직선과 평면의 방정식 연습문제

41.OpenStax 3권 · 2.5절 · 41번대학 수준우리말 번역

방정식이 $x+y+z=1$ 과 $x+z=0$ 인 두 평면을 생각하세요.

a. 두 평면이 만남을 보이세요. b. 점 $P(1,4,6)$ 을 지나고 두 평면의 교선과 평행한 직선의 대칭방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the planes of equations $x+y+z=1$ and $x+z=0.$

a. Show that the planes intersect. b. Find symmetric equations of the line passing through point $P(1,4,6)$ that is parallel to the line of intersection of the planes.

정답·풀이 보기

a. 답은 다양할 수 있다; b. $\frac{x-1}{1}=\frac{z-6}{-1},y=4$

원본 교재 풀이(영어)

a. Answers may vary; b. $\frac{x-1}{1}=\frac{z-6}{-1},y=4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 9번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

42.OpenStax 3권 · 2.5절 · 42번대학 수준우리말 번역

방정식이 $-y+z-2=0$ 과 $x-y=0$ 인 두 평면을 생각하세요.

a. 두 평면이 만남을 보이세요. b. 점 $P(-8,0,2)$ 를 지나고 두 평면의 교선과 평행한 직선의 매개변수방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the planes of equations $-y+z-2=0$ and $x-y=0.$

a. Show that the planes intersect. b. Find parametric equations of the line passing through point $P(-8,0,2)$ that is parallel to the line of intersection of the planes.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 2번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

43.OpenStax 3권 · 2.5절 · 43번대학 수준우리말 번역

점 $P(-1,2,1)$ 을 지나고 두 평면 $x+y-z-2=0$ 과 $2x-y+3z-1=0$ 의 교선에 수직인 평면의 스칼라 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the scalar equation of the plane that passes through point $P(-1,2,1)$ and is perpendicular to the line of intersection of planes $x+y-z-2=0$ and $2x-y+3z-1=0.$

정답·풀이 보기

$2x-5y-3z+15=0$

원본 교재 풀이(영어)

$2x-5y-3z+15=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 53번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

44.OpenStax 3권 · 2.5절 · 44번대학 수준우리말 번역

원점을 지나고 두 평면 $-x+y+2=0$ 과 $z-3=0$ 의 교선에 수직인 평면의 일반형 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the general equation of the plane that passes through the origin and is perpendicular to the line of intersection of planes $-x+y+2=0$ and $z-3=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.6절 · 1번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

45.OpenStax 3권 · 2.5절 · 45번대학 수준우리말 번역

매개변수방정식이 $x=1+2t,y=-2t,z=2+t,$ $t\in \mathbb{R}$ 인 직선이 방정식 $3x+4y+6z-7=0$ 인 평면과 만나는지 판단하세요. 만난다면 교점을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine whether the line of parametric equations $x=1+2t,y=-2t,z=2+t,$ $t\in \mathbb{R}$ intersects the plane with equation $3x+4y+6z-7=0.$ If it does intersect, find the point of intersection.

정답·풀이 보기

직선은 평면과 점 $P(-3,4,0)$ 에서 만난다.

원본 교재 풀이(영어)

The line intersects the plane at point $P(-3,4,0).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 51번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

46.OpenStax 3권 · 2.5절 · 46번대학 수준우리말 번역

매개변수 방정식 $x=5,y=4-t,z=2t,$ $t\in \mathbb{R}$ 로 나타내어지는 직선이 방정식 $2x-y+z=5$ 인 평면과 만나는지 판단하세요. 만난다면 교점을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine whether the line of parametric equations $x=5,y=4-t,z=2t,$ $t\in \mathbb{R}$ intersects the plane with equation $2x-y+z=5.$ If it does intersect, find the point of intersection.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 10번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

47.OpenStax 3권 · 2.5절 · 47번대학 수준우리말 번역

점 $P(1,5,-4)$ 에서 방정식 $3x-y+2z-6=0$ 인 평면까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the distance from point $P(1,5,-4)$ to the plane of equation $3x-y+2z-6=0.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{16}{\sqrt{14}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{16}{\sqrt{14}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 57번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

48.OpenStax 3권 · 2.5절 · 48번대학 수준우리말 번역

점 $P(1,-2,3)$ 에서 방정식 $(x-3)+2(y+1)-4z=0$ 인 평면까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the distance from point $P(1,-2,3)$ to the plane of equation $(x-3)+2(y+1)-4z=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 57번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

49.OpenStax 3권 · 2.5절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 두 평면의 방정식이 주어져 있다.

a. 두 평면이 평행한지, 수직인지, 둘 다 아닌지 판단하세요. b. 두 평면이 평행하지도 수직이지도 않으면, 두 평면이 이루는 각의 크기를 구하세요. 답은 도 단위로 반올림하여 정수로 나타내세요.

[계산기 사용] $x+y+z=0,$ $2x-y+z-7=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equations of two planes are given.

a. Determine whether the planes are parallel, orthogonal, or neither. b. If the planes are neither parallel nor orthogonal, then find the measure of the angle between the planes. Express the answer in degrees rounded to the nearest integer.

[T] $x+y+z=0,$ $2x-y+z-7=0$

정답·풀이 보기

a. 두 평면은 평행하지도 수직이지도 않다; b. $62^\circ$

원본 교재 풀이(영어)

a. The planes are neither parallel nor orthogonal; b. $62^\circ$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 55번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

50.OpenStax 3권 · 2.5절 · 50번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 두 평면의 방정식이 주어져 있다.

a. 두 평면이 평행한지, 수직인지, 둘 다 아닌지 판단하세요. b. 두 평면이 평행하지도 수직이지도 않으면, 두 평면이 이루는 각의 크기를 구하세요. 답은 도 단위로 반올림하여 정수로 나타내세요.

$5x-3y+z=4,$ $x+4y+7z=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equations of two planes are given.

a. Determine whether the planes are parallel, orthogonal, or neither. b. If the planes are neither parallel nor orthogonal, then find the measure of the angle between the planes. Express the answer in degrees rounded to the nearest integer.

$5x-3y+z=4,$ $x+4y+7z=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 57번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

51.OpenStax 3권 · 2.5절 · 51번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 두 평면의 방정식이 주어져 있습니다.

a. 두 평면이 평행한지, 수직인지, 둘 다 아닌지 판단하세요. b. 두 평면이 평행하지도 수직이지도 않으면, 두 평면 사이의 각의 크기를 구하세요. 답은 반올림하여 정수인 도 단위로 나타내세요.

$x-5y-z=1,$ $5x-25y-5z=-3$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equations of two planes are given.

a. Determine whether the planes are parallel, orthogonal, or neither. b. If the planes are neither parallel nor orthogonal, then find the measure of the angle between the planes. Express the answer in degrees rounded to the nearest integer.

$x-5y-z=1,$ $5x-25y-5z=-3$

정답·풀이 보기

a. 두 평면은 평행하다.

원본 교재 풀이(영어)

a. The planes are parallel.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 21번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

52.OpenStax 3권 · 2.5절 · 52번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 두 평면의 방정식이 주어져 있습니다.

a. 두 평면이 평행한지, 수직인지, 둘 다 아닌지 판단하세요. b. 두 평면이 평행하지도 수직이지도 않으면, 두 평면 사이의 각의 크기를 구하세요. 답은 반올림하여 정수인 도 단위로 나타내세요.

[계산기 사용] $x-3y+6z=4,$ $5x+y-z=4$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equations of two planes are given.

a. Determine whether the planes are parallel, orthogonal, or neither. b. If the planes are neither parallel nor orthogonal, then find the measure of the angle between the planes. Express the answer in degrees rounded to the nearest integer.

[T] $x-3y+6z=4,$ $5x+y-z=4$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 10번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

53.OpenStax 3권 · 2.5절 · 53번대학 수준우리말 번역

방정식이 $x=t,y=1+t,z=2+t,$ $t\in \mathbb{R}$ 인 직선과 $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=z-3$ 인 직선이 꼬인 위치에 있음을 보이고, 두 직선 사이의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Show that the lines of equations $x=t,y=1+t,z=2+t,$ $t\in \mathbb{R},$ and $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=z-3$ are skew, and find the distance between them.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 23번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

54.OpenStax 3권 · 2.5절 · 54번대학 수준우리말 번역

방정식이 $x=-1+t,y=-2+t,z=3t,$ $t\in \mathbb{R}$ 인 직선과 $x=5+s,y=-8+2s,z=7s,$ $s\in \mathbb{R}$ 인 직선이 꼬인 위치에 있음을 보이고, 두 직선 사이의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Show that the lines of equations $x=-1+t,y=-2+t,z=3t,$ $t\in \mathbb{R},$ and $x=5+s,y=-8+2s,z=7s,$ $s\in \mathbb{R}$ are skew, and find the distance between them.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 53번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

55.OpenStax 3권 · 2.5절 · 55번대학 수준우리말 번역

점 $C(-3,2,4)$ 와 방정식이 $2x+4y-3z=8$ 인 평면을 생각하세요.

a. 중심이 $C$ 이고 주어진 평면에 접하는 구의 반지름을 구하세요. b. 접점 P 를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider point $C(-3,2,4)$ and the plane of equation $2x+4y-3z=8.$

a. Find the radius of the sphere with center $C$ tangent to the given plane. b. Find point P of tangency.

정답·풀이 보기

a. $\frac{18}{\sqrt{29}};$ b. $P\left(-\frac{51}{29},\frac{130}{29},\frac{62}{29}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{18}{\sqrt{29}};$ b. $P\left(-\frac{51}{29},\frac{130}{29},\frac{62}{29}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 25번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

56.OpenStax 3권 · 2.5절 · 56번대학 수준우리말 번역

방정식이 $x-y-z-8=0$ 인 평면을 생각하세요.

a. 원점을 중심 $C$ 로 하고 주어진 평면에 접하는 구의 방정식을 구하세요. b. 원점과 접점을 지나는 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the plane of equation $x-y-z-8=0.$

a. Find an equation of the sphere with center $C$ at the origin that is tangent to the given plane. b. Find parametric equations of the line passing through the origin and the point of tangency.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.3절 · 5번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

57.OpenStax 3권 · 2.5절 · 57번대학 수준우리말 번역

두 아이가 공을 가지고 놀고 있습니다. 소녀가 소년에게 공을 던집니다. 공은 공중에서 이동하며 오른쪽으로 $3$ ft 휘어서 소녀로부터 $5$ ft 떨어진 곳에 떨어집니다(다음 그림 참조).

공의 궤적을 포함하는 평면이 지면에 수직일 때, 그 평면의 방정식을 구하세요.

이 그림은 두 아이가 공을 던지며 노는 모습이다. 공의 경로는 호로 나타내어져 있다. 공을 던지는 아이에서 공이 떨어지는 지점까지의 거리는 5피트이다. 두 번째 아이에서 공이 떨어지는 지점까지의 거리는 3피트이다.

영어 원문 보기

Two children are playing with a ball. The girl throws the ball to the boy. The ball travels in

the air, curves $3$ ft to the right, and falls $5$ ft away from the girl (see the following figure). If the plane that contains the trajectory of the ball is perpendicular to the ground, find its equation.

This figure is the image of two children throwing a ball. The path of the ball is represented with an arc. The distance from the child throwing the ball to the point where the ball hits is 5 feet. The distance from the second child to where the ball hits is 3 feet.

정답·풀이 보기

$4x-3y=0$

원본 교재 풀이(영어)

$4x-3y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 27번

# 직선과 평면의 방정식그래프·표 해석자동 분류

58.OpenStax 3권 · 2.5절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 시각 $t\in [0,3]$ 에서 입자의 위치 벡터가 $\text{r}(t)=\langle \sin \,t,\cos \,t,2t\rangle$ 라고 하세요. 여기서 r 의 성분은 센티미터 단위로, 시간은 초 단위로 나타냅니다. $\vec{OP}$ 를 $1$ 초 후 입자의 위치 벡터라고 하세요.

a. $1$ 초 후 입자의 속도 벡터 $\text{v}(1)$ 을 구하세요. b. $\text{v}(1)$ 에 수직이고 점 $P$ 를 지나는 평면의 스칼라 방정식을 구하세요. 이 평면을 점 $P$ 에서 입자의 경로에 대한 법평면이라고 합니다. c. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 점 $P$ 에서 입자의 경로, 속도 벡터, 법평면을 함께 시각화하세요.

영어 원문 보기

[T] Consider $\text{r}(t)=\langle \sin \,t,\cos \,t,2t\rangle$ the position vector of a particle at time $t\in [0,3],$ where the components of r are expressed in centimeters and time is measured in seconds. Let $\vec{OP}$ be the position vector of the particle after $1$ sec.

a. Determine the velocity vector $\text{v}(1)$ of the particle after $1$ sec. b. Find the scalar equation of the plane that is perpendicular to $\text{v}(1)$ and passes through point $P.$ This plane is called the normal plane to the path of the particle at point $P.$ c. Use a CAS to visualize the path of the particle along with the velocity vector and normal plane at point $P.$

정답·풀이 보기

a. $\text{v}(1)=\langle \cos \,1,-\sin \,1,2\rangle ;$ b. $(\cos \,1)(x-\sin \,1)-(\sin \,1)(y-\cos \,1)+2(z-2)=0;$

c.

이 그림은 3차원 좌표계의 제1팔분공간이다. 평면을 나타내는 평행사변형 모양의 격자가 그려져 있다. y = 1 에서 시작하여 증가하는 곡선이 있다. 이 곡선은 평면과 만난다. 곡선이 평면과 만나는 점에는 “v(1)” 이라고 표시된 벡터가 있다. 이 벡터는 z축에 평행하게 위쪽을 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\text{v}(1)=\langle \cos \,1,-\sin \,1,2\rangle ;$ b. $(\cos \,1)(x-\sin \,1)-(\sin \,1)(y-\cos \,1)+2(z-2)=0;$

c.

This figure is the first octant of the 3-dimensional coordinate system. It has a parallelogram grid drawn representing a plane. There is a curve from y = 1 increasing. The curve intersects the plane. At the point the curve intersects the plane, there is a vector labeled “v(1).” It is upward parallel to the z-axis.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 29번

# 직선과 평면의 방정식활용자동 분류

59.OpenStax 3권 · 2.5절 · 60번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 태양광 패널이 집 지붕에 설치되어 있다. 이 패널은 좌표(단위: m)가 $A(8,0,0),$ $B(8,18,0),$ $C(0,18,8)$ , 그리고 $D(0,0,8)$ 인 점들에 놓여 있다고 볼 수 있다(다음 그림 참조).

이 그림은 지붕 위에 있는 직사각형 태양광 패널을 나타낸 것이다. 직사각형의 꼭짓점은 A, B, C, D로 표시되어 있다. 두 개의 벡터가 있는데, 첫째는 A에서 D로 향하는 벡터이고, 둘째는 A에서 B로 향하는 벡터이다.

a. 점 $A,B,\,\text{그리고}\,C$ 를 이용하여 태양광 패널을 포함하는 평면의 방정식의 일반형을 구하고, 그 평면의 법선 벡터가 $\vec{AB}\,\times \,\vec{AD}$ 와 같음을 보이세요. b. 태양광 패널의 중심을 지나고 방향 벡터가 $\text{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{k}$ 인 직선 ${L}_{1}$ 의 매개변수 방정식을 구하세요. 이 방향 벡터는 하루 중 특정 시각의 태양 위치를 향한다. c. 태양광 패널의 중심을 지나고 패널에 수직인 직선 ${L}_{2}$ 의 대칭 방정식을 구하세요. d. 직선 ${L}_{1}$ 과 ${L}_{2}$ 사이의 각을 이용하여 태양광 패널에 대한 태양의 고도각을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A solar panel is mounted on the roof of a house. The panel may be regarded as positioned at the points of coordinates (in meters) $A(8,0,0),$ $B(8,18,0),$ $C(0,18,8),$ and $D(0,0,8)$ (see the following figure).

This figure is a picture of a rectangular solar grid on a roof. The corners of the rectangle are labeled A, B, C, D. There are two vectors, the first is from A to D. The second is from A to B.

a. Find the general form of the equation of the plane that contains the solar panel by using points $A,B,\,\text{and}\,C,$ and show that its normal vector is equivalent to $\vec{AB}\,\times \,\vec{AD}.$ b. Find parametric equations of line ${L}_{1}$ that passes through the center of the solar panel and has direction vector $\text{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\text{k},$ which points toward the position of the Sun at a particular time of day. c. Find symmetric equations of line ${L}_{2}$ that passes through the center of the solar panel and is perpendicular to it. d. Determine the angle of elevation of the Sun above the solar panel by using the angle between lines ${L}_{1}$ and ${L}_{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.3절 · 5번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술자동 분류

60.APEX · 10.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

직선의 방정식을 구하려면 어떤 두 가지 정보가 필요한지 쓰세요.

영어 원문 보기

To find an equation of a line, what two pieces of information are needed?

정답·풀이 보기

직선 위의 한 점과 직선의 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

A point on the line and the direction of the line.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.5절 · 2번

# 직선과 평면의 방정식개념 확인자동 분류