$\vec v_2(\pi/2) = \left\langle 0,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(\pi/2)\right\| = 0$ ; $\vec a_2(\pi/2) = \left\langle -1,-1/2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle$ ; $\vec r_2(\pi/2) = \left\langle 1,1\right\rangle$ (b) $\vec v_1(1) = \left\langle 1,1/2\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}/2$ ; $\vec a_1(1) = \left\langle 0,-1/4\right\rangle$

$\vec v_2(\pi/2) = \left\langle 0,0\right\rangle$ ; $\left\|\vec v_2(\pi/2)\right\| = 0$ ; $\vec a_2(\pi/2) = \left\langle -1,-1/2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 25번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

55.APEX · 11.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–42는 포물체 운동의 원리를 바탕으로 한 여러 문제를 풀도록 합니다.

한 야구 선수가 보스턴의 펜웨이 파크에서 처음 높이 3ft, 올림각 $20^\circ$ 로 100mph 의 속력으로 공을 칩니다. 공은 홈플레이트에서 310ft 떨어진 곳에 있는 높이 37ft 의 벽, 유명한 “그린 몬스터”를 향해 날아갑니다.

(a) 친 그대로라면 공이 벽에 맞음을 보이세요. (b) 올림각이 $21^\circ$ 이면 공이 그린 몬스터를 넘어감을 보이세요.

영어 원문 보기

Exercises 37–42 ask you to solve a variety of problems based on the principles of projectile motion.

A baseball player hits a ball at 100mph, with an initial height of 3ft and an angle of elevation of $20^\circ$ , at Boston's Fenway Park. The ball flies towards the famed “Green Monster,” a wall 37ft high located 310ft from home plate.

(a) Show that as hit, the ball hits the wall. (b) Show that if the angle of elevation is $21^\circ$ , the ball clears the Green Monster.

정답·풀이 보기

공의 위치 함수는 $\vec r(t) = \left\langle (146.67\cos\theta)t,-16t^2+(146.67\sin\theta)t+3\right\rangle$ 이다. 여기서 $\theta$ 는 올림각이다.

(a) $\theta=20^\circ$ 이면 공은 2.25초 후에 홈플레이트에서 310ft 떨어진 곳에 도달하고, 이때 공의 높이는 34.9ft 로 그린 몬스터를 넘기기에 충분하지 않다. (b) $\theta=21^\circ$ 이면 공은 2.26초 후에 홈플레이트에서 310ft 떨어진 곳에 도달하고, 이때 높이는 40ft 로 벽을 넘어간다.

원본 교재 풀이(영어)

The position function of the ball is $\vec r(t) = \left\langle (146.67\cos\theta)t,-16t^2+(146.67\sin\theta)t+3\right\rangle$ , where $\theta$ is the angle of elevation.

(a) With $\theta=20^\circ$ , the ball reaches 310ft from home plate in 2.25 seconds; at this time, the height of the ball is 34.9ft, not enough to clear the Green Monster. (b) With $\theta=21^\circ$ , the ball reaches 310ft from home plate in 2.26s, with a height of 40ft, clearing the wall.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 39번

# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류

56.CLP-3 · 1.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

$(3,-2,3)$ 으로부터의 거리가 $(3/2,1,0)$ 으로부터의 거리의 2배인 모든 점 $P$ 의 집합이 구임을 보이세요. 이 구의 중심과 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

Show that the set of all points $P$ that are twice as far from $(3,-2,3)$ as from $(3/2,1,0)$ is a sphere. Find its centre and radius.

정답·풀이 보기

$(x,y,z)$ 를 $P$ 에 속하는 점이라 하자. $(x,y,z)$ 에서 $(3,-2,3)$ 까지의 거리와 $(3/2,1,0)$ 까지의 거리는 각각

$\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}\quad\text{ 그리고 }\quad \sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2}$

이다. $P$ 에 속하려면 $(x,y,z)$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} \sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}&=2\sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2} \\ (x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2&=4(x-3/2)^2+4(y-1)^2+4z^2 \\ x^2-6x+9+y^2+4y+4+z^2-6z+9&=4x^2-12x+9+4y^2-8y+4+4z^2 \\ 3x^2-6 x+3y^2-12y+3z^2+6z-9&=0 \\ x^2-2 x+y^2-4y+z^2+2z-3&=0 \\ (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2&=9 \end{aligned}$

이것은 $(1,2,-1)$ 을 중심으로 하고 반지름이 3인 구이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $(x,y,z)$ be a point in $P$ . The distances from $(x,y,z)$ to $(3,-2,3)$ and to $(3/2,1,0)$ are

$\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}\quad\text{ and }\quad \sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2}$

respectively. To be in $P$ , $(x,y,z)$ must obey

$\begin{aligned} \sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}&=2\sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2} \\ (x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2&=4(x-3/2)^2+4(y-1)^2+4z^2 \\ x^2-6x+9+y^2+4y+4+z^2-6z+9&=4x^2-12x+9+4y^2-8y+4+4z^2 \\ 3x^2-6 x+3y^2-12y+3z^2+6z-9&=0 \\ x^2-2 x+y^2-4y+z^2+2z-3&=0 \\ (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2&=9 \end{aligned}$

This is a sphere of radius 3 centered on $(1,2,-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.1절 · 4번

# 공간좌표증명·논술보통자동 분류

57.CLP-3 · 1.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 로 결정되는 평행사변형의 넓이가 $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the area of the parallelogram determined by the vectors $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ is $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ .

정답·풀이 보기

평행사변형의 넓이는 밑변의 길이와 높이의 곱이다.

밑변을 $\mathbf{a}$ 로 잡을 수 있다. 그러면 $\theta$ 가 변 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 사이의 각일 때, 높이는 $|\mathbf{b}|\sin\theta$ 이다. 따라서

$\text{area} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta=|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$

원본 교재 풀이(영어)

The area of a parallelogram is the length of its base time its height.

We can choose the base to be $\mathbf{a}$ . Then, if $\theta$ is the angle between its sides $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ , its height is $|\mathbf{b}|\sin\theta$ . So

$\text{area} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta=|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 13번

# 벡터의 연산증명·논술기본자동 분류

58.CLP-3 · 1.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

벡터 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 로 정해지는 평행육면체의 부피가

$|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the volume of the parallelepiped determined by the vectors $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ is

$|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

정답·풀이 보기

평행육면체의 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱이다. 밑면을 벡터 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 로 정해지는 평행사변형으로 잡을 수 있다. 이 밑면의 넓이는 $|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ 이다. 벡터 $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 는 밑면에 수직이다.

$\mathbf{a}$ 와 밑면에 수직인 벡터 $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 하자. 평행육면체의 높이는 $|\mathbf{a}| |\cos\theta|$ 이다. 따라서

$\text{volume} = |\mathbf{a}|\, |\cos\theta|\, |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| =|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

원본 교재 풀이(영어)

The volume of a parallelepiped is the area of its base time its height. We can choose the base to be the parallelogram determined by the vectors $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ . It has area $|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ . The vector $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ is perpendicular to the base.

Denote by $\theta$ the angle between $\mathbf{a}$ and the perpendicular $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ . The height of the parallelepiped is $|\mathbf{a}| |\cos\theta|$ . So

$\text{volume} = |\mathbf{a}|\, |\cos\theta|\, |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| =|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2장 복습 · 19번

# 벡터의 연산증명·논술기본자동 분류

59.CLP-3 · 1.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 명제를 생각하세요: " $\mathbf{a}\ne\mathbf{0}$ 이고 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ 이면 $\mathbf{b}=\mathbf{c}$ 이다." 이 명제가 참이면 증명하세요. 거짓이면 반례를 드세요.

영어 원문 보기

Consider the following statement: “If $\mathbf{a}\ne\mathbf{0}$ and if $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ then $\mathbf{b}=\mathbf{c}$ .” If the statment is true, prove it. If the statement is false, give a counterexample.

정답·풀이 보기

이 명제는 거짓이다. 두 수 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ , $\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ 가 같을 필요충분조건은 $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})= 0$ 이다. 이는 다시 $\mathbf{a}$ 가 $\mathbf{b}-\mathbf{c}$ 와 수직인 것과 필요충분조건이다( $\mathbf{0}$ 은 모든 벡터와 수직이라는 약속에 따른다). 예를 들어 $\mathbf{a}=\left< 1,0,0\right>$ , $\mathbf{b}=\left< 0,1,0\right> ,\ \mathbf{c}=\left< 0,0,1\right>$ 이면 $\mathbf{b}-\mathbf{c}=\left< 0,1,-1\right>$ 은 $\mathbf{a}$ 와 수직이므로 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This statement is false. The two numbers $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ , $\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ are equal if and only if $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})= 0$ . This in turn is the case if and only if $\mathbf{a}$ is perpendicular to $\mathbf{b}-\mathbf{c}$ (under the convention that $\mathbf{0}$ is perpendicular to all vectors). For example, if $\mathbf{a}=\left< 1,0,0\right>$ , $\mathbf{b}=\left< 0,1,0\right> ,\ \mathbf{c}=\left< 0,0,1\right>$ , then $\mathbf{b}-\mathbf{c}=\left< 0,1,-1\right>$ is perpendicular to $\mathbf{a}$ so that $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 16번

# 벡터의 연산증명·논술기본자동 분류

60.CLP-3 · 1.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 명제를 생각하세요. "벡터 $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$ 는 어떤 실수 $\alpha$ 와 $\beta$ 에 대해 $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ 의 꼴이다." 이 명제가 참이면 증명하세요. 거짓이면 반례를 드세요.

영어 원문 보기

Consider the following statement: “The vector $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$ is of the form $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ for some real numbers $\alpha$ and $\beta$ .” If the statement is true, prove it. If the statement is false, give a counterexample.

정답·풀이 보기

이 명제는 참이다. $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 가 평행한 경우에는 $\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 이므로 $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{0}=0\mathbf{b}+0\mathbf{c}$ 이다. 따라서 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 가 평행하지 않다고 가정해도 된다. 그러면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 $\mathbb{R}$ 전체를 움직일 때, 벡터 $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ 는 원점과 벡터 $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 를 포함하는 평면 위를 움직인다. 이 평면을 $P$ 라 하자. $\mathbf{d}=\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 는 영벡터가 아니고 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 모두에 수직이므로, $P$ 는 원점을 포함하고 $\mathbf{d}$ 에 수직인 평면이다. $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{d}$ 는 언제나 $\mathbf{d}$ 에 수직이므로 $P$ 위에 놓인다.

원본 교재 풀이(영어)

This statement is true. In the event that $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ are parallel, $\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\mathbf{0}$ so that $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{0}=0\mathbf{b}+0\mathbf{c}$ , so we may assume that $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ are not parallel. Then as $\alpha$ and $\beta$ run over $\mathbb{R}$ , the vector $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ runs over the plane that contains the origin and the vectors $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ . Call this plane $P$ . Because $\mathbf{d}=\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ is nonzero and perpendicular to both $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ , $P$ is the plane that contains the origin and is perpendicular to $\mathbf{d}$ . As $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{d}$ is always perpendicular to $\mathbf{d}$ , it lies in $P$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 8번

# 벡터의 연산증명·논술기본자동 분류

벡터와 공간 전체 문제