최댓값·최솟값과 최적화 연습문제

61.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 20번우리말 번역

뉴턴의 방법을 사용하여, 주어진 시작점에서 처음 두 번의 반복값을 구하세요.

$y=\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2},{x}_{0}=0$

영어 원문 보기

Use Newton’s method to find the first two iterations, given the starting point.

$y=\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2},{x}_{0}=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

62.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 21번우리말 번역

다음 함수의 원시함수 $F(x)$ 를 구하세요.

$g(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$

영어 원문 보기

Find the antiderivatives $F(x)$ of the following functions.

$g(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$F(x)=\frac{2{x}^{3/2}}{3}+\frac{1}{x}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=\frac{2{x}^{3/2}}{3}+\frac{1}{x}+C$

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# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

63.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 22번우리말 번역

다음 함수의 원시함수 $F(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=2x+6\cos x,F(\pi )={\pi }^{2}+2$

영어 원문 보기

Find the antiderivatives $F(x)$ of the following functions.

$f(x)=2x+6\cos x,F(\pi )={\pi }^{2}+2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

64.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 23번우리말 번역

다음 함수의 그래프를 손으로 그리세요. 변곡점, 임계점, 영점, 점근선을 반드시 표시하세요.

$y=\frac{1}{x{(x+1)}^{2}}$

영어 원문 보기

Graph the following functions by hand. Make sure to label the inflection points, critical points, zeros, and asymptotes.

$y=\frac{1}{x{(x+1)}^{2}}$

정답·풀이 보기

이 그래프는 x = 0 과 x = −1 에서 수직 점근선을 가진다. 함수의 첫째 부분은 제3사분면에 있으며 수평 점근선 y = 0 을 가진다. 함수는 (−5, 0) 근처에서 수직 점근선 (−1, ∞) 근처까지 빠르게 감소한다. 이 점근선의 반대쪽에서 함수는 x = −1 과 x = 0 사이의 제3사분면에서 아래로 뾰족한 대략 U자 모양이며, 최댓값은 (−0.4, −6) 근처에서 갖는다. x = 0 점근선의 반대쪽에서 함수는 수직 점근선 근처인 (0, ∞) 부근에서 감소하여 수평 점근선 y = 0 에 가까워진다.

변곡점: 없음; 임계점: $x=-\frac{1}{3}$ ; 영점: 없음; 수직 점근선: $x=-1,$ $x=0$ ; 수평 점근선: $y=0$

원본 교재 풀이(영어)

Inflection points: none; critical points: $x=-\frac{1}{3};$ zeros: none; vertical asymptotes: $x=-1,$ $x=0;$ horizontal asymptote: $y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 21번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

65.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 24번우리말 번역

다음 함수의 그래프를 손으로 그리세요. 변곡점, 임계점, 영점, 점근선을 반드시 표시하세요.

$y=x-\sqrt{4-{x}^{2}}$

영어 원문 보기

Graph the following functions by hand. Make sure to label the inflection points, critical points, zeros, and asymptotes.

$y=x-\sqrt{4-{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

66.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 25번우리말 번역

자동차를 직육면체 모양으로 압축하고 있다. 부피는 $2$ m³/sec 의 비율로 감소하고 있다. 압축기의 가로와 세로는 정사각형이지만, 높이는 가로, 세로와 길이가 같지 않다. 가로와 세로의 벽이 $0.25$ m/sec 의 속도로 서로를 향해 움직일 때, 가로와 세로가 $2$ m 이고 높이가 $1.5$ m 인 순간에 높이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

A car is being compacted into a rectangular solid. The volume is decreasing at a rate of $2$ m³/sec. The length and width of the compactor are square, but the height is not the same length as the length and width. If the length and width walls move toward each other at a rate of $0.25$ m/sec, find the rate at which the height is changing when the length and width are $2$ m and the height is $1.5$ m.

정답·풀이 보기

높이는 $0.125$ m/sec 의 비율로 감소하고 있다

원본 교재 풀이(영어)

The height is decreasing at a rate of $0.125$ m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 23번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

67.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 26번우리말 번역

로켓이 우주로 발사됩니다. 로켓의 운동 에너지는 $K(t)=\left(\frac{1}{2}\right)m(t)v{(t)}^{2}$ 으로 주어집니다. 여기서 $K$ 는 운동 에너지(단위: 줄), $m$ 은 로켓의 질량(단위: 킬로그램), $v$ 는 로켓의 속도(단위: 미터/초)입니다. 속도는 $15$ m/sec² 의 비율로 증가하고, 연료가 연소되므로 질량은 $10$ kg/sec 의 비율로 감소한다고 가정합니다. 질량이 $2000$ kg 이고 속도가 $5000$ m/sec 일 때, 로켓의 운동 에너지는 어떤 비율로 변하는지 구하세요. 답은 메가줄/초(MJ/s)로 나타내세요. 이는 ${10}^{6}$ J/s 와 같습니다.

영어 원문 보기

A rocket is launched into space; its kinetic energy is given by $K(t)=\left(\frac{1}{2}\right)m(t)v{(t)}^{2},$ where $K$ is the kinetic energy in joules, $m$ is the mass of the rocket in kilograms, and $v$ is the velocity of the rocket in meters/second. Assume the velocity is increasing at a rate of $15$ m/sec² and the mass is decreasing at a rate of $10$ kg/sec because the fuel is being burned. At what rate is the rocket’s kinetic energy changing when the mass is $2000$ kg and the velocity is $5000$ m/sec? Give your answer in mega-Joules per second (MJ/s), which is equivalent to ${10}^{6}$ J/s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

68.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 27번우리말 번역

각의 최대화에 관한 유명한 레기오몬타누스의 문제는 15세기에 제기되었습니다. 어떤 그림이 벽에 걸려 있는데, 그림의 아랫부분은 눈높이보다 $a$ 피트 위에 있고, 윗부분은 눈높이보다 $b$ 피트 위에 있습니다. 그림이 이루는 각 $\theta$ 가 최대가 되려면, 보는 사람은 벽에서 몇 피트( $x$ ) 떨어진 곳에 서야 하는지 구하세요.

눈높이를 나타내는 점이 하나 표시되어 있고, 이 점에서 직각삼각형이 하나 만들어진다. 이 직각삼각형에서 이웃한 변의 길이는 x이고, 마주 보는 변의 길이는 a이며, a는 그림의 아랫부분에서 눈높이까지의 길이이다. 눈높이를 나타내는 같은 점에서 두 번째 직각삼각형이 만들어지는데, 이 삼각형에서 이웃한 변은 x이고 다른 변의 길이는 b이며, b는 그림의 높이이다. 두 빗변 사이의 각이 θ로 표시되어 있다.

영어 원문 보기

The famous Regiomontanus’ problem for angle maximization was proposed during the 15th century. A painting hangs on a wall with the bottom of the painting a distance $a$ feet above eye level, and the top $b$ feet above eye level. What distance $x$ (in feet) from the wall should the viewer stand to maximize the angle subtended by the painting, $\theta ?$

답 쓰고 채점

피트

정답·풀이 보기

$x=\sqrt{ab}$ 피트

원본 교재 풀이(영어)

$x=\sqrt{ab}$ feet

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

69.APEX · 4.3절 · 1번우리말 번역

참/거짓: "최적화 문제"는 본질적으로 "이야기 문제" 형태로 나타낸 "극값" 문제이다.

영어 원문 보기

T/F: An “optimization problem” is essentially an “extreme values” problem in a “story problem” setting.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 16번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

70.APEX · 4.3절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 이 절에서는 변수가 둘 이상인 함수의 극값을 구하는 방법을 배운다.

영어 원문 보기

T/F: This section teaches one to find the extreme values of a function that has more than one variable.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 1번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

71.APEX · 4.3절 · 3번우리말 번역

합이 100인 두 수(정수일 필요는 없다)의 곱의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum product of two numbers (not necessarily integers) that have a sum of 100.

정답·풀이 보기

2500이다. 두 수는 각각 50이다.

원본 교재 풀이(영어)

2500; the two numbers are each 50.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 2번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

72.APEX · 4.3절 · 4번우리말 번역

곱이 500인 두 양수의 합의 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum sum of two positive numbers whose product is 500.

정답·풀이 보기

합의 최솟값은 $2\sqrt{500}$ 이다. 두 수는 각각 $\sqrt{500}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The minimum sum is $2\sqrt{500}$ ; the two numbers are each $\sqrt{500}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

73.APEX · 4.3절 · 5번우리말 번역

곱이 500인 두 양수의 합의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum sum of two positive numbers whose product is 500.

정답·풀이 보기

합의 최댓값은 존재하지 않는다. 기본 방정식은 임계값이 1개뿐이며, 이 값은 최솟값에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

There is no maximum sum; the fundamental equation has only 1 critical value that corresponds to a minimum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 4번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

74.APEX · 4.3절 · 6번우리말 번역

각각 $[0,300]$ 에 속하고 곱이 500인 두 수의 합의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum sum of two numbers, each of which is in $[0,300]$ whose product is 500.

정답·풀이 보기

기본 방정식의 유일한 임계점은 최솟값에 해당한다. 최댓값을 구하려면 끝점을 확인한다.

한 수가 300이면 다른 수 $y$ 는 $300y = 500$ 을 만족하므로 $y = 5/3$ 이다. 따라서 합은 $300+5/3$ 이다.

다른 끝점인 0은 $0\cdot y = 500$ 을 $y$ 에 대해 풀 수 없으므로 가능하지 않다. 실제로 $0<x<5/3$ 이면 $x\cdot y = 500$ 에서 $y>300$ 이 되어야 하는데, 이는 가능한 해가 아니다.

따라서 합의 최댓값은 $301.\overline{6}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The only critical point of the fundamental equation corresponds to a minimum; to find maximum, we check the endpoints.

If one number is 300, the other number $y$ satisfies $300y = 500$ ; $y = 5/3$ . Thus the sum is $300+5/3$ .

The other endpoint, 0, is not feasible as we cannot solve $0\cdot y = 500$ for $y$ . In fact, if $0<x<5/3$ , then $x\cdot y = 500$ forces $y>300$ , which is not a feasible solution.

Hence the maximum sum is $301.\overline{6}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

75.APEX · 4.3절 · 7번우리말 번역

빗변의 길이가 1인 직각삼각형의 넓이의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximal area of a right triangle with hypotenuse of length 1.

정답·풀이 보기

넓이 = 1/4, 이때 두 변의 길이는 $1/\sqrt{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Area = 1/4, with sides of length $1/\sqrt{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 6번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

76.APEX · 4.3절 · 9번우리말 번역

일반적인 음료수 캔은 대략 원기둥 모양이고 액체 355cm $^3$ 가 들어간다. 캔을 만드는 데 필요한 재료를 최소로 하려면 원기둥의 치수를 어떻게 해야 하는지 구하세요. 구한 치수를 바탕으로, 일반적인 캔이 재료비를 최소로 하도록 만들어졌는지 판단하세요.

영어 원문 보기

A standard soda can is roughly cylindrical and holds 355cm $^3$ of liquid. What dimensions should the cylinder be to minimize the material needed to produce the can? Based on your dimensions, determine whether or not the standard can is produced to minimize the material costs.

정답·풀이 보기

반지름은 약 $3.84$ cm이고 높이는 $2r=7.67$ cm이어야 한다. 아니다. 이것은 일반적인 캔의 크기가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

The radius should be about $3.84$ cm and the height should be $2r=7.67$ cm. No, this is not the size of the standard can.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 10번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

77.APEX · 4.3절 · 10번우리말 번역

부피가 206인치 $^3$ 인 원기둥 모양 캔 중에서 겉넓이가 최소가 되는 캔의 치수를 구하세요.

“#10 캔”은 식당 업계에서 쓰는 표준 크기의 캔으로, 약 206인치 $^3$ 를 담을 수 있으며 지름은 6 2/16인치, 높이는 7인치이다. 이 치수는 최소화를 염두에 두고 정해진 것으로 보이나요?

영어 원문 보기

Find the dimensions of a cylindrical can with a volume of 206in $^3$ that minimizes the surface area.

The “#10 can”is a standard sized can used by the restaurant industry that holds about 206in $^3$ with a diameter of 6 2/16in and height of 7in. Does it seem these dimensions were chosen with minimization in mind?

정답·풀이 보기

반지름은 약 $3.2$ 인치이고 높이는 $2r=6.4$ 인치이어야 한다. #10 캔은 (쌓기 쉽도록 여분의 재료를 쓰는 등) 완전한 원기둥이 아니므로, 그 치수는 겉넓이를 최소화하는 것이 고려되었다고 가정할 만큼 충분히 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

The radius should be about $3.2$ in and the height should be $2r=6.4$ in. As the #10 is not a perfect cylinder (with extra material to aid in stacking, etc.), the dimensions are close enough to assume that minimizing surface area was a consideration.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

78.APEX · 4.3절 · 11번우리말 번역

미국 우정청(United States Postal Service)은 길이와 둘레(girth)의 합이 108”를 초과하는 상자에 더 많은 요금을 부과합니다(소포의 "길이"는 가장 긴 변의 길이이고, 거스는 단면의 둘레, 즉 $2w+2h$ 입니다).

단면이 정사각형( $w=h$ )이고 108” 기준을 넘지 않는 소포의 최대 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

The United States Postal Service charges more for boxes whose combined length and girth exceeds 108” (the “length” of a package is the length of its longest side; the girth is the perimeter of the cross section, i.e., $2w+2h$ ).

What is the maximum volume of a package with a square cross section ( $w=h$ ) that does not exceed the 108” standard?

정답·풀이 보기

높이와 너비는 $18$ , 길이는 $36$ 이어야 하며, 이때 부피는 $11,664$ in $^3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The height and width should be $18$ and the length should be $36$ , giving a volume of $11,664$ in $^3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

79.APEX · 4.3절 · 16번우리말 번역

한 여인이 개가 물어 오도록 호수에 막대기를 던졌다. 막대기는 기슭을 따라 15 피트 떨어진 곳에서 물 쪽으로 30 피트 들어간 지점에 있다. 개는 곧바로 물에 뛰어들어 헤엄칠 수도 있고, 기슭을 따라 달려 막대기에 더 가까워진 다음 헤엄칠 수도 있다. 개는 약 22ft/s 로 달리고 약 1.5ft/s 로 헤엄친다.

막대기에 도달하는 데 걸리는 시간을 최소로 하려면 개는 기슭을 따라 얼마나 달려야 하는지 구하세요? * (개가 시간을 최소로 하는 능력에 대해 더 알아보려면 구글에서 “미적분 개”를 검색해 보세요.)*

영어 원문 보기

A woman throws a stick into a lake for her dog to fetch; the stick is 15 feet down the shore line and 30 feet into the water from there. The dog may jump directly into the water and swim, or run along the shore line to get closer to the stick before swimming. The dog runs about 22ft/s and swims about 1.5ft/s.

How far along the shore should the dog run to minimize the time it takes to get to the stick? * (Google “calculus dog” to learn more about a dog's ability to minimize times.)*

정답·풀이 보기

개는 헤엄을 치기 시작하기 전에 기슭을 따라 약 13 피트를 달려야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

The dog should run about 13 feet along the shore before starting to swim.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 17번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

80.APEX · 4.3절 · 17번우리말 번역

단위원 안에 그릴 수 있는 직사각형 중에서 넓이가 가장 큰 직사각형의 가로와 세로의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

What are the dimensions of the rectangle with largest area that can be drawn inside the unit circle?

정답·풀이 보기

넓이의 최댓값은 2이며, 변의 길이가 $\sqrt{2}$ 인 정사각형일 때이다.