미분 전체 문제

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   평균변화율을 구해요. $f(1)=\tfrac12$, $f(-1)=\tfrac32$ 이므로 $$f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12$$ 이 되는 $c$ 가 있는지 보면 돼요.

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   도함수의 값을 살펴요. $x>\tfrac12$ 에서는 $f(x)=x-\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=1$, $x<\tfrac12$ 에서는 $f(x)=-x+\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=-1$ 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 $1$ 과 $-1$ 뿐이라서 $-\tfrac12$ 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 $c$ 가 없어요.

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   왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. $x=\tfrac12$ 은 구간 $(-1,1)$ 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 $-1$, 우미분계수는 $1$ 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

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   조건을 떠올려요. 평균값 정리는 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능한 함수에만 쓸 수 있어요. 그래서 연속인지 먼저 점검해요.

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   연속인지 살펴요. 분모가 $0$ 이 되는 $x=0$ 에서 함수가 정의되지 않아요. $x=0$ 은 구간 $[-1,1]$ 안에 있으므로 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속이에요. (분자 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 는 $x=0$ 에서 $2$ 라서 약분되지도 않아요. $x\to 0$ 이면 값이 무한히 커져요.)

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   결론을 내려요. 구간 안에 불연속인 점이 있으므로 연속 조건이 깨져서 평균값 정리를 적용할 수 없어요.

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   안쪽 식이 0이 되는 곳을 찾아요. $x^2+2x-4=0$ 을 풀면 $x=-1\pm\sqrt5$, 즉 $x\approx-3.236$ 과 $x\approx1.236$ 이에요. 이 중 $x=-1-\sqrt5\approx-3.236$ 이 구간 $[-4,0]$ 안에 있어요.

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   그곳에서 미분가능한지 봐요. 이 점의 왼쪽에서는 안쪽 식이 양수이고 오른쪽에서는 음수예요. 그래서 $f(x)=|g(x)|$ 의 기울기가 왼쪽에서는 $g'(x)=2x+2\approx-4.47$ , 오른쪽에서는 $-g'(x)\approx+4.47$ 이 되어 서로 달라요. 그래프가 뾰족하게 꺾이는 점이라 이 점에서 미분가능하지 않아요.

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   결론을 내려요. 열린 구간 $(-4,0)$ 안에 미분불가능한 점이 있으므로 평균값 정리의 조건을 만족하지 않아요. 따라서 평균값 정리는 적용되지 않아요.

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   참고로 확인해 봐요. $f(-4)=4$, $f(0)=4$ 이므로 평균변화율은 $0$ 이에요. 실제로 $-3.236<x<1.236$ 에서 $f(x)=-(x^2+2x-4)$ 이므로 $f'(-1)=0$ 인 $c=-1$ 이 있긴 해요. 하지만 이것은 정리가 보장해 준 것이 아니라 우연히 성립하는 것이에요.

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   도함수를 살펴요. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 이에요. 하지만 $x<0$ 과 $x>0$ 모두에서 $f'(x)>0$ 이라 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않아요. 함수가 계속 증가하고 있으므로 $x=0$ 은 극값이 아니에요.

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   이계도함수를 살펴요. $f''(x)=6x$ 는 $x<0$ 에서 음수(위로 볼록), $x>0$ 에서 양수(아래로 볼록)로 부호가 바뀌어요. 그러므로 $x=0$ 은 변곡점이에요.

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   결론을 내려요. $x=0$ 은 변곡점이지만 극댓값·극솟값을 주는 점은 아니에요. 그래서 질문의 답은 '아니요'예요.

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   위로 볼록의 뜻을 떠올려요. 위로 볼록은 $f''<0$ 이라는 뜻이에요. 그래프가 모양만 위로 볼록할 뿐, 높이가 어디에 있는지는 정해 주지 않아요.

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   반례를 찾아요. $y=-x^2-1$ 을 보세요. $y''=-2<0$ 이라 어디서나 위로 볼록이지만, $-x^2-1\le -1<0$ 이라 $x$ 축 아래에만 있어서 $y=0$ 을 지나지 않아요. 또 $y=\sqrt{x}$ 도 $x>0$ 에서 $y''<0$ 으로 위로 볼록이지만 $x>0$ 인 부분에서는 $y>0$ 이라 $y=0$ 을 지나지 않아요.

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   결론을 내려요. 반례가 있으므로 위로 볼록한 함수가 반드시 $y=0$ 을 지나는 것은 아니에요.

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   이계도함수를 구해요. $f'(x)=3x^2-8x+1$ 이고 다시 미분하면 $$f''(x)=6x-8$$

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   $f''=0$ 인 점을 찾아요. $6x-8=0$ 에서 $x=\dfrac43$ 이에요.

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   a: 부호를 구간별로 살펴요. $x>\tfrac43$ 이면 $f''(x)>0$ 이라 아래로 볼록이고, $x<\tfrac43$ 이면 $f''(x)<0$ 이라 위로 볼록이에요.

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   b: 변곡점이에요. $x=\tfrac43$ 의 앞뒤에서 $f''$ 의 부호가 바뀌므로 변곡점이에요. $y$ 좌표는 $f\!\left(\tfrac43\right)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{64}{9}+\tfrac43+2=-\tfrac{38}{27}$ 이므로 변곡점은 $\left(\tfrac43,-\tfrac{38}{27}\right)$ 예요.

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   롤의 정리를 두 번 써 봐요. 근이 $a<b<c$ 이면 $f(a)=f(b)=0$ 이므로 $(a,b)$ 에서 $f'$ 의 근이 하나, $(b,c)$ 에서도 하나 있어요. 이 두 근 사이에 다시 롤의 정리를 쓰면 $f''$ 의 근이 적어도 하나 있어요.

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   삼차함수라면 맞아요. $f$ 가 삼차함수이면 $f''$ 는 일차식이라 근이 정확히 하나이고 그 앞뒤에서 부호가 바뀌어요. 그러므로 변곡점이 정확히 $1$ 개예요. 원본 답의 '참, 도함수를 살펴보세요'는 이 경우를 말해요.

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   일반 함수에서는 틀려요. $f(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)$ 은 근이 $0,\pm1$ 의 3개지만 $f''(x)=12x^2-2$ 의 부호가 $x=\pm\frac{1}{\sqrt6}$ 에서 바뀌어 변곡점이 $2$ 개예요. 또 $\sin x$ 처럼 근이 많은 함수도 있어요. 그래서 함수에 대한 조건 없이는 '변곡점이 정확히 1개'라고 할 수 없어요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 '참'인데, 함수의 종류(삼차함수 등)가 문제에 적혀 있지 않아 일반 함수로는 반례가 있어요. 원문에 '삼차함수'라는 전제가 있었는지 확인이 필요해요.

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   원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$이에요.

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   먼저 넓이의 합을 $x$로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$이므로 원의 둘레는 $L-4x$이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$예요. 그래서 $$A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$$

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   최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.

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   아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.

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   $x=0$이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$이고, $x=\frac{L}{4}$이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$이므로 $A(0)$이 더 커요. 따라서 $x=0$일 때 넓이의 합이 최대예요.

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   왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 $(x,\,5-2x)$ 로 쓸 수 있어서 변수가 $x$ 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.

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   거리의 제곱을 식으로 써요. $$D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$$

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   미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. $$D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2$$

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   최솟값인지 확인해요. $D''(x)=10>0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 $x=2$ 에서 최소예요.

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   점의 좌표를 구해요. $y=5-2\cdot2=1$ 이므로 가장 가까운 점은 $(2,1)$ 이에요.