미분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

401.APEX · 3.4절 · 22번우리말 번역

연습문제 15–28번에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \sec x$ ( $(-3\pi/2,3\pi/2)$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = \sec x$ on $(-3\pi/2,3\pi/2)$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=-\pi/2,\pi/2$ 에서 $f\,''(x)$ 가 정의되지 않는다( $f$ 도 정의되지 않는다); $(-3\pi/2,-\pi/2)$ 과 $(\pi/2,3\pi/2)$ 에서 위로 볼록 $(-\pi/2,\pi/2)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $f\,''(x)$ is not defined (nor is $f$ ) at $x=-\pi/2,\pi/2$ ; concave down on $(-3\pi/2,-\pi/2)$ and $(\pi/2,3\pi/2)$ concave up on $(-\pi/2,\pi/2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 4번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

402.APEX · 3.4절 · 23번우리말 번역

연습문제 15–28번에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=\pm1/\sqrt{3}$ ; $(-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$ 에서 위로 볼록; $(-\infty,-1/\sqrt{3})$ 과 $(1/\sqrt{3},\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=\pm1/\sqrt{3}$ ; concave down on $(-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$ ; concave up on $(-\infty,-1/\sqrt{3})$ and $(1/\sqrt{3},\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 12번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

403.APEX · 3.4절 · 24번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2-1}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2-1}$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=0,\pm 1$ ; $(-\infty,-1)$ 과 $(0,1)$ 에서 위로 볼록 $(-1,0)$ 과 $(1,\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=0,\pm 1$ ; concave down on $(-\infty,-1)$ and $(0,1)$ concave up on $(-1,0)$ and $(1,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 6번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

404.APEX · 3.4절 · 25번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = \sin x + \cos x$ ( $(-\pi,\pi)$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = \sin x + \cos x$ on $(-\pi,\pi)$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=-\pi/4,3\pi/4$ ; $(-\pi/4,3\pi/4)$ 에서 위로 볼록 $(-\pi,-\pi/4)$ 와 $(3\pi/4,\pi)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=-\pi/4,3\pi/4$ ; concave down on $(-\pi/4,3\pi/4)$ concave up on $(-\pi,-\pi/4)$ and $(3\pi/4,\pi)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 1번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

405.APEX · 3.4절 · 26번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = x^2e^x$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = x^2e^x$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=-2\pm\sqrt{2}$ ; $(-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$ 에서 위로 볼록 $(-\infty,-2-\sqrt{2})$ 와 $(-2+\sqrt{2},\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=-2\pm\sqrt{2}$ ; concave down on $(-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$ concave up on $(-\infty,-2-\sqrt{2})$ and $(-2+\sqrt{2},\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 9번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

406.APEX · 3.4절 · 27번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = x^2\ln x$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = x^2\ln x$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=1/e^{3/2}$ ; $(0,1/e^{3/2})$ 에서 위로 볼록 $(1/e^{3/2},\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=1/e^{3/2}$ ; concave down on $(0,1/e^{3/2})$ concave up on $(1/e^{3/2},\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 7번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

407.APEX · 3.4절 · 28번우리말 번역

연습문제 15–28에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 변곡점이 될 수 있는 점을 구하세요. (b) 수직선을 만들어 $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 판단하세요.

$\displaystyle f(x) = e^{-x^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–28, a function $f(x)$ is given.

(a) Find the possible points of inflection of $f$ . (b) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is concave up or concave down.

$\displaystyle f(x) = e^{-x^2}$

정답·풀이 보기

변곡점이 될 수 있는 점: $x=\pm 1/\sqrt{2}$ ; $(- 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ 에서 위로 볼록 $(-\infty,- 1/\sqrt{2})$ 와 $( 1/\sqrt{2},\infty)$ 에서 아래로 볼록

원본 교재 풀이(영어)

Possible points of inflection: $x=\pm 1/\sqrt{2}$ ; concave down on $(- 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ concave up on $(-\infty,- 1/\sqrt{2})$ and $( 1/\sqrt{2},\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.4절 · 2번

# 이계도함수와 오목·볼록계산자동 분류

408.APEX · 4.2절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 음함수 미분은 “관련 변화율” 유형의 문제를 풀 때 자주 사용된다.

영어 원문 보기

T/F: Implicit differentiation is often used when solving “related rates” type problems.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 15번

# 관련 변화율개념 확인자동 분류

409.APEX · 4.2절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 관련 변화율에 대한 학습은 표준 경찰관 훈련의 일부이다.

영어 원문 보기

T/F: A study of related rates is part of the standard police officer training.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 3번

# 관련 변화율개념 확인자동 분류

410.APEX · 4.2절 · 3번우리말 번역

물이 평평한 면 위로 매초 5cm $^3$ 의 비율로 흘러 깊이 10mm인 원형 물웅덩이를 만든다. 반지름이 다음과 같을 때, 반지름은 얼마나 빠르게 커지고 있나요?

(a) 1 cm (b) 10 cm (c) 100 cm

영어 원문 보기

Water flows onto a flat surface at a rate of 5cm $^3$ /s forming a circular puddle 10mm deep. How fast is the radius growing when the radius is:

(a) 1 cm? (b) 10 cm? (c) 100 cm?

정답·풀이 보기

(a) $5/(2\pi) \approx 0.796$ cm/s (b) $1/(4\pi)\approx 0.0796$ cm/s (c) $1/(40\pi)\approx 0.00796$ cm/s

원본 교재 풀이(영어)

(a) $5/(2\pi) \approx 0.796$ cm/s (b) $1/(4\pi)\approx 0.0796$ cm/s (c) $1/(40\pi)\approx 0.00796$ cm/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 1번

# 관련 변화율활용자동 분류

411.APEX · 4.2절 · 4번우리말 번역

구 모양의 풍선에 10cm $^3$ /s 의 비율로 공기를 불어 넣고 있다. 반지름이 다음과 같을 때, 풍선의 반지름은 얼마나 빠르게 증가하고 있나요?

(a) 1 cm (b) 10 cm (c) 100 cm

영어 원문 보기

A spherical balloon is inflated with air flowing at a rate of 10cm $^3$ /s. How fast is the radius of the balloon increasing when the radius is:

(a) 1 cm? (b) 10 cm? (c) 100 cm?

정답·풀이 보기

(a) $5/(2\pi)\approx 0.796$ cm/s (b) $1/(40\pi)\approx 0.00796$ cm/s (c) $1/(4000\pi)\approx 0.0000796$ cm/s

원본 교재 풀이(영어)

(a) $5/(2\pi)\approx 0.796$ cm/s (b) $1/(40\pi)\approx 0.00796$ cm/s (c) $1/(4000\pi)\approx 0.0000796$ cm/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 11번

# 관련 변화율계산자동 분류

412.APEX · 4.2절 · 7번우리말 번역

F-22 항공기가 500mph 의 속력으로 고도 10,000ft 에서, 대공포 바로 위를 지나게 될 직선 경로를 따라 날고 있다.

비행기가 다음과 같은 위치에 있을 때, 대공포가 항공기를 정확히 추적하려면 얼마나 빠르게 회전할 수 있어야 하나요?

(a) 1마일 떨어져 있을 때 (b) 1/5마일 떨어져 있을 때 (c) 바로 위에 있을 때

영어 원문 보기

An F-22 aircraft is flying at 500mph with an elevation of 10,000ft on a straight–line path that will take it directly over an anti–aircraft gun.

How fast must the gun be able to turn to accurately track the aircraft when the plane is:

(a) 1 mile away? (b) 1/5 mile away? (c) Directly overhead?

정답·풀이 보기

비행기의 고도 때문에 대공포는 그리 빠르게 회전하지 않아도 된다.

(a) $0.0573$ rad/s (b) $0.0725$ rad/s (c) 극한에서 변화율은 $0.0733$ rad/s 에 가까워진다.

원본 교재 풀이(영어)

Due to the height of the plane, the gun does not have to rotate very fast.

(a) $0.0573$ rad/s (b) $0.0725$ rad/s (c) In the limit, rate goes to $0.0733$ rad/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 4번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

413.APEX · 4.2절 · 9번우리말 번역

24ft 길이의 사다리가 집에 기대어 있고, 사다리의 아래쪽 끝을 1ft/s 의 일정한 비율로 집에서 멀어지게 당기고 있다.

사다리의 아래쪽 끝이 다음과 같은 위치에 있을 때, 사다리의 위쪽 끝은 집 벽을 따라 어떤 비율로 미끄러져 내려가고 있나요?

(a) 집에서 1피트 떨어져 있을 때 (b) 집에서 10피트 떨어져 있을 때 (c) 집에서 23피트 떨어져 있을 때 (d) 집에서 24피트 떨어져 있을 때

영어 원문 보기

A 24ft. ladder is leaning against a house while the base is pulled away at a constant rate of 1ft/s.

At what rate is the top of the ladder sliding down the side of the house when the base is:

(a) 1 foot from the house? (b) 10 feet from the house? (c) 23 feet from the house? (d) 24 feet from the house?

정답·풀이 보기

(a) $0.04$ ft/s (b) $0.458$ ft/s (c) $3.35$ ft/s (d) 정의되지 않는다. 거리가 24에 가까워질수록 변화율은 $\infty$ 로 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $0.04$ ft/s (b) $0.458$ ft/s (c) $3.35$ ft/s (d) Not defined; as the distance approaches 24, the rates approaches $\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.1절 · 9번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

414.APEX · 4.2절 · 10번우리말 번역

배 갑판 위 10ft 높이에 있는 윈치가 30ft/min의 일정한 속도로 배를 선착장 쪽으로 끌어당기고 있다.

배가 다음과 같은 위치에 있을 때, 배는 어느 정도의 속도로 선착장에 가까워지고 있나요?

(a) 선착장에서 50피트 떨어져 있을 때 (b) 선착장에서 15피트 떨어져 있을 때 (c) 선착장에서 1피트 떨어져 있을 때 (d) 배를 끌어당기는 밧줄의 길이가 10피트보다 짧아지면 어떻게 되나요?

영어 원문 보기

A boat is being pulled into a dock at a constant rate of 30ft/min by a winch located 10ft above the deck of the boat.

At what rate is the boat approaching the dock when the boat is:

(a) 50 feet out? (b) 15 feet out? (c) 1 foot from the dock? (d) What happens when the length of rope pulling in the boat is less than 10 feet long?

정답·풀이 보기

(a) $30.59$ ft/min (b) $36.1$ ft/min (c) $301$ ft/min (d) 배는 더 이상 평소처럼 물에 떠 있지 못하고, 윈치에 의해 위로 끌려 올라가게 된다(윈치에 그럴 힘이 있다고 가정한다).

원본 교재 풀이(영어)

(a) $30.59$ ft/min (b) $36.1$ ft/min (c) $301$ ft/min (d) The boat no longer floats as usual, but is being pulled up by the winch (assuming it has the power to do so).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 12번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

415.APEX · 4.2절 · 11번우리말 번역

깊이가 20ft이고 윗면의 지름이 10ft인 거꾸로 세운 원뿔 모양의 탱크에 10ft $^3$ /min의 속도로 물을 채우고 있다. 물의 깊이가 다음과 같을 때, 탱크 안의 물은 어느 정도의 속도로 차오르고 있나요?

(a) 1피트 (b) 10피트 (c) 19피트

빈 상태에서 시작하면 탱크를 가득 채우는 데 시간이 얼마나 걸리나요?

영어 원문 보기

An inverted cylindrical cone, 20ft deep and 10ft across at the top, is being filled with water at a rate of 10ft $^3$ /min. At what rate is the water rising in the tank when the depth of the water is:

(a) 1 foot? (b) 10 feet? (c) 19 feet?

How long will the tank take to fill when starting at empty?

정답·풀이 보기

(a) $50.92$ ft/min (b) $0.509$ ft/min (c) $0.141$ ft/min

탱크의 용량이 약 523.6ft $^3$ 이므로 약 52.36분이 걸린다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $50.92$ ft/min (b) $0.509$ ft/min (c) $0.141$ ft/min

As the tank holds about 523.6ft $^3$ , it will take about 52.36 minutes.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 10번

# 관련 변화율활용자동 분류

416.APEX · 4.2절 · 12번우리말 번역

추에 연결된 밧줄이 천장의 도르래를 지나 위로 올라갔다가 다시 아래로 내려와 한 작업자에게 이어져 있다. 그 남자는 밧줄과 추가 연결된 지점과 같은 높이에서 밧줄을 잡고 있다.

남자가 추 바로 옆에 서 있다가(즉, 밧줄의 전체 길이가 60 ft이다) 2ft/s의 속도로 멀어지기 시작한다고 하자. 남자가 다음과 같이 걸어갔을 때, 추는 얼마나 빠르게 올라가고 있나요?

(a) 10피트 (b) 40피트

추를 도르래까지 완전히 끌어올리려면 남자는 얼마나 멀리 걸어가야 하나요?

영어 원문 보기

A rope, attached to a weight, goes up through a pulley at the ceiling and back down to a worker. The man holds the rope at the same height as the connection point between rope and weight.

Suppose the man stands directly next to the weight (i.e., a total rope length of 60 ft) and begins to walk away at a rate of 2ft/s. How fast is the weight rising when the man has walked:

(a) 10 feet? (b) 40 feet?

How far must the man walk to raise the weight all the way to the pulley?

정답·풀이 보기

(a) $0.63$ ft/sec (b) $1.6$ ft/sec

약 52 ft이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $0.63$ ft/sec (b) $1.6$ ft/sec

About 52 ft.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 9번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

417.APEX · 4.2절 · 14번우리말 번역

열기구가 지면에서 수직으로 떠오른다. 100피트 떨어진 곳에서 키가 5'인 여성이 열기구가 움직이는 경로를 관찰한다. 그 여성이 열기구를 바라보는 시선이 수평선과 이루는 각이 45 $^\circ$ 일 때, 이 각은 약 5 $^\circ$ /min의 비율로 증가하고 있음을 알게 된다.

(a) 열기구의 높이는 얼마인가요? (b) 열기구는 얼마나 빠르게 올라가고 있나요?

영어 원문 보기

A hot air balloon lifts off from ground rising vertically. From 100 feet away, a 5' woman tracks the path of the balloon. When her sightline with the balloon makes a 45 $^\circ$ angle with the horizontal, she notes the angle is increasing at about 5 $^\circ$ /min.

(a) What is the elevation of the balloon? (b) How fast is it rising?

정답·풀이 보기

(a) 열기구는 지상 105ft 높이에 있다. (b) 열기구는 17.45ft/min의 속도로 올라가고 있다. (힌트: 모든 각을 라디안으로 바꾸세요.)

원본 교재 풀이(영어)

(a) The balloon is 105ft in the air. (b) The balloon is rising at a rate of 17.45ft/min. (Hint: convert all angles to radians.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 7번

# 관련 변화율활용자동 분류

418.APEX · 4.2절 · 15번우리말 번역

조경 자재를 생산하는 한 회사가 모래를 원뿔 모양으로 쌓고 있다. 모래는 5ft $^3$ /sec의 속도로 쏟아지고 있으며, 모래의 물리적 성질과 중력이 함께 작용하여 원뿔의 높이는 밑면인 원의 지름 길이의 약 2/3가 된다.

원뿔의 높이가 30피트일 때, 원뿔은 얼마나 빠르게 높아지고 있나요?

영어 원문 보기

A company that produces landscaping materials is dumping sand into a conical pile. The sand is being poured at a rate of 5ft $^3$ /sec; the physical properties of the sand, in conjunction with gravity, ensure that the cone's height is roughly 2/3 the length of the diameter of the circular base.

How fast is the cone rising when it has a height of 30 feet?

정답·풀이 보기

원뿔은 $0.003$ ft/s의 속도로 높아지고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The cone is rising at a rate of $0.003$ ft/s.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 14번

# 관련 변화율활용자동 분류

419.CLP-1 · 2.7절 · 1번우리말 번역

그래프의 곡선을 다음 함수와 짝지으세요. $(a)~ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \qquad(b)~ y=1^x\qquad (c)~ y=2^x \qquad (d)~ y=2^{-x}\qquad(e)~ y=3^x$

영어 원문 보기

Match the curves in the graph to the following functions: $(a)~ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \qquad(b)~ y=1^x\qquad (c)~ y=2^x \qquad (d)~ y=2^{-x}\qquad(e)~ y=3^x$

정답·풀이 보기

모든 $x$ 에 대해 $1^x=1$ 이므로 $(b)$ 는 상수함수 $y=1$ 이다. 따라서 D는 $(b)$ 와 짝지어진다.

$2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 이므로 함수 $(a)$ 와 $(d)$ 는 서로 같다. 이 함수는 주어진 함수 중 $x\to-\infty$ 일 때 커지고 $x \to \infty$ 일 때 작아지는 유일한 함수이므로, A는 $(a)$ 와 $(d)$ 에 짝지어진다.

이제 B와 C가 $(c)$ 와 $(e)$ 에 짝지어지는 일이 남는다. $3>2$ 이므로 $x>0$ 일 때 $3^x>2^x$ 이다. 따라서 $(e)$ 는 $x$ 축의 오른쪽에서 더 빠르게 커지는 함수에 짝지어진다. 즉 B는 $(e)$ 에, C는 $(c)$ 에 짝지어진다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $1^x=1$ for any $x$ , we see that $(b)$ is just the constant function $y=1$ , so D matches to $(b)$ .

Since $2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ , functions $(a)$ and $(d)$ are the same. This is the only function out of the lot that grows as $x\to-\infty$ and shrinks as $x \to \infty$ , so A matches to $(a)$ and $(d)$ .

This leaves B and C to match to $(c)$ and $(e)$ . Since $3>2$ , when $x>0$ , $3^x>2^x$ . So, $(e)$ matches to the function that grows more quickly to the right of the $x$ -axis: B matches to $(e)$ , and C matches to $(c)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 3번

# 지수함수와 로그함수의 미분그래프·표 해석기본자동 분류

420.CLP-1 · 2.7절 · 2번우리말 번역

아래 그래프는 지수함수 $f(x)=a^x$ 와 그 도함수 $f'(x)$ 를 나타낸 것입니다. 상수 $a$ 를 설명하는 보기를 모두 고르세요. $(a)~a<0\qquad(b)~a>0\qquad\qquad(c)~a<1\qquad(d)~a>1\qquad\qquad(e)~a<e\qquad(f)~a>e$

영어 원문 보기

The graph below shows an exponential function $f(x)=a^x$ and its derivative $f'(x)$ . Choose all the options that describe the constant $a$ . $(a)~a<0\qquad(b)~a>0\qquad\qquad(c)~a<1\qquad(d)~a>1\qquad\qquad(e)~a<e\qquad(f)~a>e$

정답·풀이 보기

먼저 $a$ 가 1보다 큰지 작은지에 따라 지수함수 $a^x$ 가 어떻게 변하는지 살펴보자. 알다시피 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=\left\{\begin{array}{ll} \infty & a>1\\0&a<1 \end{array}\right.$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=\left\{\begin{array}{ll} 0 & a>1\\\infty&a<1 \end{array}\right.$ 이다. 주어진 함수는 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$ 이므로 $a>1$ 이다. 따라서 $(d)$ 가 성립하고 $(b)$ 도 성립한다. ( $a^x$ 가 모든 실수에서 정의되므로 $(b)$ 가 성립함을 알 수도 있다.)

이제 $a$ 가 $e$ 보다 큰지 작은지 판단해야 한다. ( $a$ 가 $e$ 와 같다면 $f'(x)$ 는 $f(x)$ 와 같을 것이다.) 본문에서 함수 $C(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h-1}{h}$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{a^x\}=C(a)a^x$ 임을 보았다. $C(e)=1$ 임을 안다. (사실 $e$ 는 이 성질을 갖는 수로 정한 것이다.) 그래프에서 $f'(x)<f(x)$ 임을 알 수 있으므로 $C(a)<1=C(e)$ 이다. 즉 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h-1}{h}<\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{e^h-1}{h}$ 이므로 $a<e$ 이다. 따라서 $(e)$ 가 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

First, let's consider the behaviour of exponential functions $a^x$ based on whether $a$ is greater or less than 1. As we know, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=\left\{\begin{array}{ll} \infty & a>1\\0&a<1 \end{array}\right.$ and $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=\left\{\begin{array}{ll} 0 & a>1\\\infty&a<1 \end{array}\right.$ . Our function has $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty$ and $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$ , so we conclude $a>1$ : thus $(d)$ and also $(b)$ hold. (We could have also seen that $(b)$ holds because $a^x$ is defined for all real numbers.)

It remains to decide whether $a$ is greater or less than $e$ . (If $a$ were equal to $e$ , then $f'(x)$ would be the same as $f(x)$ .) We saw in the text that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{a^x\}=C(a)a^x$ for the function $C(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h-1}{h}$ . We know that $C(e)=1$ . (Actually, we chose $e$ to be the number that has this property.) From our graph, we see that $f'(x)<f(x)$ , so $C(a)<1=C(e)$ . In other words, $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h-1}{h}<\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{e^h-1}{h}$ ; so, $a<e$ . Thus $(e)$ holds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 5번

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