벡터와 공간 전체 연습문제

1101.CLP-3 · 1.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 구면을 생각하자. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=2$ 여러분이 $S$ 위의 점 $(2,2,0)$ 에 있고, $S$ 위에서 가장 짧은 경로를 따라 $(2,1,-1)$ 로 가려고 한다고 하자. 처음 진행 방향을 외적으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Consider the sphere given by $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=2$ Suppose that you are at the point $(2,2,0)$ on $S$ , and you plan to follow the shortest path on $S$ to $(2,1,-1)$ . Express your initial direction as a cross product.

정답·풀이 보기

새로운 좌표계로 바꾸어 $X=x-1\qquad Y=y-2\qquad Z=z+1$ 이라 하자. 이 새로운 좌표계에서 구의 방정식은 $X^2+Y^2+Z^2=2$ 이다. 따라서 구의 중심은 $(X,Y,Z)=(0,0,0)$ 이고 반지름은 $\sqrt{2}$ 이다. 새로운 좌표계에서 출발점 $(x,y,z)=(2,2,0)$ 은 $(X,Y,Z)=(1,0,1)$ 이고, 도착점 $(x,y,z)=(2,1,-1)$ 은 $(X,Y,Z)=(1,-1,0)$ 이다. 출발점을 $P$ , 도착점을 $Q$ 라 하자. 가장 짧은 경로는 $P$ 에서 $Q$ 까지 대원을 따라간다.

구 위의 대원은 구의 중심을 포함하는 평면과 구가 만나서 생기는 도형이다. 처음 방향을 구하는 전략은 다음 두 가지 관찰에 바탕을 둔다.

가장 짧은 경로는 원점과 두 점 $P$ , $Q$ 를 포함하는 평면 $\Pi$ 위에 있다. 가장 짧은 경로가 $\Pi$ 위에 있으므로 방향 벡터도 $\Pi$ 위에 놓여야 하고, 따라서 $\Pi$ 의 법선벡터와 수직이어야 한다.
가장 짧은 경로는 구 위에도 머물러 있으므로, 처음 방향은 출발점 $P$ 에서 구의 법선벡터와도 수직이어야 한다.

처음 방향이 두 법선벡터에 모두 수직이므로, 두 법선벡터의 외적과 평행하다.

따라서 우리가 할 일은 평면 $\Pi$ 의 법선벡터와 $P$ 에서 구의 법선벡터를 구하는 것이다.

$\Pi$ 의 법선벡터를 구하는 한 가지 방법은 $\Pi$ 의 방정식을 짐작해 보는 것이다. $(0,0,0)$ 이 $\Pi$ 위에 있으므로 $(0,0,0)$ 은 $\Pi$ 의 방정식을 만족해야 한다. 따라서 $\Pi$ 의 방정식은 $aX+bY+cZ=0$ 꼴이어야 한다. $(X,Y,Z)=(1,0,1)$ 이 $\Pi$ 위에 있으므로 $a+c=0$ 이다. $(X,Y,Z)=(1,-1,0)$ 이 $\Pi$ 위에 있으므로 $a-b=0$ 이다. 따라서 $a=1$ , $b=1$ , $c=-1$ 로 잡을 수 있다. 즉 $\Pi$ 는 $X+Y-Z=0$ 이다. (세 점 $(0,0,0)$ , $(1,0,1)$ , $(1,-1,0)$ 이 모두 $X+Y-Z=0$ 을 만족하는지 확인하세요.) $\Pi$ 의 법선벡터는 $\left< 1,1,-1\right>$ 이다.
$\Pi$ 의 법선벡터를 구하는 두 번째 방법은 다음 두 가지를 관찰하는 것이다.
$(0,0,0)$ 에서 $(1,0,1)$ 로 가는 벡터, 즉 $\left< 1,0,1\right>$ 은 완전히 $\Pi$ 안에 놓여 있고
$(0,0,0)$ 에서 $(1,-1,0)$ 로 가는 벡터, 즉 $\left< 1,-1,0\right>$ 도 완전히 $\Pi$ 안에 놓여 있다.

따라서 벡터

$\left< 1,0,1\right>\times\left< 1,-1,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}$

는 $\Pi$ 에 수직이다.

구의 중심에서 구 위의 점 $P$ 로 가는 벡터는 $P$ 에서 구에 수직이다. 따라서 출발점 $(X,Y,Z)=(1,0,1)$ 에서 구의 법선벡터는 $\left< 1,0,1\right>$ 이다.

처음 방향(좌표 변환 $X=x-1$ , $Y=y-2$ , $Z=z+1$ 은 속도 벡터나 방향 벡터에 전혀 영향을 주지 않음에 주의하자. 시각 $t$ 에서의 위치가 원래 좌표계에서 $(x(t),y(t),z(t))$ 이면, 새로운 좌표계에서는 $(X(t),Y(t),Z(t)) =(x(t)-1,y(t)-2,z(t)+1)$ 이다. 두 좌표계에서의 속도 벡터 $\left< x'(t),y'(t),z'(t)\right> =\left< X'(t),Y'(t),Z'(t)\right>$ 는 같다.) 은 $\left< 1,1,-1\right>$ 과 $\left< 1,0,1\right>$ 에 모두 수직이어야 하므로, $\pm\left< 1,1,-1\right>\times\left< 1,0,1\right>$ 중 하나이다. 가장 짧은 경로로 $(1,0,1)$ 에서 $(1,-1,0)$ 으로 가려면 $Z$ 좌표가 $1$ 에서 $0$ 으로 감소해야 한다. 따라서 처음 방향의 $Z$ 좌표는 음수여야 한다. 이는 다음의 경우에 해당한다.

$\left< 1,1,-1\right>\times\left< 1,0,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}$

원본 교재 풀이(영어)

Switch to a new coordinate system with $X=x-1\qquad Y=y-2\qquad Z=z+1$ In this new coordinate system, the sphere has equation $X^2+Y^2+Z^2=2$ . So the sphere is centred at $(X,Y,Z)=(0,0,0)$ and has radius $\sqrt{2}$ . In the new coordinate system, the initial point $(x,y,z)=(2,2,0)$ has $(X,Y,Z)=(1,0,1)$ and our final point $(x,y,z)=(2,1,-1)$ has $(X,Y,Z)=(1,-1,0)$ . Call the initial point $P$ and the final point $Q$ . The shortest path will follow the great circle from $P$ to $Q$ .

A great circle on a sphere is the intersection of the sphere with a plane that contains the centre of the sphere. Our strategy for finding the initial direction will be based on two observations.

The shortest path lies on the plane $\Pi$ that contains the origin and the points $P$ and $Q$ . Since the shortest path lies on $\Pi$ , our direction vector must also lie on $\Pi$ and hence must be perpendicular to the normal vector to $\Pi$ .
The shortest path also remains on the sphere, so our initial direction must also be perpendicular to the normal vector to the sphere at our initial point $P$ .

As our initial direction is perpendicular to the two normal vectors, it is parallel to their cross product.

So our main job is to find normal vectors to the plane $\Pi$ and to the sphere at $P$ .

One way to find a normal vector to $\Pi$ is to guess an equation for $\Pi$ . As $(0,0,0)$ is on $\Pi$ , $(0,0,0)$ must obey $\Pi$ 's equation. So $\Pi$ 's equation must be of the form $aX+bY+cZ=0$ . That $(X,Y,Z)=(1,0,1)$ is on $\Pi$ forces $a+c=0$ . That $(X,Y,Z)=(1,-1,0)$ is on $\Pi$ forces $a-b=0$ . So we may take $a=1$ , $b=1$ and $c=-1$ . That is, $\Pi$ is $X+Y-Z=0$ . (Check that all three points $(0,0,0)$ , $(1,0,1)$ and $(1,-1,0)$ do indeed obey $X+Y-Z=0$ .) A normal vector to $\Pi$ is $\left< 1,1,-1\right>$ .
A second way to find a normal vector to $\Pi$ is to observe that both
the vector from $(0,0,0)$ to $(1,0,1)$ , that is $\left< 1,0,1\right>$ , lies completely inside $\Pi$ and
the vector from $(0,0,0)$ to $(1,-1,0)$ , that is $\left< 1,-1,0\right>$ , lies completely inside $\Pi$ .

So the vector

$\left< 1,0,1\right>\times\left< 1,-1,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}$

is perpendicular to $\Pi$ .

The vector from the centre of the sphere to the point $P$ on the sphere is perpendicular to the sphere at $P$ . So a normal vector to the sphere at our initial point $(X,Y,Z)=(1,0,1)$ is $\left< 1,0,1\right>$ .

Since our initial direction (Note that the change of coordinates $X=x-1$ , $Y=y-2$ , $Z=z+1$ has absolutely no effect on any velocity or direction vector. If our position at time $t$ is $(x(t),y(t),z(t))$ in the original coordinate system, then it is $(X(t),Y(t),Z(t)) =(x(t)-1,y(t)-2,z(t)+1)$ in the new coordinate system. The velocity vectors in the two coordinate systems $\left< x'(t),y'(t),z'(t)\right> =\left< X'(t),Y'(t),Z'(t)\right>$ are identical.) must be perpendicular to both $\left< 1,1,-1\right>$ and $\left< 1,0,1\right>$ , it must be one of $\pm\left< 1,1,-1\right>\times\left< 1,0,1\right>$ . To get from $(1,0,1)$ to $(1,-1,0)$ by the shortest path, our $Z$ coordinate should decrease from $1$ to $0$ . So the $Z$ coordinate of our initial direction should be negative. This is the case for

$\left< 1,1,-1\right>\times\left< 1,0,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.5절 · 4번

# 직선과 평면의 방정식계산도전자동 분류

1102.CLP-3 · 1.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에 어떤 잘못이 있는지 설명하세요.

“점 $(3,1,3)$ 을 지나고 벡터 $\left< 4,-6,2 \right>$ 와 $\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right>$ 에 수직인 직선의 방정식을 구하세요.”

영어 원문 보기

What is wrong with the following exercise?

“Give an equation for the line passing through the point $(3,1,3)$ that is normal to the vectors $\left< 4,-6,2 \right>$ and $\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right>$ ."

정답·풀이 보기

$12\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right>=\left< 4,-6,2 \right>$ 임에 주목한다. 따라서 우리가 구하려는 직선에 대해 실제로 알고 있는 법선 방향은 하나뿐이다. 즉 주어진 조건을 만족하는 직선은 사실 무수히 많다.

원본 교재 풀이(영어)

Note $12\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right>=\left< 4,-6,2 \right>$ . So, we actually only know one normal direction to the line we're supposed to be describing. That means there are actually infinitely many lines satisfying the given conditions.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 6번

# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류

1103.CLP-3 · 1.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

가능하다면, 3차원 공간에서 다음 조건을 만족하는 직선 네 개를 구하세요.

어떤 두 직선도 서로 평행하지 않고,
어떤 두 직선도 서로 만나지 않는다.

영어 원문 보기

Find, if possible, four lines in 3d with

no two of the lines parallel to each other and
no two of the lines intersecting.

정답·풀이 보기

정답은 무수히 많다. 그중 하나는

$\begin{aligned} L_1:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-1\right> &= t\left< 1,0,0\right> & L_2:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-2\right> &= t\left< 0,1,0\right> \\ L_3:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-3\right> &= t\left< 1,1,0\right> & L_4:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-4\right> &= t\left< 1,-1,0\right> \end{aligned}$

이다.

어떤 두 직선도 평행하지 않다. 그 이유는 다음과 같다.

$L_1$ 과 $L_2$ 는 평행하지 않다. 왜냐하면 $\left< 1,0,0\right>\times \left< 0,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0}$ 이기 때문이다.
$L_1$ 과 $L_3$ 은 평행하지 않다. 왜냐하면 $\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0}$ 이기 때문이다.
$L_1$ 과 $L_4$ 는 평행하지 않다. 왜냐하면 $\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0}$ 이기 때문이다.
$L_2$ 와 $L_3$ 은 평행하지 않다. 왜냐하면 $\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0}$ 이기 때문이다.
$L_2$ 와 $L_4$ 는 평행하지 않다. 왜냐하면 $\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0}$ 이기 때문이다.
$L_3$ 과 $L_4$ 는 평행하지 않다. 왜냐하면 $\left< 1,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-2\right>\ne\mathbf{0}$ 이기 때문이다.

어떤 두 직선도 만나지 않는다. 그 이유는 다음과 같다.

$L_1$ 위의 모든 점은 $z=1$ 이고
$L_2$ 위의 모든 점은 $z=2$ 이고
$L_3$ 위의 모든 점은 $z=3$ 이고
$L_4$ 위의 모든 점은 $z=4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

There are infinitely many correct answers. One is

$\begin{aligned} L_1:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-1\right> &= t\left< 1,0,0\right> & L_2:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-2\right> &= t\left< 0,1,0\right> \\ L_3:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-3\right> &= t\left< 1,1,0\right> & L_4:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-4\right> &= t\left< 1,-1,0\right> \end{aligned}$

No two of the lines are parallel because

$L_1$ and $L_2$ are not parallel because $\left< 1,0,0\right>\times \left< 0,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0}$ .
$L_1$ and $L_3$ are not parallel because $\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0}$ .
$L_1$ and $L_4$ are not parallel because $\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0}$ .
$L_2$ and $L_3$ are not parallel because $\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0}$ .
$L_2$ and $L_4$ are not parallel because $\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0}$ .
$L_3$ and $L_4$ are not parallel because $\left< 1,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-2\right>\ne\mathbf{0}$ .

No two of the lines intersect because

every point on $L_1$ has $z=1$ and
every point on $L_2$ has $z=2$ and
every point on $L_3$ has $z=3$ and
every point on $L_4$ has $z=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 1번

# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류

1104.CLP-3 · 1.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

각각의 경우에 대해, 주어진 두 직선이 만나는지 판단하세요. 또한 두 직선을 모두 포함하는 평면을 모두 구하세요.

(a) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ 과 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (b) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ 과 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (c) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -2,-2,2\right>$ 과 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (d) $\left< x,y,z\right> = \left< 3,2,-2\right>+t\left< -2,-2,2\right>$ 과 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

영어 원문 보기

In each case, determine whether or not the given pair of lines intersect. Also find all planes containing the pair of lines.

(a) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ and $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (b) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ and $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (c) $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -2,-2,2\right>$ and $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ (d) $\left< x,y,z\right> = \left< 3,2,-2\right>+t\left< -2,-2,2\right>$ and $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

정답·풀이 보기

(a) 방정식 $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ 의 매개변수 $t$ 의 값이 방정식 $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ 의 매개변수 $t$ 의 값과 같을 필요는 없다. 따라서 첫 번째 방정식의 매개변수 이름을 $t$ 에서 $s$ 로 바꾸는 것이 훨씬 안전하다. 점 $(x,y,z)$ 가 두 직선 위에 모두 놓이려면

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

이어야 한다. 이는 세 성분별 등식을 쓰고 $s$ 와 $t$ 를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수는 우변으로 옮긴 다음과 같은 식과 같다.

$\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -2 \end{aligned}$

마지막 두 식을 더하면 $3s=-3$ 이므로 $s=-1$ 이다. 이를 마지막 식에 대입하면 $t=-1$ 이다. $s=t=-1$ 은 세 식을 모두 만족하므로 $\left< x,y,z\right>=\left< -3,2,4\right>-\left< -4,2,1\right>=\left< 1,0,3\right>$ 은 두 직선 위에 모두 놓인다. 두 직선을 모두 포함하는 평면은 두 방향 벡터 $\left< -4,2,1\right>$ 과 $\left< 1,1,-1\right>$ 에 모두 평행해야 한다. 따라서 이 평면의 법선 벡터는 두 방향 벡터에 수직이어야 하고, 즉 $\left< -4,2,1\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< -3,-3,-6\right>=-3\left< 1,1,2\right>$ 에 평행해야 한다. 이 평면은 $(1,0,3)$ 을 지나고 $\left< 1,1,2\right>$ 에 수직이다. 평면의 방정식은 $\left< 1,1,2\right>\cdot\left< x-1,y,z-3\right>=0$ , 즉 $x+y+2z=7$ 이다. 이는 $\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right>$ 과 $\left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ 이 각각 모든 $s$ 와 $t$ 에 대해 $x+y+2z=7$ 을 만족함을 확인하여 검증할 수 있다.

(b) 점 $(x,y,z)$ 가 두 직선 위에 모두 놓이려면

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

이어야 한다. 이는 세 성분별 등식을 쓰고 $s$ 와 $t$ 를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수는 우변으로 옮긴 다음과 같은 식과 같다.

$\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -5 \end{aligned}$

마지막 두 식을 더하면 $3s=-6$ 이므로 $s=-2$ 이다. 이를 마지막 식에 대입하면 $t=-3$ 이다. 그런데 $s=-2,\ t=-3$ 을 첫 번째 식에 대입하면 $11=5$ 가 되어 불가능하다. 두 직선은 만나지 않는다. 두 직선이 한 평면에 놓이면서 만나지 않으려면 평행해야 한다. 따라서 이 경우에는 두 직선을 모두 포함하는 평면은 없다.

(c) 점 $(x,y,z)$ 가 두 직선 위에 모두 놓이려면

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -2,-2,2\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

이어야 한다. 이는 세 성분별 등식을 쓰고 $s$ 와 $t$ 를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수는 우변으로 옮긴 다음과 같은 식과 같다.

$\begin{aligned} -2s -t &= 5\\ -2s -t &= -1\\ 2s +t &= -5 \end{aligned}$

첫 번째 식과 두 번째 식은 분명히 모순이다. 두 직선은 만나지 않는다. 두 직선을 모두 포함하는 평면은 $\left< 1,1,-1\right>$ 에 평행해야 하고(따라서 $\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>$ 에도 자동으로 평행하다), 또한 첫 번째 직선 위의 점 $(-3,2,4)$ 에서 두 번째 직선 위의 점 $(2,1,-1)$ 로 향하는 벡터에도 평행해야 한다. 이 벡터는 $\left< 5,-1,-5\right>$ 이다. 따라서 평면의 법선 벡터는 $\left< 5,-1,-5\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< 6,0,6\right>=6\left< 1,0,1\right>$ 이다. $(2,1,-1)$ 을 지나고 $\left< 1,0,1\right>$ 에 수직인 평면은 $\left< 1,0,1\right>\cdot\left< x-2,y-1,z+1\right>=0$ , 즉 $x+z=1$ 이다.

(d) 이번에도 $\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>$ 이므로 두 직선은 평행하다. 게다가 점 $\left< 3,2,-2\right>=\left< 3,2,-2\right>+0\left< -2,-2,2\right> =\left< 2,1,-1\right>+1\left< 1,1,-1\right>$ 은 두 직선 위에 모두 놓인다. 따라서 두 직선은 만날 뿐만 아니라 일치한다. 점 $(3,2,-2)$ 를 지나고 $\left< 1,1,-1\right>$ 에 평행한 평면은 모두 두 직선을 포함한다. 일반적으로 평면 $ax+by+cz=d$ 가 $(3,2,-2)$ 를 지날 필요충분조건은 $d=3a+2b-2c$ 이고, $\left< 1,1,-1\right>$ 에 평행할 필요충분조건은 $\left< a,b,c\right>\cdot\left< 1,1,-1\right>=a+b-c=0$ 이다. 따라서 (둘 다 0은 아닌) 임의의 $a$ , $b$ 에 대해 $ax+by+(a+b)z=a$ 가 조건을 만족한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Note that the value of the parameter $t$ in the equation $\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right>$ need not have the same value as the parameter $t$ in the equation $\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ . So it is much safer to change the name of the parameter in the first equation from $t$ to $s$ . In order for a point $(x,y,z)$ to lie on both lines we need

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

or equivalently, writing out the three component equations and moving all $s$ 's and $t$ 's to the left and constants to the right,

$\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -2 \end{aligned}$

Adding the last two equations together gives $3s=-3$ or $s=-1$ . Substituting this into the last equation gives $t=-1$ . Note that $s=t=-1$ does indeed satisfy all three equations so that $\left< x,y,z\right>=\left< -3,2,4\right>-\left< -4,2,1\right>=\left< 1,0,3\right>$ lies on both lines. Any plane that contains the two lines must be parallel to both direction vectors $\left< -4,2,1\right>$ and $\left< 1,1,-1\right>$ . So its normal vector must be perpendicular to them, i.e. must be parallel to $\left< -4,2,1\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< -3,-3,-6\right>=-3\left< 1,1,2\right>$ . The plane must contain $(1,0,3)$ and be perpendicular to $\left< 1,1,2\right>$ . Its equation is $\left< 1,1,2\right>\cdot\left< x-1,y,z-3\right>=0$ or $x+y+2z=7$ . This can be checked by verifying that $\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right>$ and $\left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>$ obey $x+y+2z=7$ for all $s$ and $t$ respectively.

(b) In order for a point $(x,y,z)$ to lie on both lines we need

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

or equivalently, writing out the three component equations and moving all $s$ 's and $t$ 's to the left and constants to the right,

$\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -5 \end{aligned}$

Adding the last two equations together gives $3s=-6$ or $s=-2$ . Substituting this into the last equation gives $t=-3$ . However, substituting $s=-2,\ t=-3$ into the first equation gives $11=5$ , which is impossible. The two lines do not intersect. In order for two lines to lie in a common plane and not intersect, they must be parallel. So, in this case no plane contains the two lines.

(c) In order for a point $(x,y,z)$ to lie on both lines we need

$\left< -3,2,4\right>+s\left< -2,-2,2\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>$

or equivalently, writing out the three component equations and moving all $s$ 's and $t$ 's to the left and constants to the right,

$\begin{aligned} -2s -t &= 5\\ -2s -t &= -1\\ 2s +t &= -5 \end{aligned}$

The first two equations are obviously contradictory. The two lines do not intersect. Any plane containing the two lines must be parallel to $\left< 1,1,-1\right>$ (and hence automatically parallel to $\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>$ ) and must also be parallel to the vector from the point $(-3,2,4)$ , which lies on the first line, to the point $(2,1,-1)$ , which lies on the second. The vector is $\left< 5,-1,-5\right>$ . Hence the normal to the plane is $\left< 5,-1,-5\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< 6,0,6\right>=6\left< 1,0,1\right>$ . The plane perpendicular to $\left< 1,0,1\right>$ containing $(2,1,-1)$ is $\left< 1,0,1\right>\cdot\left< x-2,y-1,z+1\right>=0$ or $x+z=1$ .

(d) Again the two lines are parallel, since $\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>$ . Furthermore the point $\left< 3,2,-2\right>=\left< 3,2,-2\right>+0\left< -2,-2,2\right> =\left< 2,1,-1\right>+1\left< 1,1,-1\right>$ lies on both lines. So the two lines not only intersect but are identical. Any plane that contains the point $(3,2,-2)$ and is parallel to $\left< 1,1,-1\right>$ contains both lines. In general, the plane $ax+by+cz=d$ contains $(3,2,-2)$ if and only if $d=3a+2b-2c$ and is parallel to $\left< 1,1,-1\right>$ if and only if $\left< a,b,c\right>\cdot\left< 1,1,-1\right>=a+b-c=0$ . So, for arbitrary $a$ and $b$ (not both zero) $ax+by+(a+b)z=a$ works.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.6절 · 31번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

1105.CLP-3 · 1.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

점 $(2,-1,-1)$ 을 지나고 두 평면 $x+y=0$ 과 $x-y+2z=0$ 에 각각 평행한 직선의 방정식을 구하세요. 이 직선의 방정식을 벡터 매개변수 형태, 스칼라 매개변수 형태, 대칭형으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the equation(s) of the line through $(2,-1,-1)$ and parallel to each of the two planes $x+y=0$ and $x-y+2z=0$ . Express the equation(s) of the line in vector and scalar parametric forms and in symmetric form.

정답·풀이 보기

먼저 다음을 관찰하자.

$\left< 1,1,0\right>$ 은 $x+y=0$ 에 수직이므로 직선에도 수직이다.
$\left< 1,-1,2\right>$ 은 $x-y+2z=0$ 에 수직이므로 직선에도 수직이다.

따라서

$\begin{aligned} \left< 1\,,\,1\,,\,0\right> \times \left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right> \end{aligned}$

은 $\left< 1,1,0\right>$ 과 $\left< 1,-1,2\right>$ 모두에 수직이다. 그러므로 $\frac{1}{2}\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right>=\left< 1,-1,-1\right>\>$ 도 $\left< 1,1,0\right>$ 과 $\left< 1,-1,2\right>$ 모두에 수직이고, 따라서 직선에 평행하다. 점 $(2,-1,-1)$ 이 직선 위에 있으므로 직선의 벡터 방정식은 다음과 같다.

$\left< x-2,y+1,z+1\right>= t\left< 1,-1,-1\right>$

직선의 스칼라 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} x-2=t,\ y+1=-t,\ z+1=-t \text{또는} x=2+t,\ y=-1-t,\ z=-1-t \end{aligned}$

직선의 대칭 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} (t=)\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{-1} \text{또는} x-2=-y-1=-z-1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

First observe that

$\left< 1,1,0\right>$ is perpendicular to $x+y=0$ and hence to the line, and
$\left< 1,-1,2\right>$ is perpendicular to $x-y+2z=0$ and hence to the line.

Consequently

$\begin{aligned} \left< 1\,,\,1\,,\,0\right> \times \left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right> \end{aligned}$

is perpendicular to both $\left< 1,1,0\right>$ and $\left< 1,-1,2\right>$ . So $\frac{1}{2}\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right>=\left< 1,-1,-1\right>\>$ is also perpendicular to both $\left< 1,1,0\right>$ and $\left< 1,-1,2\right>$ and hence is parallel to the line. As the point $(2,-1,-1)$ is on the line, the vector equation of the line is

$\left< x-2,y+1,z+1\right>= t\left< 1,-1,-1\right>$

The scalar parametric equations for the line are

$\begin{aligned} x-2=t,\ y+1=-t,\ z+1=-t \text{or} x=2+t,\ y=-1-t,\ z=-1-t \end{aligned}$

The symmetric equations for the line are

$\begin{aligned} (t=)\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{-1} \text{or} x-2=-y-1=-z-1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 5번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

1106.CLP-3 · 1.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

직선 $L$ 은 평면 $2x + y - z = 5$ 에 평행하고 직선 $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ , $z = 3t$ 에 수직이다.

(a) 직선 $L$ 에 평행한 벡터를 구하세요. (b) 직선 $L$ 이 점 $Q(a, b, c)$ 를 지난다고 할 때, 직선 $L$ 의 매개변수 방정식을 구하세요. 여기서 $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ 이고, $Q$ 에서 $xy$ –평면, $xz$ –평면, $yz$ –평면까지의 거리는 각각 $2$ , $3$ , $4$ 이다.

영어 원문 보기

Let $L$ be a line which is parallel to the plane $2x + y - z = 5$ and perpendicular to the line $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ and $z = 3t$ .

(a) Find a vector parallel to the line $L$ . (b) Find parametric equations for the line $L$ if $L$ passes through a point $Q(a, b, c)$ where $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , and the distances from $Q$ to the $xy$ –plane, the $xz$ –plane and the $yz$ –plane are $2$ , $3$ and $4$ respectively.

정답·풀이 보기

(a) 직선 $L$ 은 평면 $2x + y - z = 5$ 의 법선 벡터인 $\left< 2\,,\,1\,,\,-1\right>$ 과, 직선 $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ , $z = 3t$ 의 방향 벡터인 $\left< -1\,,\,-2\,,\,3\right>$ 모두에 수직이어야 한다. 이러한 벡터는 모두 다음 벡터에 0이 아닌 상수를 곱한 것이다.

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,1\,,\,-1\right> \times \left< -1\,,\,-2\,,\,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -5 \,,\, -3 \right> \end{aligned}$

(b) 점 $Q(a, b, c)$ 에 대하여

$xy$ –평면까지의 거리가 $2$ 이려면 $|c|=2$ 이어야 하고,
$xz$ –평면까지의 거리가 $3$ 이려면 $|b|=3$ 이어야 하고,
$yz$ –평면까지의 거리가 $4$ 이려면 $|a|=4$ 이어야 한다.

$a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ 이므로 점 $Q$ 는 $(-4, 3, 2)$ 이고 직선 $L$ 은

$x = -4 + t \qquad y = 3 - 5t \qquad z = 2 - 3t$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The line $L$ must be perpendicular both to $\left< 2\,,\,1\,,\,-1\right>$ , which is a normal vector for the plane $2x + y - z = 5$ , and to $\left< -1\,,\,-2\,,\,3\right>$ , which is a direction vector for the line $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ and $z = 3t$ . Any such vector must be a nonzero constant times

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,1\,,\,-1\right> \times \left< -1\,,\,-2\,,\,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -5 \,,\, -3 \right> \end{aligned}$

(b) For the point $Q(a, b, c)$

to be a distance $2$ from the $xy$ –plane, it is necessary that $|c|=2$ , and
to be a distance $3$ from the $xz$ –plane, it is necessary that $|b|=3$ , and
to be a distance $4$ from the $yz$ –plane, it is necessary that $|a|=4$ .

As $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , the point $Q$ is $(-4, 3, 2)$ and the line $L$ is

$x = -4 + t \qquad y = 3 - 5t \qquad z = 2 - 3t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 11번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

1107.CLP-3 · 1.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

$L$ 을 평면 $x + y + z = 6$ 과 $x - y + 2z = 0$ 의 교선이라 하자.

(a) 직선 $L$ 이 좌표평면과 만나는 점을 구하세요. (b) 점 $(10, 11, 13)$ 을 지나고 직선 $L$ 에 수직이며 평면 $y = z$ 에 평행한 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $L$ be the line of intersection of the planes $x + y + z = 6$ and $x - y + 2z = 0$ .

(a) Find the points in which the line $L$ intersects the coordinate planes. (b) Find parametric equations for the line through the point $(10, 11, 13)$ that is perpendicular to the line $L$ and parallel to the plane $y = z$ .

정답·풀이 보기

(a) 직선 $L$ 이 $xy$ 평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , 그리고 $z=0$ 을 만족한다. $z=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $x + y = 6$ , $x - y = 0$ 으로 간단해진다. 따라서 교점은 $(3,3,0)$ 이다.

직선 $L$ 이 $xz$ 평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , 그리고 $y=0$ 을 만족한다. $y=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $x + z = 6$ , $x +2z = 0$ 으로 간단해진다. $x=-2z$ 를 $x+z=6$ 에 대입하면 $-z=6$ 이다. 따라서 교점은 $(12,0,-6)$ 이다.

직선 $L$ 이 $yz$ 평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , 그리고 $x=0$ 을 만족한다. $x=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $y + z = 6$ , $-y +2z = 0$ 으로 간단해진다. $y=2z$ 를 $y+z=6$ 에 대입하면 $3z=6$ 이다. 따라서 교점은 $(0,4,2)$ 이다.

(b) 핵심은 이 직선의 방향벡터 $\mathbf{d}$ 를 구하는 것이다.

직선이 $y=z$ 에 평행해야 하므로, $\mathbf{d}$ 는 $y=z$ 의 법선벡터 $\left< 0,1,-1\right>$ 에 수직이어야 한다.
또한 $\mathbf{d}$ 는 $L$ 에도 수직이어야 한다. 점 $(x,y,z)$ 가 $L$ 위에 있으려면 $x+y = 6-z$ 와 $x-y =-2z$ 를 만족해야 한다. 이 두 식을 더하면 $2x=6-3z$ 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 $2y= 6+z$ 이다. 따라서 점 $(x,y,z)$ 가 $L$ 위에 있으려면 $x=3-\frac{3z}{2}$ , $y=3+\frac{z}{2}$ 를 만족해야 한다. $L$ 위의 점 중 $z=0$ 인 점은 $(3,3,0)$ 이고 $z=2$ 인 점은 $(0,4,2)$ 이다. 따라서 $\left< 0-3,4-3,2-0 \right>=\left< -3,1,2 \right>$ 는 $L$ 의 방향벡터이다.

그러므로 $\mathbf{d}$ 는 $\left< 0,1,-1\right>$ 과 $\left< -3,1,2 \right>$ 모두에 수직이어야 하고, 따라서 다음 벡터의 0이 아닌 상수배이다.

$\begin{aligned} \left< 0,1,-1\right> \times \left< -3,1,2 \right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right> \end{aligned}$

$\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right>=\left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$ 로 택한다. 따라서

$\left< x,y,z\right> = \left< 10,11,13\right> + t \left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$

는 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이다. 이를 $x=10+t$ , $y=11+t$ , $z=13+t$ 로 쓸 수도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The line $L$ intersects the $xy$ –plane when $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , and $z=0$ . When $z=0$ the equations of $L$ reduce to $x + y = 6$ , $x - y = 0$ . So the intersection point is $(3,3,0)$ .

The line $L$ intersects the $xz$ –plane when $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , and $y=0$ . When $y=0$ the equations of $L$ reduce to $x + z = 6$ , $x +2z = 0$ . Substituting $x=-2z$ into $x+z=6$ gives $-z=6$ . So the intersection point is $(12,0,-6)$ .

The line $L$ intersects the $yz$ –plane when $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , and $x=0$ . When $x=0$ the equations of $L$ reduce to $y + z = 6$ , $-y +2z = 0$ . Substituting $y=2z$ into $y+z=6$ gives $3z=6$ . So the intersection point is $(0,4,2)$ .

(b) Our main job is to find a direction vector $\mathbf{d}$ for the line.

Since the line is to be parallel to $y=z$ , $\mathbf{d}$ must be perpendicular to the normal vector for $y=z$ , which is $\left< 0,1,-1\right>$ .
$\mathbf{d}$ must also be perpendicular to $L$ . For a point $(x,y,z)$ to be on $L$ it must obey $x+y = 6-z$ and $x-y =-2z$ . Adding these two equations gives $2x=6-3z$ and subtracting the second equation from the first gives $2y= 6+z$ . So for a point $(x,y,z)$ to be on $L$ it must obey $x=3-\frac{3z}{2}$ , $y=3+\frac{z}{2}$ . The point on $L$ with $z=0$ is $(3,3,0)$ and the point on $L$ with $z=2$ is $(0,4,2)$ . So $\left< 0-3,4-3,2-0 \right>=\left< -3,1,2 \right>$ is a direction vector for $L$ .

So $\mathbf{d}$ must be perpendicular to both $\left< 0,1,-1\right>$ and $\left< -3,1,2 \right>$ and so must be a nonzero constant times

$\begin{aligned} \left< 0,1,-1\right> \times \left< -3,1,2 \right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right> \end{aligned}$

We choose $\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right>=\left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$ . So

$\left< x,y,z\right> = \left< 10,11,13\right> + t \left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$

is a vector parametric equation for the line. We can also write this as $x=10+t$ , $y=11+t$ , $z=13+t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 10번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

1108.CLP-3 · 1.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 두 평면

$x + y + z = 11\qquad \text{그리고}\qquad x - y - z = 13.$

의 교선에 대한 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the parametric equation for the line of intersection of the planes

$x + y + z = 11\qquad \text{and}\qquad x - y - z = 13.$

정답·풀이 보기

$z$ 를 매개변수로 쓰고 $t$ 라 하자. 그러면 $z=t$ 이고

$\begin{aligned} x+y&=11-t \\ x-y&=13+t \end{aligned}$

이다. 두 방정식을 더하면 $2x=24$ 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 $2y=-2-2t$ 이다. 따라서

$(x,y,z) = \big(12\,,\,-1-t\,,\,t\big)$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's use $z$ as the parameter and call it $t$ . Then $z=t$ and

$\begin{aligned} x+y&=11-t \\ x-y&=13+t \end{aligned}$

Adding the two equations gives $2x=24$ and subtracting the second equation from the first gives $2y=-2-2t$ . So

$(x,y,z) = \big(12\,,\,-1-t\,,\,t\big)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 7번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

1109.CLP-3 · 1.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

(a) $(2, 5, -3)$ 과 $(-3, 6, 1)$ 에서 같은 거리에 있는 $y$ 축 위의 점을 구하세요. (b) 점 $(1, 3, 1)$ 과 직선 $\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}}$ 를 포함하는 평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find a point on the y-axis equidistant from $(2, 5, -3)$ and $(-3, 6, 1)$ . (b) Find the equation of the plane containing the point $(1, 3, 1)$ and the line $\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}}$ .

정답·풀이 보기

(a) $y$ 축 위의 점 $(0,y,0)$ 이 $(2, 5, -3)$ 과 $(-3, 6, 1)$ 에서 같은 거리에 있을 필요충분조건은

$\begin{aligned} &\big|\left< 2, 5, -3\right>-\left< 0,y,0\right>\big| =\big|\left< -3, 6, 1\right>-\left< 0,y,0\right>\big| \\ &\iff 2^2+(5-y)^2+(-3)^2=(-3)^2+(6-y)^2+1^2 \\ &\iff 2y=8 \\ &\iff y=4 \end{aligned}$

이다.

(b) 두 점 $(1,3,1)$ 과 $\mathbf{r}(0)=(0,0,2)$ 는 모두 평면 위에 있다. 따라서 두 점을 잇는 벡터 $\left< 1,3,1\right>-\left< 0,0,2\right>=\left< 1,3,-1\right>$ 과 직선의 방향벡터 $\left< 1,1,1\right>$ 은 모두 평면과 평행하다. 그러므로

$\left< 1,3,-1\right>\times \left< 1,1,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&3&-1 \\ 1&1&1 \end{matrix}\right] = \left< 4,-2,-2\right>$

은 평면에 수직이다. 점 $(0,0,2)$ 가 평면 위에 있고 벡터 $\left< 4,-2,-2\right>$ 가 평면에 수직이므로, 평면의 방정식은

$4(x-0)-2(y-0)-2(z-2)=0\text{ 또는 } 2x-y-z=-2$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The point $(0,y,0)$ , on the $y$ –axis, is equidistant from $(2, 5, -3)$ and $(-3, 6, 1)$ if and only if

$\begin{aligned} &\big|\left< 2, 5, -3\right>-\left< 0,y,0\right>\big| =\big|\left< -3, 6, 1\right>-\left< 0,y,0\right>\big| \\ &\iff 2^2+(5-y)^2+(-3)^2=(-3)^2+(6-y)^2+1^2 \\ &\iff 2y=8 \\ &\iff y=4 \end{aligned}$

(b) The points $(1,3,1)$ and $\mathbf{r}(0)=(0,0,2)$ are both on the plane. Hence the vector $\left< 1,3,1\right>-\left< 0,0,2\right>=\left< 1,3,-1\right>$ joining them, and the direction vector of the line, namely $\left< 1,1,1\right>$ are both parallel to the plane. So

$\left< 1,3,-1\right>\times \left< 1,1,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&3&-1 \\ 1&1&1 \end{matrix}\right] = \left< 4,-2,-2\right>$

is perpendicular to the plane. As the point $(0,0,2)$ is on the plane and the vector $\left< 4,-2,-2\right>$ is perpendicular to the plane, the equation of the plane is

$4(x-0)-2(y-0)-2(z-2)=0\text{ or } 2x-y-z=-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 16번

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류

1110.CLP-3 · 1.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

$P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 를 사면체의 꼭짓점이라 하자. 원점에서 $P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 까지의 벡터를 각각 $\mathbf{p},\ \mathbf{q},\ \mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 라 하자. 각 꼭짓점에서 그 마주 보는 면의 무게중심까지 직선을 그린다. 여기서 꼭짓점이 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 인 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 이다. 이 네 직선이 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s}$ ) 에서 만남을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $P,\ Q,\ R$ and $S$ be the vertices of a tetrahedron. Denote by $\mathbf{p},\ \mathbf{q},\ \mathbf{r}$ and $\mathbf{s}$ the vectors from the origin to $P,\ Q,\ R$ and $S$ respectively. A line is drawn from each vertex to the centroid of the opposite face, where the centroid of a triangle with vertices $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ is $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ . Show that these four lines meet at $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s}$ ).

정답·풀이 보기

$\mathbf{p}$ 의 맞은편 면은 꼭짓점이 $\mathbf{q}$ , $\mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 인 삼각형이다. 이 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선의 방향 벡터는 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선 위의 점은 어떤 실수 $t$ 에 대해 다음 꼴이다.

$\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right]$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 $\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right] =\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 직선 위에 있다. 나머지 세 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{x}&=\mathbf{q}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{q}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{r}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{s})-\mathbf{r}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{s}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})-\mathbf{s}\right] \end{aligned}$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 세 식의 우변도 각각 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 가 되므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 세 직선 위에도 각각 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The face opposite $\mathbf{p}$ is the triangle with vertices $\mathbf{q}$ , $\mathbf{r}$ and $\mathbf{s}$ . The centroid of this triangle is $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ . The direction vector of the line through $\mathbf{p}$ and the centroid $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}$ . The points on the line through $\mathbf{p}$ and the centroid $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ are those of the form

$\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right]$

for some real number $t$ . Observe that when $t=\frac{3}{4}$ $\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right] =\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ so that $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is on the line. The other three lines have vector parametric equations

$\begin{aligned} \mathbf{x}&=\mathbf{q}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{q}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{r}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{s})-\mathbf{r}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{s}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})-\mathbf{s}\right] \end{aligned}$

When $t=\frac{3}{4}$ , each of the three right hand sides also reduces to $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ so that $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is also on each of these three lines.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 13번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술도전자동 분류

1111.CLP-3 · 1.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속력을 구하세요.

$\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

옳은 답을 고르세요:

(a) $|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$ (b) $|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}}$ (c) $|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}}$ (d) $|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$ (e) $|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)$

영어 원문 보기

Find the speed of a particle with the given position function

$\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

Select the correct answer:

(a) $|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$ (b) $|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}}$ (c) $|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}}$ (d) $|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$ (e) $|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)$

정답·풀이 보기

다음과 같다.

$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

따라서

$|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}$

$2+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2$ 이므로 답은 (d)이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have

$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

and hence

$|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}$

Since $2+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2$ , that's (d).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 29번

# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류

1112.CLP-3 · 1.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

위치가 $\mathbf{r}(t)$ 인 입자의 시각 $t$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 구하세요. 입자의 경로를 설명하세요. $a>0$ 이라 하세요.

(a) $\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + ct\,\hat{\mathbf{k}}$ (b) $\mathbf{r}(t)= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}$

영어 원문 보기

Find the velocity, speed and acceleration at time $t$ of the particle whose position is $\mathbf{r}(t)$ . Describe the path of the particle. Let $a>0$ .

(a) $\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + ct\,\hat{\mathbf{k}}$ (b) $\mathbf{r}(t)= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}$

정답·풀이 보기

(a) 정의에 의해,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= -a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= \sqrt{a^2+c^2}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

$(x,y)= a(\cos t,\sin t)$ 좌표는 반지름이 $a$ 이고 중심이 $(0,0)$ 인 원을 반시계 방향으로 돈다. $t$ 가 $2\pi$ 증가할 때마다 원을 한 바퀴 돈다. 동시에 $z$ 좌표는 일정한 비율로 증가한다. $(x,y)$ 좌표가 원을 한 바퀴 돌 때마다 $z$ 좌표는 $2 \pi c$ 만큼 증가한다. 경로는 반지름이 $a$ 이고 한 바퀴 돌 때마다 높이가 $2\pi c$ 만큼 올라가는 나선이다.

(b) 정의에 의해,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &= \frac{a}{2} \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\frac{1-\cos 2t}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= a \cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -2a \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2a\cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

다음과 같이 놓자.

$\begin{aligned} x(t)=\tfrac{a}{2} \sin 2t \qquad y(t)=a\tfrac{1-\cos 2t}{2} \qquad z(t)=a\cos t \end{aligned}$

그러면

$\begin{aligned} x(t)^2+\big[y(t)-\tfrac{a}{2}\big]^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t =\tfrac{a^2}{4} \end{aligned}$

이므로 $(x,y)$ 좌표는 반지름이 $\frac{a}{2}$ 이고 중심이 $\big(0,\frac{a}{2}\big)$ 인 원을 반시계 방향으로 돈다. 동시에 $z$ 좌표는 절반의 빠르기로 $1$ 과 $-1$ 사이의 구간에서 진동한다. 사실 이 곡선에 대해서는 더 말할 수 있다.

$\begin{aligned} x(t)^2+y(t)^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4}\big(1-\cos 2t\big)^2 \\ &=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} - \tfrac{a^2}{2}\cos 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t \\ &= \tfrac{a^2}{2} - \tfrac{a^2}{2} (1- 2\sin^2 t) \\ &= a^2\sin^2 t \\ x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 &= a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t =a^2 \end{aligned}$

따라서 이 곡선은 원기둥 $x^2+\big[y-\tfrac{a}{2}\big]^2=\tfrac{a^2}{4}$ 과 구 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 의 교선 위에 놓여 있다. ( $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$ 의 값을 구해 볼 생각을 하지 못했더라도 걱정하지 않아도 된다.)

원본 교재 풀이(영어)

(a) By definition,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= -a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= \sqrt{a^2+c^2}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

The $(x,y)= a(\cos t,\sin t)$ coordinates go around a circle of radius $a$ and centre $(0,0)$ counterclockwise. One circle is completed for each increase of $t$ by $2\pi$ . At the same time, the $z$ coordinate increases at a constant rate. Each time the $(x,y)$ coordinates complete one circle, the $z$ coordinate increases by $2 \pi c$ . The path is a helix with radius $a$ and with each turn having height $2\pi c$ .

(b) By definition,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &= \frac{a}{2} \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\frac{1-\cos 2t}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= a \cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -2a \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2a\cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

Write

$\begin{aligned} x(t)=\tfrac{a}{2} \sin 2t \qquad y(t)=a\tfrac{1-\cos 2t}{2} \qquad z(t)=a\cos t \end{aligned}$

Then

$\begin{aligned} x(t)^2+\big[y(t)-\tfrac{a}{2}\big]^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t =\tfrac{a^2}{4} \end{aligned}$

Thus the $(x,y)$ coordinates go around a circle of radius $\frac{a}{2}$ and centre $\big(0,\frac{a}{2}\big)$ counterclockwise. At the same time the $z$ coordinate oscillates over the interval between $1$ and $-1$ half as fast. In fact, one can say more about the curve.

$\begin{aligned} x(t)^2+y(t)^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4}\big(1-\cos 2t\big)^2 \\ &=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} - \tfrac{a^2}{2}\cos 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t \\ &= \tfrac{a^2}{2} - \tfrac{a^2}{2} (1- 2\sin^2 t) \\ &= a^2\sin^2 t \\ x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 &= a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t =a^2 \end{aligned}$

So our curve lies on the intersection of the cylinder $x^2+\big[y-\tfrac{a}{2}\big]^2=\tfrac{a^2}{4}$ and the sphere $x^2+y^2+z^2=a^2$ . (Don't worry if you didn't think of trying to evaluate $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 28번

# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류

1113.CLP-3 · 1.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 곡선을 생각하세요.

$\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) $t = 0$ 에서 $t = \frac{\pi}{2}$ 까지 곡선의 길이를 구하세요. (b) $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the curve

$\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) Compute the arc length of the curve from $t = 0$ to $t = \frac{\pi}{2}$ . (b) Compute the arc length of the curve from $t = 0$ to $t = \pi$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}$

이므로 $t = 0$ 에서 $t = \frac{\pi}{2}$ 까지 곡선의 길이는

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{여기서 } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}$

이다.

(b) $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이는

$\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{절댓값 기호를 잊지 마세요!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$

이다. 피적분함수가 $t\rightarrow\pi-t$ 에 대해 변하지 않기 때문이다. 따라서 $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이는 (a)에서 구한 곡선의 길이의 2배, 즉 $\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) As

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}$

the arclength from $t = 0$ to $t = \frac{\pi}{2}$ is

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{with } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}$

(b) The arclength from $t = 0$ to $t = \pi$ is

$\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{Don't forget the absolute value signs!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$

since the integrand is invariant under $t\rightarrow\pi-t$ . So the arc length from $t = 0$ to $t = \pi$ is just twice the arc length from part (a), namely $\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 26번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

1114.CLP-3 · 1.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)$ , $t\ge 0$ 이라 하자. 시각 $t$ 에서 곡선의 길이 $s(t$ ) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)$ , $t\ge 0$ . Compute $s(t$ ), the arclength of the curve at time $t$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}$

이므로 곡선의 길이는

$\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}$

the length of the curve is

$\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 19번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

1115.CLP-3 · 1.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

$0 \le a \le t \le b$ 이고 $m > 0$ 일 때, 곡선 $\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)$ 의 길이를 구하세요. 결과를 $m$ , $a$ , $b$ 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve $\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)$ for $0 \le a \le t \le b$ , and where $m > 0$ . Express your result in terms of $m$ , $a$ , and $b$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}$

이므로 곡선의 길이는

$\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{여기서 } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}$

the arc length is

$\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{with } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3장 복습 · 20번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

1116.CLP-3 · 1.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

입자의 질량이 상수 $m$ 이고 위치가 $\mathbf{r}$ 이며 속도 $\mathbf{v}$ 로 움직이고 있다면, 이 입자의 각운동량은 $\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v})$ 이다.

질량이 $m=1$ 이고 위치 함수가 $\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t)$ 인 입자에 대해 $\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

If a particle has constant mass $m$ , position $\mathbf{r}$ , and is moving with velocity $\mathbf{v}$ , then its angular momentum is $\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v})$ .

For a particle with mass $m=1$ and position function $\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t)$ , find $\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

입자의 위치가 주어졌으므로 속도를 구할 수 있다. $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1)$ 주어진 공식을 적용하면, $\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).$

풀이 1: 먼저 외적을 계산한 다음 미분하면 된다.

$\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}$

풀이 2: 곱의 미분법을 이용한다.

$\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Given the position of the particle, we can find its velocity: $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1)$ Applying the given formula, $\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).$

Solution 1: We can first compute the cross product, then differentiate:

$\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}$

Solution 2: Using the product rule:

$\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 27번

# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류

1117.CLP-3 · 1.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

벡터방정식이 다음과 같은 공간곡선 $\Gamma$ 를 생각하세요.

$\mathbf{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t<\infty$

이 곡선은 원점에서 출발하여 결국 방정식이 $2x^2+2y^2+z^2=24$ 인 타원면 $E$ 에 도달한다.

(a) $\Gamma$ 가 $E$ 와 만나는 점 $P$ 의 좌표를 구하세요. (b) 점 $P$ 에서 $\Gamma$ 의 접벡터를 구하세요. (c) $\Gamma$ 는 $E$ 와 직각으로 만나나요? 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the space curve $\Gamma$ whose vector equation is

$\mathbf{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t<\infty$

This curve starts from the origin and eventually reaches the ellipsoid $E$ whose equation is $2x^2+2y^2+z^2=24$ .

(a) Determine the coordinates of the point $P$ where $\Gamma$ intersects $E$ . (b) Find the tangent vector of $\Gamma$ at the point $P$ . (c) Does $\Gamma$ intersect $E$ at right angles? Why or why not?

정답·풀이 보기

(a) 곡선이 $E$ 와 만나는 것은 다음과 같을 때이다.

$2\big(t\sin(\pi t)\big)^2+2\big(t\cos(\pi t)\big)^2 +\big(t^2\big)^2=24 \iff 2t^2+t^4=24 \iff (t^2-4)(t^2+6)=0$

$t>0$ 이어야 하므로 구하는 시각은 $t=2$ 이고, 이에 대응하는 점은 $\mathbf{r}(2)=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$ 이다.

(b)

$\mathbf{r}'(t)=\big[\sin(\pi t)+\pi t\cos(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\cos(\pi t)-\pi t\sin(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2t\hat{\mathbf{k}}$

이므로, 점 $P$ 에서 $\Gamma$ 의 접벡터는 다음의 0이 아닌 임의의 배수이다.

$\mathbf{r}'(2)=2\pi\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

(c) 점 $P$ 에서 $E$ 의 법선벡터는 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} }(2x^2+2y^2+z^2)\big|_{(0,2,4)}= \left< 4x,4y,2z\right>\big|_{(0,2,4)} =\left< 0,8,8\right>$

$\mathbf{r}'(2)$ 와 $\left< 0,8,8\right>$ 는 평행하지 않으므로 $\Gamma$ 와 $E$ 는 직각으로 만나지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The curve intersects $E$ when

$2\big(t\sin(\pi t)\big)^2+2\big(t\cos(\pi t)\big)^2 +\big(t^2\big)^2=24 \iff 2t^2+t^4=24 \iff (t^2-4)(t^2+6)=0$

Since we need $t>0$ , the desired time is $t=2$ and the corresponding point is $\mathbf{r}(2)=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$ .

(b) Since

$\mathbf{r}'(t)=\big[\sin(\pi t)+\pi t\cos(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\cos(\pi t)-\pi t\sin(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2t\hat{\mathbf{k}}$

a tangent vector to $\Gamma$ at $P$ is any nonzero multiple of

$\mathbf{r}'(2)=2\pi\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

(c) A normal vector to $E$ at $P$ is

${ \boldsymbol{\nabla} }(2x^2+2y^2+z^2)\big|_{(0,2,4)}= \left< 4x,4y,2z\right>\big|_{(0,2,4)} =\left< 0,8,8\right>$

Since $\mathbf{r}'(2)$ and $\left< 0,8,8\right>$ are not parallel, $\Gamma$ and $E$ do not intersect at right angles.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 20번

# 벡터함수의 미분과 적분개념 확인보통자동 분류

1118.CLP-3 · 1.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

3차원 공간에서 한 입자가 위치 벡터 $\mathbf{r}(t)$ 로 움직이고, $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ 를 만족한다고 하자. "에너지" $|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2$ 이 상수임(즉, $t$ 에 무관함)을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose a particle in 3-dimensional space travels with position vector $\mathbf{r}(t)$ , which satisfies $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ . Show that the “energy” $|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2$ is constant (that is, independent of $t$ ).

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\big]\\ &=2\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)+2\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}''(t)\\ &=2\mathbf{r}'(t)\cdot\big[\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}''(t)\big]\\ &=0\qquad \text{ since $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ } \end{aligned}$

모든 $t$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big]=0$ 이므로, $|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2$ 은 $t$ 에 무관하다.

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\big]\\ &=2\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)+2\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}''(t)\\ &=2\mathbf{r}'(t)\cdot\big[\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}''(t)\big]\\ &=0\qquad \text{ since $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ } \end{aligned}$

Since $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big]=0$ for all $t$ , $|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2$ is independent of $t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 21번

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

1119.CLP-3 · 1.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

입자가 곡면 $z^2=12y$ 와 $18x=yz$ 의 교선 $\mathcal{C}$ 를 따라 위쪽 방향으로 움직인다. 입자가 $(1,3,6)$ 에 있을 때 속도 $\mathbf{v}$ 와 가속도 $\mathbf{a}$ 는 다음과 같다. $\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) $u=\frac{z}{6}$ 를 매개변수로 사용하여 $\mathcal{C}$ 의 벡터 매개변수 방정식을 쓰세요. (b) $(0,0,0)$ 에서 $(1,3,6)$ 까지 $\mathcal{C}$ 의 길이를 구하세요. (c) $u=u(t)$ 가 시각 $t$ 에서 입자의 위치에 해당하는 매개변수 값일 때, 입자가 $(1,3,6)$ 에 있을 때의 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ 를 구하세요. (d) 입자가 $(1,3,6)$ 에 있을 때의 $\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moves along the curve $\mathcal{C}$ of intersection of the surfaces $z^2=12y$ and $18x=yz$ in the upward direction. When the particle is at $(1,3,6)$ its velocity $\mathbf{v}$ and acceleration $\mathbf{a}$ are given by $\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) Write a vector parametric equation for $\mathcal{C}$ using $u=\frac{z}{6}$ as a parameter. (b) Find the length of $\mathcal{C}$ from $(0,0,0)$ to $(1,3,6)$ . (c) If $u=u(t)$ is the parameter value for the particle's position at time $t$ , find $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ when the particle is at $(1,3,6)$ . (d) Find $\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ when the particle is at $(1,3,6)$ .

정답·풀이 보기

(a) $z=6u$ , $y=\frac{z^2}{12}=3u^2$ , $x=\frac{yz}{18}=u^3$ 이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}$

(b)

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}$

$\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7$

(c) 시각 $t$ 에서 입자의 위치를 $\mathbf{R}(t)$ 라 하자. 그러면 $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ 특히 입자가 시각 $t_1$ 에 $(1,3,6)$ 에 있으면 $u(t_1)=1$ 이고 $6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)$ 이므로 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2$ 이다.

(d) 곱의 미분법과 합성함수의 미분법에 의해 $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ 특히

$\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}$

간단히 하면 $3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $z=6u$ , $y=\frac{z^2}{12}=3u^2$ and $x=\frac{yz}{18}=u^3$ ,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}$

(b)

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}$

$\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7$

(c) Denote by $\mathbf{R}(t)$ the position of the particle at time $t$ . Then $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ In particular, if the particle is at $(1,3,6)$ at time $t_1$ , then $u(t_1)=1$ and $6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)$ which implies that $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2$ .

(d) By the product and chain rules, $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ In particular,

$\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}$

Simplifying $3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 22번

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류

1120.CLP-3 · 1.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

질량이 $m = 1$ 인 입자가 시각 $0$ 에서 위치 $\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ 와 속도 $\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 를 가진다. 이 입자는 다음 힘을 받아 움직인다.

$\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.$

(a) 시각 $t$ 에 따른 입자의 위치 $\mathbf{r}(t)$ 를 구하세요. (b) 시각 $t = 0$ 이후 입자가 평면 $x = 0$ 을 처음으로 지나가는 시각은 언제인지 구하세요. (c) (b)에서 입자가 평면 $x = 0$ 을 지나갈 때의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle of mass $m = 1$ has position $\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ and velocity $\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ at time $0$ . It moves under a force

$\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.$

(a) Determine the position $\mathbf{r}(t)$ of the particle depending on $t$ . (b) At what time after time $t = 0$ does the particle cross the plane $x = 0$ for the first time? (c) What is the velocity of the particle when it crosses the plane $x = 0$ in part (b)?

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 따라

$m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{이므로}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}$

한 번 적분하면

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 $\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다. 따라서 $\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}$ 이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

두 번째로 적분하면

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 (앞의 것과는 다른) 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 $\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ 이다. 따라서 $\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) 입자가 평면 $x=0$ 위에 있는 때는 다음과 같다.

$\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}$

따라서 구하는 시각은 $t=\pi$ 이다.

(c) 시각 $t=\pi$ 에서의 속도는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) According to Newton,

$m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{so that}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}$

Integrating once gives

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}$

for some constant vector $\mathbf{c}$ . We are told that $\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ . This forces $\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}$ so that

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

Integrating a second time gives

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}$

for some (other) constant vector $\mathbf{c}$ . We are told that $\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ . This forces $\mathbf{c}=\mathbf{0}$ so that

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) The particle is in the plane $x=0$ when

$\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}$

So the desired time is $t=\pi$ .

(c) At time $t=\pi$ , the velocity is

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 10번

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류

벡터와 공간 전체 문제