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247문제 · 7 / 13쪽

121.OpenStax 3권 · 3.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

벡터값 함수 $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (그래프는 여기에 나와 있습니다)가 주어졌을 때, 다음을 구하세요.

속력

영어 원문 보기

Given the vector-valued function $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (graph is shown here), find the following:

Speed

정답·풀이 보기

$\| \text{v}(t)\| =\sqrt{{\sec }^{4}t+{\sec }^{2}t{\tan }^{2}t}=\sqrt{{\sec }^{2}t({\sec }^{2}t+{\tan }^{2}t)}$

원본 교재 풀이(영어)

$\| \text{v}(t)\| =\sqrt{{\sec }^{4}t+{\sec }^{2}t{\tan }^{2}t}=\sqrt{{\sec }^{2}t({\sec }^{2}t+{\tan }^{2}t)}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 53번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

122.OpenStax 3권 · 3.2절 · 52번대학 수준우리말 번역

벡터 함수 $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (그래프는 여기에 나와 있다)가 주어질 때, 다음을 구하세요.

가속도

영어 원문 보기

Given the vector-valued function $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (graph is shown here), find the following:

Acceleration

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 7번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

123.OpenStax 3권 · 3.2절 · 57번대학 수준우리말 번역

다음 벡터함수에 대하여 단위접선벡터 T(t)를 구하세요.

$\text{r}(t)=\langle t,\frac{1}{t}\rangle$ . 그래프는 다음과 같습니다.

이 그림은 쌍곡선 모양 곡선의 그래프이다. y축은 수직 점근선이고 x축은 수평 점근선이다.

영어 원문 보기

Find the unit tangent vector T(t) for the following vector-valued functions.

$\text{r}(t)=\langle t,\frac{1}{t}\rangle .$ The graph is shown here:

This figure is the graph of a hyperbolic curve. The y-axis is a vertical asymptote and the x-axis is the horizontal asymptote.

정답·풀이 보기

$\text{T}(t)=\langle \frac{{t}^{2}}{\sqrt{{t}^{4}+1}},\frac{-1}{\sqrt{{t}^{4}+1}}\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{T}(t)=\langle \frac{{t}^{2}}{\sqrt{{t}^{4}+1}},\frac{-1}{\sqrt{{t}^{4}+1}}\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 35번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

124.OpenStax 3권 · 3.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)={t}^{2}\text{i}+14t\text{j},\,0\le t\le 7$ . 그래프의 이 부분은 다음과 같습니다.

원점에서 시작하여 증가하는 곡선의 그래프이다.

영어 원문 보기

$\text{r}(t)={t}^{2}\text{i}+14t\text{j},\,0\le t\le 7.$ This portion of the graph is shown here:

This figure is the graph of a curve beginning at the origin and increasing.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 10번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

125.OpenStax 3권 · 3.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle ,0\le t\le \pi$ . 그래프의 이 부분은 다음과 같습니다.

3차원 공간에 있는 곡선의 그래프이다. 곡선은 상자 안에 있다. 이 상자는 한 개의 팔분공간을 나타낸다. 곡선은 상자의 오른쪽 위 모서리에서 시작하여 상자를 가로지르며 휘어져 반대편으로 이어진다.

영어 원문 보기

$\text{r}(t)=\langle 2\sin t,5t,2\cos t\rangle ,0\le t\le \pi .$ This portion of the graph is shown here:

This figure is the graph of a curve in 3 dimensions. It is inside of a box. The box represents an octant. The curve begins in the upper right corner of the box and bends through the box to the other side.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 14번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

126.OpenStax 3권 · 3.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

구간 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 에서 $\text{r}(t)=\langle {e}^{-t}\cos t,{e}^{-t}\sin t\rangle$ 입니다. 주어진 구간에서 그래프의 일부는 다음과 같습니다.

제1사분면에 있는 곡선의 그래프이다. 곡선은 y축의 약 0.20에서 시작하여 x = 0.3 근처까지 증가한다. 그 후 곡선은 감소하여 x축과 1.0에서 만난다.

영어 원문 보기

$\text{r}(t)=\langle {e}^{-t}\cos t,{e}^{-t}\sin t\rangle$ over the interval $\left[0,\frac{\pi }{2}\right].$ Here is the portion of the graph on the indicated interval:

This figure is the graph of a curve in the first quadrant. It begins approximately at 0.20 on the y axis and increases to approximately where x = 0.3. Then the curve decreases, meeting the x-axis at 1.0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 50번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

127.OpenStax 3권 · 3.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

구간 $0\le t\le 1$ 에서 곡선 $\text{r}(t)=\langle \sqrt{2}t,{e}^{t},{e}^{-t}\rangle$ 의 길이를 구하세요. 그래프는 다음과 같습니다.

이 그림은 3차원 공간에 있는 곡선의 그래프이다. 곡선은 상자 안에 있으며, 상자는 한 팔분공간을 나타낸다. 곡선은 상자의 왼쪽 위 모서리에서 시작하여 상자 안을 휘어 지나 반대쪽 아래로 이어진다.

영어 원문 보기

Find the length of the curve $\text{r}(t)=\langle \sqrt{2}t,{e}^{t},{e}^{-t}\rangle$ over the interval $0\le t\le 1.$ The graph is shown here:

This figure is the graph of a curve in 3 dimensions. It is inside of a box. The box represents an octant. The curve begins in the upper left corner of the box and bends through the box to the bottom of the other side.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$e-\frac{1}{e}$

원본 교재 풀이(영어)

$e-\frac{1}{e}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 16번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

128.OpenStax 3권 · 3.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}+t\text{k}$ 일 때, 단위접선벡터 $\text{T}(t)$ 를 구하세요. 그래프는 다음과 같습니다.

이 그림은 3차원 공간에 있는 곡선의 그래프이다. 곡선은 상자 안에 있다. 상자는 하나의 팔분공간(옥탄트)을 나타낸다. 곡선은 상자의 왼쪽 아래 모서리에서 시작하여 상자 안을 휘어 지나 왼쪽 위쪽 면으로 이어진다.

영어 원문 보기

Given $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}+t\text{k},$ find the unit tangent vector $\text{T}(t).$ The graph is shown here:

This figure is the graph of a curve in 3 dimensions. It is inside of a box. The box represents an octant. The curve begins in the bottom left corner of the box and bends through the box to the upper left side.

정답·풀이 보기

$\text{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{4{t}^{2}+2}}<1,2t,1>$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{4{t}^{2}+2}}<1,2t,1>$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 12번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

129.OpenStax 3권 · 3.3절 · 19번대학 수준우리말 번역

평면 곡선 $\text{r}(t)=\langle {t}^{3}-4t,5{t}^{2}-2\rangle$ 에 대하여 $t=0$ 에서의 단위접선벡터 $\text{T}(t)$ 와 단위법선벡터 $\text{N}(t)$ 를 구하세요. 그래프는 다음과 같습니다.

이 그림은 x축 위쪽에 있는 곡선의 그래프이다. 곡선은 제2사분면에서 감소하다가 y=20 에서 y축을 지난다. 그 후 원점을 지난다. 곡선은 원점에서 고리를 이루며, 다시 y=20 을 지나 증가하면서 제1사분면으로 들어간다.

영어 원문 보기

Find the unit tangent vector $\text{T}(t)$ and unit normal vector $\text{N}(t)$ at $t=0$ for the plane curve $\text{r}(t)=\langle {t}^{3}-4t,5{t}^{2}-2\rangle .$ The graph is shown here:

This figure is the graph of a curve above the x-axis. The curve decreases in the second quadrant, passes through the y-axis at y=20. Then it intersects the origin. The curve loops at the origin, increasing back through y=20 into the first quadrant.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 12번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

130.OpenStax 3권 · 3.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

곡선 $\text{r}(t)=5\cos t\text{i}+4\sin t\text{j}$ 의 $t=\pi /3$ 에서의 곡률을 구하세요. (참고: 그래프는 타원이다.)

이 그림은 타원의 그래프이다. 타원은 x축 방향으로 길쭉한 모양이다. 원점을 중심으로 하며 y축과 -4와 4에서 만난다.

영어 원문 보기

Find the curvature of the curve $\text{r}(t)=5\cos t\text{i}+4\sin t\text{j}$ at $t=\pi /3.$ (Note: The graph is an ellipse.)

This figure is the graph of an ellipse. The ellipse is oval along the x-axis. It is centered at the origin and intersects the y-axis at -4 and 4.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 10번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

131.OpenStax 3권 · 3.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

곡선 $\text{r}(t)=t\text{i}+6{t}^{2}\text{j}+4t\text{k}$ 의 곡률 $\kappa$ 를 구하세요. 그래프는 다음과 같습니다.

이 그림은 3차원 공간에 그려진 곡선의 그래프이다. 곡선은 상자 안에 있다. 상자는 8분공간 하나를 나타낸다. 곡선은 상자의 가운데에서 포물선 모양을 이룬다.

영어 원문 보기

Find the curvature $\kappa$ of the curve $\text{r}(t)=t\text{i}+6{t}^{2}\text{j}+4t\text{k}.$ The graph is shown here:

This figure is the graph of a curve in 3 dimensions. It is inside of a box. The box represents an octant. The curve has a parabolic shape in the middle of the box.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\kappa \approx \frac{49.477}{{(17+144{t}^{2})}^{3/2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\kappa \approx \frac{49.477}{{(17+144{t}^{2})}^{3/2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 44번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

132.OpenStax 3권 · 3.3절 · 51번대학 수준우리말 번역

큰 컵의 표면은 함수 $y=0.25{x}^{1.6}$ 의 그래프를 $x=0$ 부터 $x=5$ 까지 y축을 중심으로 회전시켜 만든다(단위는 센티미터).

[계산기 사용] 공학적 도구를 이용하여 이 곡면의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

The surface of a large cup is formed by revolving the graph of the function $y=0.25{x}^{1.6}$ from $x=0$ to $x=5$ about the y-axis (measured in centimeters).

[T] Use technology to graph the surface.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 3번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

133.OpenStax 3권 · 3.3절 · 53번대학 수준우리말 번역

큰 컵의 표면은 함수 $y=0.25{x}^{1.6}$ 의 그래프를 $x=0$ 부터 $x=5$ 까지 y축을 중심으로 회전시켜 만든다(단위는 센티미터).

[계산기 사용] 공학적 도구를 이용하여 곡률 함수의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

The surface of a large cup is formed by revolving the graph of the function $y=0.25{x}^{1.6}$ from $x=0$ to $x=5$ about the y-axis (measured in centimeters).

[T] Use technology to graph the curvature function.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 1번

# 호의 길이와 곡률그래프·표 해석자동 분류

134.OpenStax 3권 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=(3{t}^{2}-2)\text{i}+(2t-\sin (t))\text{j}$ 가 주어질 때, 이 곡선을 따라 움직이는 입자의 속도를 구하세요.

이 그림은 xy 평면 위의 곡선이다. 곡선은 제4사분면에서 y축 쪽으로 향하며 시작하여, 0보다 아래에서 x축과 만나고, 그 뒤 휘어 돌아 양의 y축과 만나며 제1사분면을 지나 증가한다.

영어 원문 보기

Given $\text{r}(t)=(3{t}^{2}-2)\text{i}+(2t-\sin (t))\text{j},$ find the velocity of a particle moving along this curve.

This figure is a curve in the xy plane. The curve begins in the fourth quadrant towards the y-axis, intersects below 0 to the x axis, then bends around to intersect the positive y-axis and increasing through the first quadrant.

정답·풀이 보기

$\text{v}(t)=(6t)\text{i}+(2-\cos (t))\text{j}$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{v}(t)=(6t)\text{i}+(2-\cos (t))\text{j}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 3번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

135.OpenStax 3권 · 3.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속도, 가속도, 속력을 구하세요.

$\text{r}(t)=\langle {e}^{t},{e}^{-t}\rangle$ . 그래프는 다음과 같다.

이 그림은 3차원 공간의 곡선이다. 곡선은 상자 안에 있다. 이 상자는 하나의 팔분공간(옥탄트)을 나타낸다. 곡선은 상자의 아랫부분 왼쪽 아래에서 시작하여, 상자를 가로질러 휘어지면서 반대쪽인 오른쪽 아래까지 이어진다.

영어 원문 보기

Find the velocity, acceleration, and speed of a particle with the given position function.

$\text{r}(t)=\langle {e}^{t},{e}^{-t}\rangle$ . The graph is shown here:

This figure is a curve in 3 dimensions. It is inside of a box. The box represents an octant. The curve begins in the bottom of the box, from the lower left, and bends through the box to the other side, in the lower right.

정답·풀이 보기

$\text{v}(t)={e}^{t}\text{i}-{e}^{-t}\text{j},$ $\text{a}(t)={e}^{t}\text{i}+{e}^{-t}\text{j}$ , 속력 = $\| \text{v}(t)\| =\sqrt{{e}^{2t}+{e}^{-2t}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{v}(t)={e}^{t}\text{i}-{e}^{-t}\text{j},$ $\text{a}(t)={e}^{t}\text{i}+{e}^{-t}\text{j},$ speed = $\| \text{v}(t)\| =\sqrt{{e}^{2t}+{e}^{-2t}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 9번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

136.OpenStax 3권 · 3.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

행글라이더를 탄 사람이 빠르게 상승하는 공기 때문에 위치 벡터가 $\text{r}(t)=(3\cos t)\text{i}+(3\sin t)\text{j}+{t}^{2}\text{k}$ 인 경로를 따라 나선을 그리며 위로 올라가고 있다. 이 경로는 나선과 비슷하지만 나선은 아니다. 그래프는 다음과 같다.

다음 양을 구하세요.

속도 벡터와 가속도 벡터

영어 원문 보기

A person on a hang glider is spiraling upward as a result of the rapidly rising air on a path having position vector $\text{r}(t)=(3\cos t)\text{i}+(3\sin t)\text{j}+{t}^{2}\text{k}.$ The path is similar to that of a helix, although it is not a helix. The graph is shown here:

Find the following quantities:

The velocity and acceleration vectors

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 7번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

137.OpenStax 3권 · 3.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

행글라이더를 탄 사람이 빠르게 상승하는 공기의 영향으로, 위치 벡터가 $\text{r}(t)=(3\cos t)\text{i}+(3\sin t)\text{j}+{t}^{2}\text{k}$ 인 경로를 따라 나선을 그리며 위로 올라가고 있습니다. 이 경로는 나선과 비슷하지만 나선은 아닙니다. 그래프는 다음과 같습니다.

다음 양을 구하세요.

임의의 시각에서 글라이더의 속력

영어 원문 보기

A person on a hang glider is spiraling upward as a result of the rapidly rising air on a path having position vector $\text{r}(t)=(3\cos t)\text{i}+(3\sin t)\text{j}+{t}^{2}\text{k}.$ The path is similar to that of a helix, although it is not a helix. The graph is shown here:

Find the following quantities:

The glider’s speed at any time

정답·풀이 보기

$\| \text{v}(t)\| =\sqrt{9+4{t}^{2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\| \text{v}(t)\| =\sqrt{9+4{t}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 11번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

138.OpenStax 3권 · 3.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

발사체를 지면에서 수평면과 60°의 각을 이루도록 초기 속도 500 m/sec로 공중에 쏘았다. 그래프는 다음과 같다.

최대 도달 거리는 얼마입니까?

영어 원문 보기

A projectile is shot in the air from ground level with an initial velocity of 500 m/sec at an angle of 60° with the horizontal. The graph is shown here:

What is the maximum range?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 47번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

139.OpenStax 3권 · 3.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서 가속도의 접선 성분과 법선 성분을 구하세요.

$\text{r}(t)=\langle {e}^{t}\cos t,{e}^{t}\sin t,{e}^{t}\rangle$ . 그래프는 다음과 같습니다.

이 그림은 3차원 공간에 있는 곡선이다. 곡선은 상자 안에 있다. 상자는 한 팔분공간을 나타낸다. 곡선은 상자의 바닥 왼쪽 아래에서 시작하여 상자를 가로질러 휘어지면서 반대편의 왼쪽 위로 이어진다.

영어 원문 보기

For each of the following problems, find the tangential and normal components of acceleration.

$\text{r}(t)=\langle {e}^{t}\cos t,{e}^{t}\sin t,{e}^{t}\rangle .$ The graph is shown here:

정답·풀이 보기

${a}_{T}=\sqrt{3}{e}^{t},$ ${a}_{N}=\sqrt{2}{e}^{t}$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{T}=\sqrt{3}{e}^{t},$ ${a}_{N}=\sqrt{2}{e}^{t}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 29번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

140.OpenStax 3권 · 3장 복습 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 벡터 방정식이 나타내는 곡선의 그래프를 그리세요. 필요하면 계산기를 사용하세요.

[계산기 사용] $\text{r}(t)=\langle {t}^{2},{t}^{3}\rangle$

영어 원문 보기

Sketch the curves for the following vector equations. Use a calculator if needed.

[T] $\text{r}(t)=\langle {t}^{2},{t}^{3}\rangle$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 45번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류