다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

141.OpenStax 3권 · 5.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 극좌표 직사각형 영역 $D$ 위에서 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 구하세요.

$f(x,y)=\arctan \left(\frac{y}{x}\right)$ , 단, $D=\{(r,\theta )|2\le r\le 3,\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{3}\}$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA$ over the polar rectangular region $D.$

$f(x,y)=\arctan \left(\frac{y}{x}\right),$ where $D=\{(r,\theta )|2\le r\le 3,\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{3}\}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{35{\pi }^{2}}{576}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{35{\pi }^{2}}{576}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 38번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

142.OpenStax 3권 · 5.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 극좌표 직사각형 영역 $D$ 위에서 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 구하세요.

$\iint_{D}{e}^{{x}^{2}+{y}^{2}}\left[1+2\,\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\right]dA,\,D=\{(r,\theta )|1\le r\le 2,\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{\pi }{3}\}$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA$ over the polar rectangular region $D.$

$\iint_{D}{e}^{{x}^{2}+{y}^{2}}\left[1+2\,\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\right]dA,\,D=\{(r,\theta )|1\le r\le 2,\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{\pi }{3}\}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 4번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

143.OpenStax 3권 · 5.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 극좌표 직사각형 영역 $D$ 위에서 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 구하세요.

$\iint_{D}({e}^{{x}^{2}+{y}^{2}}+{x}^{4}+2{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4})\arctan \left(\frac{y}{x}\right)dA,\,D=\{(r,\theta )|1\le r\le 2,\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{3}\}$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA$ over the polar rectangular region $D.$

$\iint_{D}({e}^{{x}^{2}+{y}^{2}}+{x}^{4}+2{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4})\arctan \left(\frac{y}{x}\right)dA,\,D=\{(r,\theta )|1\le r\le 2,\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{3}\}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{7{\pi }^{2}}{576}(21-{e}^{2}+{e}^{4})$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{7{\pi }^{2}}{576}(21-{e}^{2}+{e}^{4})$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 48번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

144.OpenStax 3권 · 5.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 적분이 극좌표로 변환되어 있습니다. 등식이 성립함을 확인하고, 직교좌표와 극좌표 중 적분을 계산하기 가장 쉬운 방법을 고르세요.

$\int_{1}^{2}\,\int_{0}^{x}({x}^{2}+{y}^{2})dy\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\,\int_{\sec \,\theta }^{2\,\sec \,\theta }{r}^{3}dr\,d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, the integrals have been converted to polar coordinates. Verify that the identities are true and choose the easiest way to evaluate the integrals, in rectangular or polar coordinates.

$\int_{1}^{2}\,\int_{0}^{x}({x}^{2}+{y}^{2})dy\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\,\int_{\sec \,\theta }^{2\,\sec \,\theta }{r}^{3}dr\,d\theta$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 14번

# 극좌표 이중적분증명·논술자동 분류

145.OpenStax 3권 · 5.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분이 극좌표로 변환되어 있습니다. 등식이 참임을 확인하고, 직교좌표와 극좌표 중 적분을 계산하기에 가장 쉬운 방법을 선택하여 적분의 값을 구하세요.

$\int_{2}^{3}\,\int_{0}^{x}\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dy\,dx=\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{2\,\sec \,\theta }^{3\sec \,\theta }r\,\cos \,\theta \,dr\,d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, the integrals have been converted to polar coordinates. Verify that the identities are true and choose the easiest way to evaluate the integrals, in rectangular or polar coordinates.

$\int_{2}^{3}\,\int_{0}^{x}\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dy\,dx=\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{2\,\sec \,\theta }^{3\sec \,\theta }r\,\cos \,\theta \,dr\,d\theta$

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정답·풀이 보기

$\frac{5}{2}\ln \left(1+\sqrt{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{5}{2}\ln \left(1+\sqrt{2}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 46번

# 극좌표 이중적분증명·논술자동 분류

146.OpenStax 3권 · 5.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분이 극좌표로 변환되어 있습니다. 등식이 참임을 확인하고, 직교좌표와 극좌표 중 적분을 계산하기에 가장 쉬운 방법을 선택하여 적분의 값을 구하세요.

$\int_{0}^{1}\,\int_{{x}^{2}}^{x}\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dy\,dx=\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{0}^{\tan \,\theta \,\sec \,\theta }dr\,d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, the integrals have been converted to polar coordinates. Verify that the identities are true and choose the easiest way to evaluate the integrals, in rectangular or polar coordinates.

$\int_{0}^{1}\,\int_{{x}^{2}}^{x}\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dy\,dx=\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{0}^{\tan \,\theta \,\sec \,\theta }dr\,d\theta$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 18번

# 극좌표 이중적분증명·논술자동 분류

147.OpenStax 3권 · 5.3절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분이 극좌표로 변환되어 있습니다. 등식이 참임을 확인하고, 직교좌표와 극좌표 중 적분을 계산하기에 가장 쉬운 방법을 선택하여 적분의 값을 구하세요.

$\int_{0}^{1}\,\int_{{x}^{2}}^{x}\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dy\,dx=\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{0}^{\tan \,\theta \,\sec \,\theta }r\,\sin \,\theta \,dr\,d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, the integrals have been converted to polar coordinates. Verify that the identities are true and choose the easiest way to evaluate the integrals, in rectangular or polar coordinates.

$\int_{0}^{1}\,\int_{{x}^{2}}^{x}\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dy\,dx=\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{0}^{\tan \,\theta \,\sec \,\theta }r\,\sin \,\theta \,dr\,d\theta$

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정답·풀이 보기

$\frac{1}{6}\left(2-\sqrt{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{6}\left(2-\sqrt{2}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 44번

# 극좌표 이중적분증명·논술자동 분류

148.OpenStax 3권 · 5.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분을 극좌표로 변환하여 값을 구하세요.

$\int_{0}^{3}\,\int_{0}^{\sqrt{9-{y}^{2}}}({x}^{2}+{y}^{2})dx\,dy$

영어 원문 보기

In the following exercises, convert the integrals to polar coordinates and evaluate them.

$\int_{0}^{3}\,\int_{0}^{\sqrt{9-{y}^{2}}}({x}^{2}+{y}^{2})dx\,dy$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 21번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

149.OpenStax 3권 · 5.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분을 극좌표로 변환하여 값을 구하세요.

$\int_{0}^{2}\,\int_{-\sqrt{4-{y}^{2}}}^{\sqrt{4-{y}^{2}}}{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}dx\,dy$

영어 원문 보기

In the following exercises, convert the integrals to polar coordinates and evaluate them.

$\int_{0}^{2}\,\int_{-\sqrt{4-{y}^{2}}}^{\sqrt{4-{y}^{2}}}{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}dx\,dy$

정답·풀이 보기

$\int_{0}^{\pi }\,\int_{0}^{2}{r}^{5}dr\,d\theta =\frac{32\pi }{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{0}^{\pi }\,\int_{0}^{2}{r}^{5}dr\,d\theta =\frac{32\pi }{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.3절 · 2번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

150.OpenStax 3권 · 5.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분을 극좌표로 변환하여 값을 구하세요.

$\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}(x+y)dy\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, convert the integrals to polar coordinates and evaluate them.

$\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}(x+y)dy\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 44번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

151.OpenStax 3권 · 5.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분을 극좌표로 변환하여 값을 구하세요.

$\int_{0}^{4}\,\int_{-\sqrt{16-{x}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}}}\sin ({x}^{2}+{y}^{2})dy\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, convert the integrals to polar coordinates and evaluate them.

$\int_{0}^{4}\,\int_{-\sqrt{16-{x}^{2}}}^{\sqrt{16-{x}^{2}}}\sin ({x}^{2}+{y}^{2})dy\,dx$

정답·풀이 보기

$\int_{-\pi /2}^{\pi /2}\,\int_{0}^{4}r\,\sin ({r}^{2})dr\,d\theta =\pi \,{\sin }^{2}8$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-\pi /2}^{\pi /2}\,\int_{0}^{4}r\,\sin ({r}^{2})dr\,d\theta =\pi \,{\sin }^{2}8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 56번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

152.OpenStax 3권 · 5.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

$D$ 가 극축과 심장형 곡선 $r=1+\cos \,\theta$ 의 위쪽 절반으로 둘러싸인 영역일 때, 적분 $\iint_{D}r\,dA$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the integral $\iint_{D}r\,dA$ where $D$ is the region bounded by the polar axis and the upper half of the cardioid $r=1+\cos \,\theta .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 22번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

153.OpenStax 3권 · 5.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

극축과 심장형 곡선 $r=1+\cos \,\theta$ 의 위쪽 절반으로 둘러싸인 영역 $D$ 의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the region $D$ bounded by the polar axis and the upper half of the cardioid $r=1+\cos \,\theta .$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{3\pi }{4}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{3\pi }{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 42번

# 극좌표 이중적분활용자동 분류

154.OpenStax 3권 · 5.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

적분 $\iint_{D}\,dA$ 의 값을 구하세요. 여기서 $D$ 는 제1사분면에 놓인 사엽장미 곡선 $r=\sin \,2\theta$ 의 부분으로 둘러싸인 영역이다 (다음 그림 참조).

제1사분면에 있는 꽃잎 하나에 영역 D가 그려져 있다. 이 꽃잎은 꽃잎이 네 개인 장미 곡선 r = sin (2 세타)로 주어진 것이다.

영어 원문 보기

Evaluate the integral $\iint_{D}\,dA,$ where $D$ is the region bounded by the part of the four-leaved rose $r=\sin \,2\theta$ situated in the first quadrant (see the following figure).

A region D is drawn in the first quadrant petal of the four petal rose given by r = sin (2 theta).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 8번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석자동 분류

155.OpenStax 3권 · 5.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

네 잎 장미꼴 곡선 $r=\sin \,2\theta$ 로 둘러싸인 영역의 전체 넓이를 구하세요 (이전 연습문제의 그림 참조).

영어 원문 보기

Find the total area of the region enclosed by the four-leaved rose $r=\sin \,2\theta$ (see the figure in the previous exercise).

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{\pi }{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\pi }{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 46번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석자동 분류

156.OpenStax 3권 · 5.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

$y=\sqrt{4-{x}^{2}},$ $x=\sqrt{3},$ $x=2,$ $y=0$ 으로 유계인 영역 $D$ 의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the region $D,$ which is the region bounded by $y=\sqrt{4-{x}^{2}},$ $x=\sqrt{3},$ $x=2,$ and $y=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 12번

# 극좌표 이중적분활용자동 분류

157.OpenStax 3권 · 5.3절 · 36번대학 수준우리말 번역

원판 ${x}^{2}+{y}^{2}\le 4$ 의 내부이면서 직선 $x=1$ 의 오른쪽에 있는 영역 $D$ 의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the region $D,$ which is the region inside the disk ${x}^{2}+{y}^{2}\le 4$ and to the right of the line $x=1.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{3}\left(4\pi -3\sqrt{3}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{3}\left(4\pi -3\sqrt{3}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 24번

# 극좌표 이중적분활용자동 분류

158.OpenStax 3권 · 5.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

극곡선 $r=\cos \,2\theta$ 로 둘러싸인 영역 $D$ 에서 함수 $f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}$ 의 평균값을 구하세요. 단, $-\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{4}$ 입니다(다음 그래프 참조).

r = cos (2 θ) 로 주어지는 네 잎 장미 곡선에서 제1사분면과 제4사분면에 걸친 꽃잎 하나가 나타나 있다.

영어 원문 보기

Determine the average value of the function $f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}$ over the region $D$ bounded by the polar curve $r=\cos \,2\theta ,$ where $-\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{4}$ (see the following graph).

The first/fourth-quadrant petal of the four-petal rose given by r = cos (2 theta) is shown.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 8번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석자동 분류

159.OpenStax 3권 · 5.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

극곡선 $r=3\,\sin \,2\theta ,$ $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ 로 둘러싸인 영역 $D$ 에서 함수 $f(x,y)=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 의 평균값을 구하세요(다음 그래프 참조).

r = 3sin (2θ) 로 주어진 네 잎 장미 곡선에서 제1사분면에 있는 잎 하나가 나타나 있다.

영어 원문 보기

Determine the average value of the function $f(x,y)=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ over the region $D$ bounded by the polar curve $r=3\,\sin \,2\theta ,$ where $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ (see the following graph).