빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

최댓값·최솟값과 최적화

닫힌 구간의 최대·최소를 구하고, 넓이·비용 같은 문장제의 최적값을 찾는다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

94문제 · 3 / 5쪽

41.OpenStax 1권 · 4.7절 · 44번우리말 번역

다음 그림과 같이 똑같은 우리 다섯 개를 서로 이웃하게 만들려고 하며, 전체 넓이는 $1000{\,\text{m}}^{2}$ 입니다. 울타리의 양을 최소로 하려면 어떤 치수로 만들어야 합니까?

직사각형이 다섯 개의 구역으로 나뉘어 있고, 각 구역의 길이는 y, 너비는 x이다.

영어 원문 보기

You are building five identical pens adjacent to each other with a total area of $1000{\,\text{m}}^{2},$ as shown in the following figure. What dimensions should you use to minimize the amount of fencing?

A rectangle is divided into five sections, and each section has length y and width x.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 15번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

42.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 1번우리말 번역

$f(-1)=-6$ 이고 $f(1)=2$ 이면, ${f}^{'}(x)=4$ 인 점 $x\in [-1,1]$ 이 적어도 하나 존재한다.

영어 원문 보기

If $f(-1)=-6$ and $f(1)=2,$ then there exists at least one point $x\in [-1,1]$ such that ${f}^{'}(x)=4.$

정답·풀이 보기

참, 평균값 정리에 의해

원본 교재 풀이(영어)

True, by Mean Value Theorem

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 23번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

43.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 2번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요. 달리 언급하지 않는 한 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다고 가정하세요.

${f}^{'}(c)=0$ 이면, $x=c$ 에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume that $f(x)$ is continuous and differentiable unless stated otherwise.

If ${f}^{'}(c)=0,$ there is a maximum or minimum at $x=c.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

44.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 3번우리말 번역

$f(x)<0,{f}^{'}(x)>0$ , 그리고 ${f}^{''}(x)<0$ 을 만족하는 함수가 존재한다. (이 답에는 그래프를 이용한 "증명"도 허용된다.)

영어 원문 보기

There is a function such that $f(x)<0,{f}^{'}(x)>0,$ and ${f}^{''}(x)<0.$ (A graphical “proof” is acceptable for this answer.)

정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

True

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

45.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 4번우리말 번역

어떤 값 $x=a$ 에서 변곡점과 임계점이 모두 존재하는 함수가 있다.

영어 원문 보기

There is a function such that there is both an inflection point and a critical point for some value $x=a.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

46.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 5번우리말 번역

${f}^{'}$ 의 그래프가 주어졌을 때, $f$ 가 어디에서 증가하고 어디에서 감소하는지 판단하세요.

함수는 증가하여 −2에서 x축을 지나고, 극대에 이른 뒤 감소하여 원점을 지나며, 극소에 이른 뒤 증가하여 2에서 극대에 이르고, 감소하여 극소에 이른 뒤 다시 증가하여 4에서 x축을 지나 계속 증가한다.

영어 원문 보기

Given the graph of ${f}^{'},$ determine where $f$ is increasing or decreasing.

The function increases to cross the x-axis at −2, reaches a maximum and then decreases through the origin, reaches a minimum and then increases to a maximum at 2, decreases to a minimum and then increases to pass through the x-axis at 4 and continues increasing.

정답·풀이 보기

증가: $(-2,0)\cup (4,\infty )$ , 감소: $(-\infty ,-2)\cup (0,4)$

원본 교재 풀이(영어)

Increasing: $(-2,0)\cup (4,\infty ),$ decreasing: $(-\infty ,-2)\cup (0,4)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

47.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 6번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명 또는 반례로 답을 정당화하세요. 달리 언급하지 않는 한 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다고 가정하세요.

아래에 $f$ 의 그래프가 주어져 있습니다. ${f}^{'}$ 의 그래프를 그리세요.

함수는 급격히 감소하여 −2에서 극솟값에 이르고, 이후 증가하여 0에서 극댓값에 이른다. 그 지점에서 처음에는 천천히 감소하다가 1 근처에서 감소가 멈추고, 다시 계속 감소하여 3에서 극솟값에 이르며, 그 뒤 급격히 증가한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume that $f(x)$ is continuous and differentiable unless stated otherwise.

The graph of $f$ is given below. Draw ${f}^{'}.$

The function decreases rapidly and reaches a local minimum at −2, then it increases to reach a local maximum at 0, at which point it decreases slowly at first, then stops decreasing near 1, then continues decreasing to reach a minimum at 3, and then increases rapidly.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 4번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

48.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 7번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명 또는 반례로 답을 정당화하세요. 달리 언급하지 않는 한 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다고 가정하세요.

$x=\frac{1}{4}$ 근처에서 $y={x}^{2}+\tan (\pi x)$ 의 선형 근사 $L(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume that $f(x)$ is continuous and differentiable unless stated otherwise.

Find the linear approximation $L(x)$ to $y={x}^{2}+\tan (\pi x)$ near $x=\frac{1}{4}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$L(x)=\frac{17}{16}+\frac{1}{2}(1+4\pi )\left(x-\frac{1}{4}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$L(x)=\frac{17}{16}+\frac{1}{2}(1+4\pi )\left(x-\frac{1}{4}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 39번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

49.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 8번우리말 번역

$y={x}^{2}-5x-6$ 의 미분을 구하고, $x=2$ , $dx=0.1$ 일 때의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the differential of $y={x}^{2}-5x-6$ and evaluate for $x=2$ with $dx=0.1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 27번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

50.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 9번우리말 번역

주어진 구간에서 다음 함수의 임계점과 극값, 그리고 최댓값과 최솟값을 구하세요.

구간 $[0,\pi ]$ 에서 $f(x)=x+{\sin }^{2}(x)$

영어 원문 보기

Find the critical points and the local and absolute extrema of the following functions on the given interval.

$f(x)=x+{\sin }^{2}(x)$ over $[0,\pi ]$

정답·풀이 보기

임계점: $x=\frac{3\pi }{4}$ , 최솟값: $x=0$ , 최댓값: $x=\pi$

원본 교재 풀이(영어)

Critical point: $x=\frac{3\pi }{4},$ absolute minimum: $x=0,$ absolute maximum: $x=\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 7번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

51.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 10번우리말 번역

주어진 구간에서 다음 함수의 임계점과 극값, 그리고 최댓값과 최솟값을 구하세요.

구간 $[-3,3]$ 에서 $f(x)=3{x}^{4}-4{x}^{3}-12{x}^{2}+6$

영어 원문 보기

Find the critical points and the local and absolute extrema of the following functions on the given interval.

$f(x)=3{x}^{4}-4{x}^{3}-12{x}^{2}+6$ over $[-3,3]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 4번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

52.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 11번우리말 번역

다음 함수가 증가, 감소, 아래로 볼록, 위로 볼록인 구간을 각각 구하세요.

$x(t)=3{t}^{4}-8{t}^{3}-18{t}^{2}$

영어 원문 보기

Determine over which intervals the following functions are increasing, decreasing, concave up, and concave down.

$x(t)=3{t}^{4}-8{t}^{3}-18{t}^{2}$

정답·풀이 보기

증가: $(-1,0)\cup (3,\infty )$ , 감소: $(-\infty ,-1)\cup (0,3)$ , 아래로 볼록: $\left(-\infty ,\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right)\right)\cup \left(\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right),\infty \right)$ , 위로 볼록: $\left(\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right),\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right)\right)$

원본 교재 풀이(영어)

Increasing: $(-1,0)\cup (3,\infty ),$ decreasing: $(-\infty ,-1)\cup (0,3),$ concave up: $\left(-\infty ,\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right)\right)\cup \left(\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right),\infty \right),$ concave down: $\left(\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right),\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right)\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 17번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

53.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 12번우리말 번역

다음 함수가 증가, 감소, 아래로 볼록, 위로 볼록인 구간을 각각 구하세요.

$y=x+\sin (\pi x)$

영어 원문 보기

Determine over which intervals the following functions are increasing, decreasing, concave up, and concave down.

$y=x+\sin (\pi x)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 27번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

54.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 13번우리말 번역

다음 함수가 증가, 감소, 아래로 볼록, 위로 볼록인 구간을 각각 구하세요.

$g(x)=x-\sqrt{x}$

영어 원문 보기

Determine over which intervals the following functions are increasing, decreasing, concave up, and concave down.

$g(x)=x-\sqrt{x}$

정답·풀이 보기

증가: $\left(\frac{1}{4},\infty \right)$ , 감소: $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ , 아래로 볼록: $(0,\infty )$ , 위로 볼록: 해당하는 구간 없음

원본 교재 풀이(영어)

Increasing: $\left(\frac{1}{4},\infty \right),$ decreasing: $\left(0,\frac{1}{4}\right),$ concave up: $(0,\infty ),$ concave down: nowhere

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

55.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 14번우리말 번역

다음 함수가 증가, 감소, 아래로 볼록, 위로 볼록인 구간을 각각 구하세요.

$f(\theta )=\sin (3\theta )$

영어 원문 보기

Determine over which intervals the following functions are increasing, decreasing, concave up, and concave down.

$f(\theta )=\sin (3\theta )$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

56.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 15번우리말 번역

다음 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\frac{3x\sqrt{{x}^{2}+1}}{\sqrt{{x}^{4}-1}}$

영어 원문 보기

Evaluate the following limits.

$\lim_{x\to \infty }\frac{3x\sqrt{{x}^{2}+1}}{\sqrt{{x}^{4}-1}}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$3$

원본 교재 풀이(영어)

$3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 29번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

57.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 16번우리말 번역

다음 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\cos \left(\frac{1}{x}\right)$

영어 원문 보기

Evaluate the following limits.

$\lim_{x\to \infty }\cos \left(\frac{1}{x}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

58.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 17번우리말 번역

다음 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{\sin (\pi x)}$

영어 원문 보기

Evaluate the following limits.

$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{\sin (\pi x)}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{\pi }$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{\pi }$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 15번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

59.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 18번우리말 번역

다음 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }{(3x)}^{1/x}$

영어 원문 보기

Evaluate the following limits.

$\lim_{x\to \infty }{(3x)}^{1/x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.6절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

60.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 19번우리말 번역

뉴턴의 방법을 사용하여, 주어진 시작점에서 처음 두 번의 반복값을 구하세요.

$y={x}^{3}+1,{x}_{0}=0.5$

영어 원문 보기

Use Newton’s method to find the first two iterations, given the starting point.

$y={x}^{3}+1,{x}_{0}=0.5$

정답·풀이 보기

${x}_{1}=-1,{x}_{2}=-1$

원본 교재 풀이(영어)

${x}_{1}=-1,{x}_{2}=-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 13번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류