문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

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736문제 · 16 / 37쪽

301.OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 $c$ 의 값을 모두 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 그렇지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$ 에서 $y=\tan (\pi x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=\tan (\pi x)$ over $\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=\pm \frac{1}{\pi }{\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right),$ $c=\pm 0.1533$

원본 교재 풀이(영어)

$c=\pm \frac{1}{\pi }{\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right),$ $c=\pm 0.1533$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 13번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

302.OpenStax 1권 · 4.4절 · 39번우리말 번역

다음 연습문제에서는 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고, $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 $c$ 의 값을 모두 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 불가능하면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[0,3]$ 에서 $y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ over $[0,3]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

303.OpenStax 1권 · 4.4절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 $c$ 의 모든 값을 어림하세요. 그런 다음, 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 그렇지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 소수 넷째 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $\left[\frac{1}{2},4\right]$ 에서 $y=x+\frac{1}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=x+\frac{1}{x}$ over $\left[\frac{1}{2},4\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

304.OpenStax 1권 · 4.4절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 모든 $c$ 의 값을 어림하세요. 그런 다음, 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 가능하지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] $[3,8]$ 에서 $y=\sqrt{x+1}+\frac{1}{{x}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=\sqrt{x+1}+\frac{1}{{x}^{2}}$ over $[3,8]$

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2\sqrt{c+1}}-\frac{2}{{c}^{3}}=\frac{521}{2880};$ $c=3.133,5.867$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{c+1}}-\frac{2}{{c}^{3}}=\frac{521}{2880};$ $c=3.133,5.867$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 12번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

305.OpenStax 1권 · 4.4절 · 43번우리말 번역

오전 10시 17분에 고속도로에 정차해 있는 경찰차를 55 mph로 지나친다. 오전 10시 53분에 두 번째 경찰차를 55 mph로 지나치는데, 이 경찰차는 첫 번째 경찰차로부터 39 mi 떨어져 있다. 제한 속력이 60 mph라면, 경찰이 과속으로 단속할 수 있는가?

영어 원문 보기

At 10:17 a.m., you pass a police car at 55 mph that is stopped on the freeway. You pass a second police car at 55 mph at 10:53 a.m., which is located 39 mi from the first police car. If the speed limit is 60 mph, can the police cite you for speeding?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리활용자동 분류

306.OpenStax 1권 · 4.4절 · 44번우리말 번역

두 자동차가 한 신호등에서 다음 신호등까지 같은 시각에 출발하여 같은 시각에 도착한다. 두 자동차가 같은 속력으로 달리는 순간이 있는가? 증명하거나 반증하세요.

영어 원문 보기

Two cars drive from one stoplight to the next, leaving at the same time and arriving at the same time. Is there ever a time when they are going the same speed? Prove or disprove.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 42번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

307.OpenStax 1권 · 4.4절 · 45번우리말 번역

$y={\sec }^{2}x$ 와 $y={\tan }^{2}x$ 의 도함수가 서로 같음을 보이세요. $y={\sec }^{2}x-{\tan }^{2}x?$ 에 대해 어떤 사실을 말할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Show that $y={\sec }^{2}x$ and $y={\tan }^{2}x$ have the same derivative. What can you say about $y={\sec }^{2}x-{\tan }^{2}x?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 4번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

308.OpenStax 1권 · 4.4절 · 46번우리말 번역

$y={\csc }^{2}x$ 와 $y={\cot }^{2}x$ 의 도함수가 서로 같음을 보이세요. $y={\csc }^{2}x-{\cot }^{2}x?$ 에 대해 어떤 사실을 말할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Show that $y={\csc }^{2}x$ and $y={\cot }^{2}x$ have the same derivative. What can you say about $y={\csc }^{2}x-{\cot }^{2}x?$

정답·풀이 보기

시각 $t$ 에서 자동차 1이 신호등 1로부터 떨어진 거리를 ${s}_{1}(t)$ 라 하자. 시각 $t$ 에서 자동차 2가 신호등 1로부터 떨어진 거리를 ${s}_{2}(t)$ 라 하자. 그러면 ${s}_{1}(0)=0={s}_{2}(0)$ 이다. 두 자동차가 신호등 2에 도착하는 시각을 $t=m$ 이라 하자. 그러면 ${s}_{1}(m)=d={s}_{2}(m)$ 이다. 여기서 $d$ 는 두 신호등 사이의 거리이다.

새로운 함수를 $f(t)={s}_{1}(t)-{s}_{2}(t)$ 로 정의하자. 그러면 $f(0)=0=f(m)$ 이다. 평균값 정리에 의해 $0<c<m$ 인 시각 $c$ 가 존재하여

${f}^{'}(c)=\frac{f(m)-f(0)}{m-0}=\frac{0}{m}=0.$

시각 c에서

${f}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)-{s}_{2}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)={s}_{2}^{'}(c)$

따라서 시각 c에서 자동차 1과 자동차 2는 같은 속력으로 달리고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ${s}_{1}(t)$ represent the distance of Car 1 from Stoplight 1 at time $t$ . Let ${s}_{2}(t)$ represent the distance of Car 2 from Stoplight 1 at time $t$ . Then ${s}_{1}(0)=0={s}_{2}(0)$ . Let $t=m$ represent the time that the cars arrive at Stoplight 2. Then ${s}_{1}(m)=d={s}_{2}(m)$ where $d$ is the distance between the stoplights.

Define a new function $f(t)={s}_{1}(t)-{s}_{2}(t)$ . Then $f(0)=0=f(m)$ . By the Mean Value Theorem, there is a time $0<c<m$ such that

${f}^{'}(c)=\frac{f(m)-f(0)}{m-0}=\frac{0}{m}=0.$

At time c,

${f}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)-{s}_{2}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)={s}_{2}^{'}(c)$

So, at time c, Car 1 and Car 2 are traveling at the same speed.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 44번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

309.OpenStax 1권 · 4.5절 · 1번우리말 번역

$c$ 가 $f(x)$ 의 임계점일 때, $c$ 에서 극댓값이나 극솟값이 없는 경우는 언제인지 설명하세요.

영어 원문 보기

If $c$ is a critical point of $f(x),$ when is there no local maximum or minimum at $c?$ Explain.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 6번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

310.OpenStax 1권 · 4.5절 · 3번우리말 번역

함수 $y={x}^{3}$ 에 대해 $x=0$ 은 변곡점인지 판단하세요.

영어 원문 보기

For the function $y={x}^{3},$ is $x=0$ an inflection point?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 2번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

311.OpenStax 1권 · 4.5절 · 4번우리말 번역

두 번 미분가능한 함수에서 점 $c$ 가 변곡점이면서 동시에 극값일 수 있는가?

영어 원문 보기

Is it possible for a point $c$ to be both an inflection point and a local extremum of a twice differentiable function?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 6번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

312.OpenStax 1권 · 4.5절 · 5번우리말 번역

첫 번째 도함수 판정법에 연속성이 왜 필요한가? 예를 하나 만들어 보세요.

영어 원문 보기

Why do you need continuity for the first derivative test? Come up with an example.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 4번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

313.OpenStax 1권 · 4.5절 · 7번우리말 번역

차수가 $2$ 인 다항식이 변곡점을 가질 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain whether a polynomial of degree $2$ can have an inflection point.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 4번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

314.OpenStax 1권 · 4.5절 · 8번우리말 번역

다음 문제에서 ${f}^{'}$ 의 그래프를 분석하여 $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간을 모두 나열하세요.

함수 f’(x) 의 그래프가 그려져 있다. 그래프는 음수에서 시작하여 (−2, 0) 에서 x축과 만난다. 그다음 조금 더 증가하다가 감소하여 (−1, 0) 에서 x축과 만난다. (1, −6) 에서 극솟값을 가진 뒤 증가하여 (2, 0) 에서 x축과 만난다.

영어 원문 보기

For the following exercises, analyze the graphs of ${f}^{'},$ then list all intervals where $f$ is increasing or decreasing.

The function f’(x) is graphed. The function starts negative and crosses the x axis at (−2, 0). Then it continues increasing a little before decreasing and crossing the x axis at (−1, 0). It achieves a local minimum at (1, −6) before increasing and crossing the x axis at (2, 0).

정답·풀이 보기

$-2<x<-1$ 과 $x>2$ 에서 증가하고, $x<-2$ 와 $-1<x<2$ 에서 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

Increasing for $-2<x<-1$ and $x>2;$ decreasing for $x<-2$ and $-1<x<2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 4번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

315.OpenStax 1권 · 4.5절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 ${f}^{'}$ 의 그래프를 분석한 다음, $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간을 모두 나열하세요.

함수 f’(x)의 그래프가 그려져 있다. 함수는 음수에서 시작하여 (−2, 0)에서 x축을 가로지른다. 그런 다음 조금 더 증가하다가 감소하여 (−1, 0)에서 x축에 닿는다. 이후 조금 증가하다가 감소하여 원점에서 x축을 가로지른다. 그 후 함수는 감소하여 극솟값에 이르렀다가 증가하고, (1, 0)에서 x축을 가로지르며 계속 증가한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, analyze the graphs of ${f}^{'},$ then list all intervals where $f$ is increasing or decreasing.

The function f’(x) is graphed. The function starts negative and crosses the x axis at (−2, 0). Then it continues increasing a little before decreasing and touching the x axis at (−1, 0). It then increases a little before decreasing and crossing the x axis at the origin. The function then decreases to a local minimum before increasing, crossing the x-axis at (1, 0), and continuing to increase.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 32번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

316.OpenStax 1권 · 4.5절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서 ${f}^{'}$ 의 그래프를 분석한 다음, $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간을 모두 나열하세요.

함수 f’(x)의 그래프가 그려져 있다. 함수는 음수에서 시작하여 원점에서 x축에 닿는다. 그런 다음 조금 감소하다가 증가하여 (1, 0)에서 x축을 가로지르며 계속 증가한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, analyze the graphs of ${f}^{'},$ then list all intervals where $f$ is increasing or decreasing.

The function f’(x) is graphed. The function starts negative and touches the x axis at the origin. Then it decreases a little before increasing to cross the x axis at (1, 0) and continuing to increase.

정답·풀이 보기

$x<1$ 에서 감소, $x>1$ 에서 증가이다.

원본 교재 풀이(영어)

Decreasing for $x<1,$ increasing for $x>1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 40번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

317.OpenStax 1권 · 4.5절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서 ${f}^{'}$ 의 그래프를 분석한 다음, $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간을 모두 나열하세요.

함수 f’(x)의 그래프가 그려져 있다. 함수는 양수에서 시작하여 감소하다가 (−1, 0)에서 x축에 닿는다. 그런 다음 (0, 4.5)까지 증가하다가 감소하여 (1, 0)에서 x축에 닿는다. 그 후 함수는 증가한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, analyze the graphs of ${f}^{'},$ then list all intervals where $f$ is increasing or decreasing.

The function f’(x) is graphed. The function starts positive and decreases to touch the x axis at (−1, 0). Then it increases to (0, 4.5) before decreasing to touch the x axis at (1, 0). Then the function increases.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 4번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

318.OpenStax 1권 · 4.5절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서 ${f}^{'}$ 의 그래프를 분석한 다음, $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간을 모두 나열하세요.

함수 f’(x)의 그래프가 그려져 있다. 함수는 (−2, 0)에서 시작하여 (−1.5, −1.5)까지 감소하고, (−1, 0)까지 증가하며, 계속 증가하다가 감소하여 원점에 이른다. 반대쪽도 대칭이다. 즉, 함수는 증가하다가 감소하여 (1, 0)을 지난다. 계속 감소하여 (1.5, −1.5)에 이르고, 그런 다음 증가하여 (2, 0)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, analyze the graphs of ${f}^{'},$ then list all intervals where $f$ is increasing or decreasing.

The function f’(x) is graphed. The function starts at (−2, 0), decreases to (−1.5, −1.5), increases to (−1, 0), and continues increasing before decreasing to the origin. Then the other side is symmetric: that is, the function increases and then decreases to pass through (1, 0). It continues decreasing to (1.5, −1.5), and then increase to (2, 0).

정답·풀이 보기

$-2<x<-1$ 과 $1<x<2$ 에서 감소, $-1<x<1$ 과 $x<-2$ 와 $x>2$ 에서 증가이다.

원본 교재 풀이(영어)

Decreasing for $-2<x<-1$ and $1<x<2;$ increasing for $-1<x<1$ and $x<-2$ and $x>2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 28번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

319.OpenStax 1권 · 4.5절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서 ${f}^{'}$ 의 그래프를 분석한 다음, 다음을 모두 나열하세요.

a. $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간 b. 극솟값과 극댓값이 위치한 곳

함수 f’(x)의 그래프가 그려져 있다. 함수는 (−2, 0)에서 시작하여 잠시 감소하다가 증가하여 (−1, 0)에 이르고, 계속 증가하다가 감소하여 원점에 이르며, 그 지점에서 다시 증가한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, analyze the graphs of ${f}^{'},$ then list all intervals where

a. $f$ is increasing and decreasing and b. the minima and maxima are located.

The function f’(x) is graphed. The function starts at (−2, 0), decreases for a little and then increases to (−1, 0), continues increasing before decreasing to the origin, at which point it increases.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 4번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

320.OpenStax 1권 · 4.5절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서 ${f}^{'}$ 의 그래프를 분석한 다음, 아래를 만족하는 구간을 모두 나열하세요.

a. $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간 b. 극솟값과 극댓값이 위치하는 곳

함수 f’(x) 의 그래프가 그려져 있다. 그래프는 (−2, 0) 에서 시작하여 증가하다가 감소하여 (−1, 0) 에 이르고, 계속 감소하다가 증가하여 원점에서 변곡점이 된다. 이후 증가하다가 감소하여 (1, 0) 을 지난다. 계속 감소하다가 증가하여 (2, 0) 에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, analyze the graphs of ${f}^{'},$ then list all intervals where

a. $f$ is increasing and decreasing and b. the minima and maxima are located.

The function f’(x) is graphed. The function starts at (−2, 0), increases and then decreases to (−1, 0), decreases and then increases to an inflection point at the origin. Then the function increases and decreases to cross (1, 0). It continues decreasing and then increases to (2, 0).

정답·풀이 보기

a. $-2<x<-1,0<x<1,x>2$ 에서 증가하고, $x<-2,$ $-1<x<0,1<x<2$ 에서 감소한다. b. $x=-1$ 과 $x=1$ 에서 극대, $x=-2$ 와 $x=0$ 과 $x=2$ 에서 극소이다

원본 교재 풀이(영어)

a. Increasing over $-2<x<-1,0<x<1,x>2,$ decreasing over $x<-2,$ $-1<x<0,1<x<2;$ b. maxima at $x=-1$ and $x=1,$ minima at $x=-2$ and $x=0$ and $x=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 12번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류