롤의 정리와 평균값 정리 연습문제

41.OpenStax 1권 · 4.4절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 $c$ 의 모든 값을 어림하세요. 그런 다음, 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 그렇지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 소수 넷째 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $\left[\frac{1}{2},4\right]$ 에서 $y=x+\frac{1}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=x+\frac{1}{x}$ over $\left[\frac{1}{2},4\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

42.OpenStax 1권 · 4.4절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 모든 $c$ 의 값을 어림하세요. 그런 다음, 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 가능하지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] $[3,8]$ 에서 $y=\sqrt{x+1}+\frac{1}{{x}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=\sqrt{x+1}+\frac{1}{{x}^{2}}$ over $[3,8]$

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2\sqrt{c+1}}-\frac{2}{{c}^{3}}=\frac{521}{2880};$ $c=3.133,5.867$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{c+1}}-\frac{2}{{c}^{3}}=\frac{521}{2880};$ $c=3.133,5.867$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 12번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

43.OpenStax 1권 · 4.4절 · 43번우리말 번역

오전 10시 17분에 고속도로에 정차해 있는 경찰차를 55 mph로 지나친다. 오전 10시 53분에 두 번째 경찰차를 55 mph로 지나치는데, 이 경찰차는 첫 번째 경찰차로부터 39 mi 떨어져 있다. 제한 속력이 60 mph라면, 경찰이 과속으로 단속할 수 있는가?

영어 원문 보기

At 10:17 a.m., you pass a police car at 55 mph that is stopped on the freeway. You pass a second police car at 55 mph at 10:53 a.m., which is located 39 mi from the first police car. If the speed limit is 60 mph, can the police cite you for speeding?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리활용자동 분류

44.OpenStax 1권 · 4.4절 · 44번우리말 번역

두 자동차가 한 신호등에서 다음 신호등까지 같은 시각에 출발하여 같은 시각에 도착한다. 두 자동차가 같은 속력으로 달리는 순간이 있는가? 증명하거나 반증하세요.

영어 원문 보기

Two cars drive from one stoplight to the next, leaving at the same time and arriving at the same time. Is there ever a time when they are going the same speed? Prove or disprove.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 42번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

45.OpenStax 1권 · 4.4절 · 45번우리말 번역

$y={\sec }^{2}x$ 와 $y={\tan }^{2}x$ 의 도함수가 서로 같음을 보이세요. $y={\sec }^{2}x-{\tan }^{2}x?$ 에 대해 어떤 사실을 말할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Show that $y={\sec }^{2}x$ and $y={\tan }^{2}x$ have the same derivative. What can you say about $y={\sec }^{2}x-{\tan }^{2}x?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 4번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

46.OpenStax 1권 · 4.4절 · 46번우리말 번역

$y={\csc }^{2}x$ 와 $y={\cot }^{2}x$ 의 도함수가 서로 같음을 보이세요. $y={\csc }^{2}x-{\cot }^{2}x?$ 에 대해 어떤 사실을 말할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Show that $y={\csc }^{2}x$ and $y={\cot }^{2}x$ have the same derivative. What can you say about $y={\csc }^{2}x-{\cot }^{2}x?$

정답·풀이 보기

시각 $t$ 에서 자동차 1이 신호등 1로부터 떨어진 거리를 ${s}_{1}(t)$ 라 하자. 시각 $t$ 에서 자동차 2가 신호등 1로부터 떨어진 거리를 ${s}_{2}(t)$ 라 하자. 그러면 ${s}_{1}(0)=0={s}_{2}(0)$ 이다. 두 자동차가 신호등 2에 도착하는 시각을 $t=m$ 이라 하자. 그러면 ${s}_{1}(m)=d={s}_{2}(m)$ 이다. 여기서 $d$ 는 두 신호등 사이의 거리이다.

새로운 함수를 $f(t)={s}_{1}(t)-{s}_{2}(t)$ 로 정의하자. 그러면 $f(0)=0=f(m)$ 이다. 평균값 정리에 의해 $0<c<m$ 인 시각 $c$ 가 존재하여

${f}^{'}(c)=\frac{f(m)-f(0)}{m-0}=\frac{0}{m}=0.$

시각 c에서

${f}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)-{s}_{2}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)={s}_{2}^{'}(c)$

따라서 시각 c에서 자동차 1과 자동차 2는 같은 속력으로 달리고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ${s}_{1}(t)$ represent the distance of Car 1 from Stoplight 1 at time $t$ . Let ${s}_{2}(t)$ represent the distance of Car 2 from Stoplight 1 at time $t$ . Then ${s}_{1}(0)=0={s}_{2}(0)$ . Let $t=m$ represent the time that the cars arrive at Stoplight 2. Then ${s}_{1}(m)=d={s}_{2}(m)$ where $d$ is the distance between the stoplights.

Define a new function $f(t)={s}_{1}(t)-{s}_{2}(t)$ . Then $f(0)=0=f(m)$ . By the Mean Value Theorem, there is a time $0<c<m$ such that

${f}^{'}(c)=\frac{f(m)-f(0)}{m-0}=\frac{0}{m}=0.$

At time c,

${f}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)-{s}_{2}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)={s}_{2}^{'}(c)$

So, at time c, Car 1 and Car 2 are traveling at the same speed.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 44번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

47.APEX · 3.2절 · 1번우리말 번역

평균값 정리가 무엇을 말하는지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words what the Mean Value Theorem states.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 18번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인자동 분류

48.APEX · 3.2절 · 2번우리말 번역

롤의 정리가 무엇을 말하는지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words what Rolle's Theorem states.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.2절 · 1번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인자동 분류

49.APEX · 3.2절 · 3번우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있습니다. 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 $f\,'(c)=0$ 인 $c$ 를 $(a,b)$ 에서 구하세요.

구간 $[-1,1]$ 에서 $f(x) = 6$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find $c$ in $(a,b)$ such that $f\,'(c)=0$ .

$f(x) = 6$ on $[-1,1]$ .

정답·풀이 보기

$[-1,1]$ 안의 모든 $c$ 가 조건을 만족한다.

원본 교재 풀이(영어)

Any $c$ in $[-1,1]$ is valid.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 4번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

50.APEX · 3.2절 · 4번우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있습니다. 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 $f\,'(c)=0$ 인 $c$ 를 $(a,b)$ 에서 구하세요.

구간 $[-1,1]$ 에서 $f(x) = 6x$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find $c$ in $(a,b)$ such that $f\,'(c)=0$ .

$f(x) = 6x$ on $[-1,1]$ .

정답·풀이 보기

롤의 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Rolle's Thm. does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.2절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

51.APEX · 3.2절 · 5번우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있습니다. 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 $f\,'(c)=0$ 인 $c$ 를 $(a,b)$ 에서 구하세요.

구간 $[-3,2]$ 에서 $f(x) = x^2+x-6$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find $c$ in $(a,b)$ such that $f\,'(c)=0$ .

$f(x) = x^2+x-6$ on $[-3,2]$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=-1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$c=-1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

52.APEX · 3.2절 · 6번우리말 번역

연습문제 3–10번에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있습니다. $[a,b]$ 에서 $f$ 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있으면 $f\,'(c)=0$ 인 $c$ 를 $(a,b)$ 에서 구하세요.

$f(x) = x^2+x-2$ , 구간 $[-3,2]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find $c$ in $(a,b)$ such that $f\,'(c)=0$ .

$f(x) = x^2+x-2$ on $[-3,2]$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=-1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$c=-1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 32번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

53.APEX · 3.2절 · 7번우리말 번역

연습문제 3–10번에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있습니다. $[a,b]$ 에서 $f$ 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있으면 $f\,'(c)=0$ 인 $c$ 를 $(a,b)$ 에서 구하세요.

$f(x) = x^2+x$ , 구간 $[-2,2]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find $c$ in $(a,b)$ such that $f\,'(c)=0$ .

$f(x) = x^2+x$ on $[-2,2]$ .

정답·풀이 보기

롤의 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Rolle's Thm. does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

54.APEX · 3.2절 · 8번우리말 번역

연습문제 3–10번에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있습니다. $[a,b]$ 에서 $f$ 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있으면 $f\,'(c)=0$ 인 $c$ 를 $(a,b)$ 에서 구하세요.

$f(x) = \sin x$ , 구간 $[\pi/6,5\pi/6]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find $c$ in $(a,b)$ such that $f\,'(c)=0$ .

$f(x) = \sin x$ on $[\pi/6,5\pi/6]$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$c=\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 23번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

55.APEX · 3.2절 · 9번우리말 번역

연습문제 3–10번에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있습니다. $[a,b]$ 에서 $f$ 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있으면 $f\,'(c)=0$ 인 $c$ 를 $(a,b)$ 에서 구하세요.

$f(x) = \cos x$ , 구간 $[0,\pi]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find $c$ in $(a,b)$ such that $f\,'(c)=0$ .

$f(x) = \cos x$ on $[0,\pi]$ .

정답·풀이 보기

롤의 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Rolle's Thm. does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

56.APEX · 3.2절 · 10번우리말 번역

연습문제 3–10번에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있습니다. $[a,b]$ 에서 $f$ 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있으면 $f\,'(c)=0$ 인 $c$ 를 $(a,b)$ 에서 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2-2x+1}$ , 구간 $[0,2]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find $c$ in $(a,b)$ such that $f\,'(c)=0$ .

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2-2x+1}$ on $[0,2]$ .

정답·풀이 보기

롤의 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Rolle's Theorem does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 14번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

57.APEX · 3.2절 · 11번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있다. 평균값 정리를 $[a,b]$ 에서 $f$ 에 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 $[a,b]$ 안의 값 $c$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = x^2+3x-1$ ( $[-2,2]$ 에서).

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find a value $c$ in $[a,b]$ guaranteed by the Mean Value Theorem.

$\displaystyle f(x) = x^2+3x-1$ on $[-2,2]$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=0$

원본 교재 풀이(영어)

$c=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 5번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

58.APEX · 3.2절 · 12번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있다. 평균값 정리를 $[a,b]$ 에서 $f$ 에 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 $[a,b]$ 안의 값 $c$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = 5x^2-6x+8$ ( $[0,5]$ 에서).

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find a value $c$ in $[a,b]$ guaranteed by the Mean Value Theorem.

$\displaystyle f(x) = 5x^2-6x+8$ on $[0,5]$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=5/2$

원본 교재 풀이(영어)

$c=5/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 16번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

59.APEX · 3.2절 · 13번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있다. 평균값 정리를 $[a,b]$ 에서 $f$ 에 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 $[a,b]$ 안의 값 $c$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{9-x^2}$ ( $[0,3]$ 에서).

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find a value $c$ in $[a,b]$ guaranteed by the Mean Value Theorem.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{9-x^2}$ on $[0,3]$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=3/\sqrt{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$c=3/\sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 1번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

60.APEX · 3.2절 · 14번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 $f(x)$ 와 구간 $[a,b]$ 가 주어져 있다. 평균값 정리를 $[a,b]$ 에서 $f$ 에 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 $[a,b]$ 안의 값 $c$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{25-x}$ ( $[0,9]$ 에서).

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function $f(x)$ and interval $[a,b]$ are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to $f$ on $[a,b]$ ; if so, find a value $c$ in $[a,b]$ guaranteed by the Mean Value Theorem.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{25-x}$ on $[0,9]$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=19/4$

원본 교재 풀이(영어)

$c=19/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류