빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 있음을 이용해 값을 구하거나 보인다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

85문제 · 2 / 5쪽

21.OpenStax 1권 · 4.4절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0) 을 만족하는, 평균값 정리가 보장하는 모든 점 0<c<20<c<2 를 구하세요.

f(x)=(x−1)10f(x)={(x-1)}^{10}

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points 0<c<20<c<2 predicted by the Mean Value Theorem satisfying f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0).

f(x)=(x−1)10f(x)={(x-1)}^{10}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

c=1c=1

원본 교재 풀이(영어)

c=1c=1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 46번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
22.OpenStax 1권 · 4.4절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0) 을 만족하는, 평균값 정리가 보장하는 모든 점 0<c<20<c<2 를 구하세요.

f(x)=(x−1)9f(x)={(x-1)}^{9}

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points 0<c<20<c<2 predicted by the Mean Value Theorem satisfying f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0).

f(x)=(x−1)9f(x)={(x-1)}^{9}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 9번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
23.OpenStax 1권 · 4.4절 · 21번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(1)−f(−1)=f′(c)(2)f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2) 를 만족하는 cc 가 존재하지 않음을 보이세요. 구간 [−1,1][-1,1] 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{{x}^{2}}

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no cc such that f(1)−f(−1)=f′(c)(2).f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2). Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval [−1,1].[-1,1].

f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{{x}^{2}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 22번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
24.OpenStax 1권 · 4.4절 · 22번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(1)−f(−1)=f′(c)(2)f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2) 를 만족하는 cc 가 존재하지 않음을 보이세요. 구간 [−1,1][-1,1] 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no cc such that f(1)−f(−1)=f′(c)(2).f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2). Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval [−1,1].[-1,1].

f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}

정답·풀이 보기

미분가능하지 않다

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 24번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
25.OpenStax 1권 · 4.4절 · 23번우리말 번역

f(x)=⌊x⌋f(x)=\lfloor x\rfloor (힌트: 이것을 바닥 함수라고 하며, f(x)f(x) 는 x.)x.) 보다 작거나 같은 가장 큰 정수가 되도록 정의된다.

영어 원문 보기

f(x)=⌊x⌋f(x)=\lfloor x\rfloor (Hint: This is called the floor function and it is defined so that f(x)f(x) is the largest integer less than or equal to x.)x.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 8번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
26.OpenStax 1권 · 4.4절 · 24번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 함수에 평균값 정리가 적용되는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

y=exy={e}^{x} ([0,1][0,1] 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

y=exy={e}^{x} over [0,1][0,1]

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 26번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
27.OpenStax 1권 · 4.4절 · 25번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 [−32,0]\left[-\frac{3}{2},0\right] 에서 y=ln⁡(2x+3)y=\ln (2x+3)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

y=ln⁡(2x+3)y=\ln (2x+3) over [−32,0]\left[-\frac{3}{2},0\right]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 6번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
28.OpenStax 1권 · 4.4절 · 26번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 [0,2][0,2] 에서 함수 f(x)=tan⁡(2πx)f(x)=\tan (2\pi x)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

f(x)=tan⁡(2πx)f(x)=\tan (2\pi x) over [0,2][0,2]

정답·풀이 보기

함수가 x=14,34,54,74x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4} 에서 불연속이므로 평균값 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply since the function is discontinuous at x=14,34,54,74.x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 28번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
29.OpenStax 1권 · 4.4절 · 27번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 [−3,3][-3,3] 에서 y=9−x2y=\sqrt{9-{x}^{2}}

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

y=9−x2y=\sqrt{9-{x}^{2}} over [−3,3][-3,3]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 4번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
30.OpenStax 1권 · 4.4절 · 28번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 [0,3][0,3] 에서 y=1∣x+1∣y=\frac{1}{|x+1|}

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

y=1∣x+1∣y=\frac{1}{|x+1|} over [0,3][0,3]

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 11번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
31.OpenStax 1권 · 4.4절 · 29번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 각 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 [0,6][0,6] 에서 y=x3+2x+1y={x}^{3}+2x+1

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

y=x3+2x+1y={x}^{3}+2x+1 over [0,6][0,6]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
32.OpenStax 1권 · 4.4절 · 31번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

y=xsin⁡(πx)+1y=\frac{x}{\sin (\pi x)+1} ([0,1][0,1] 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

y=xsin⁡(πx)+1y=\frac{x}{\sin (\pi x)+1} over [0,1][0,1]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
33.OpenStax 1권 · 4.4절 · 32번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

y=ln⁡(x+1)y=\ln (x+1) ([0,e−1][0,e-1] 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

y=ln⁡(x+1)y=\ln (x+1) over [0,e−1][0,e-1]

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 19번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
34.OpenStax 1권 · 4.4절 · 33번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

y=xsin⁡(πx)y=x\sin (\pi x) ([0,2][0,2] 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

y=xsin⁡(πx)y=x\sin (\pi x) over [0,2][0,2]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 10번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
35.OpenStax 1권 · 4.4절 · 34번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

y=5+∣x∣y=5+|x| ([−1,1][-1,1] 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval [a,b].[a,b]. Justify your answer.

y=5+∣x∣y=5+|x| over [−1,1][-1,1]

정답·풀이 보기

평균값 정리를 적용할 수 없다. x=0x=0 에서 미분가능하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply; not differentiable at x=0.x=0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 16번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
36.OpenStax 1권 · 4.4절 · 35번우리말 번역

방정식 y=x3+4x+16y={x}^{3}+4x+16 이 실근을 정확히 하나만 가짐을 보이세요. 그 실근은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

Show that the equation y=x3+4x+16y={x}^{3}+4x+16 has exactly one real root. What is it?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 28번
# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
37.OpenStax 1권 · 4.4절 · 36번우리말 번역

방정식 y=x2+bx+cy={x}^{2}+bx+c 가 근을 정확히 하나(중근) 가지기 위한 조건을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the conditions for exactly one root (double root) for the equation y=x2+bx+cy={x}^{2}+bx+c

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

b=±2cb=\pm 2\sqrt{c}

원본 교재 풀이(영어)

b=±2cb=\pm 2\sqrt{c}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 14번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
38.OpenStax 1권 · 4.4절 · 37번우리말 번역

y=ex−by={e}^{x}-b 가 하나의 근을 갖기 위한 조건을 구하세요. 근이 둘 이상일 수 있나요?

영어 원문 보기

Find the conditions for y=ex−by={e}^{x}-b to have one root. Is it possible to have more than one root?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 24번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
39.OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 [a,b][a,b] 에서 함수의 그래프를 그리고 aa 에서 bb 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 cc 의 값을 모두 어림하세요. 그런 다음 가능하면 cc 의 정확한 값을 구하고, 그렇지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 [−14,14]\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right] 에서 y=tan⁡(πx)y=\tan (\pi x)

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval [a,b][a,b] and graph the secant line from aa to b.b. Use the calculator to estimate all values of cc as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of c,c, if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] y=tan⁡(πx)y=\tan (\pi x) over [−14,14]\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

c=±1πcos⁡−1(π2),c=\pm \frac{1}{\pi }{\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right), c=±0.1533c=\pm 0.1533

원본 교재 풀이(영어)

c=±1πcos⁡−1(π2),c=\pm \frac{1}{\pi }{\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right), c=±0.1533c=\pm 0.1533

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 13번
# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
40.OpenStax 1권 · 4.4절 · 39번우리말 번역

다음 연습문제에서는 계산기를 사용하여 구간 [a,b][a,b] 에서 함수의 그래프를 그리고, aa 에서 bb 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 cc 의 값을 모두 어림하세요. 그런 다음 가능하면 cc 의 정확한 값을 구하고, 불가능하면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 [0,3][0,3] 에서 y=1x+1y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval [a,b][a,b] and graph the secant line from aa to b.b. Use the calculator to estimate all values of cc as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of c,c, if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] y=1x+1y=\frac{1}{\sqrt{x+1}} over [0,3][0,3]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번
# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)