직선과 평면의 방정식 연습문제

81.APEX · 10.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–20번에서, 설명된 평면의 방정식을 표준형과 일반형으로 구하세요.

평행한 두 직선

$\vec\ell_1(t) = \left\langle 1,1,1\right\rangle + t\left\langle 1,2,3\right\rangle$ 과

$\vec\ell_2(t) = \left\langle 1,1,2\right\rangle + t\left\langle 1,2,3\right\rangle$ 을 포함한다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–20, give the equation of the described plane in standard and general forms.

Contains the parallel lines

$\vec\ell_1(t) = \left\langle 1,1,1\right\rangle + t\left\langle 1,2,3\right\rangle$ and

$\vec\ell_2(t) = \left\langle 1,1,2\right\rangle + t\left\langle 1,2,3\right\rangle$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다.

표준형: $2(x-1)-(y-1)=0$

일반형: $2x-y=1$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary;

Standard form: $2(x-1)-(y-1)=0$

general form: $2x-y=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 5번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

82.APEX · 10.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–20번에서, 설명된 평면의 방정식을 표준형과 일반형으로 구하세요.

평행한 두 직선

$\vec\ell_1(t) = \left\langle 1,1,1\right\rangle + t\left\langle 4,1,3\right\rangle$ 과

$\vec\ell_2(t) = \left\langle 4,4,4\right\rangle + t\left\langle 4,1,3\right\rangle$ 을 포함한다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–20, give the equation of the described plane in standard and general forms.

Contains the parallel lines

$\vec\ell_1(t) = \left\langle 1,1,1\right\rangle + t\left\langle 4,1,3\right\rangle$ and

$\vec\ell_2(t) = \left\langle 4,4,4\right\rangle + t\left\langle 4,1,3\right\rangle$ .

정답·풀이 보기

답의 형태는 여러 가지일 수 있다. 법선벡터는 $\left\langle 2,1,-3\right\rangle$ 의 배수이어야 한다.

표준형: $6(x-1)+3(y-1)-9(z-1)=0$

일반형: $6x+3y-9z=0$

원본 교재 풀이(영어)

Answer forms may vary; normal vectors should be multiples of $\left\langle 2,1,-3\right\rangle$ .

Standard form: $6(x-1)+3(y-1)-9(z-1)=0$

general form: $6x+3y-9z=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.3절 · 5번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

83.APEX · 10.6절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–20에서, 설명된 평면의 방정식을 표준형과 일반형으로 나타내세요.

점 $(2,-6,1)$ 을 포함하고 직선

$\ell(t) = \left\{\begin{aligned} x&=2+5t \\ y&=2+2t \\ z&=-1+2t \end{aligned}\right.$

을 포함합니다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–20, give the equation of the described plane in standard and general forms.

Contains the point $(2,-6,1)$ and the line

$\ell(t) = \left\{\begin{aligned} x&=2+5t \\ y&=2+2t \\ z&=-1+2t \end{aligned}\right.$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 있을 수 있다.

표준형: $2(x-2)-(y+6)-4(z-1)=0$

일반형: $2x-y-4z=6$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary;

Standard form: $2(x-2)-(y+6)-4(z-1)=0$

general form: $2x-y-4z=6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 1번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

84.APEX · 10.6절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–20에서, 설명된 평면의 방정식을 표준형과 일반형으로 나타내세요.

점 $(5,7,3)$ 을 포함하고 직선

$\ell(t) = \left\{\begin{aligned} x&=t \\ y&=t \\ z&=t \end{aligned}\right.$

을 포함합니다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–20, give the equation of the described plane in standard and general forms.

Contains the point $(5,7,3)$ and the line

$\ell(t) = \left\{\begin{aligned} x&=t \\ y&=t \\ z&=t \end{aligned}\right.$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 있을 수 있다.

표준형: $4(x-5)-2(y-7)-2(z-3)=0$

일반형: $4x-2y-2z=0$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary;

Standard form: $4(x-5)-2(y-7)-2(z-3)=0$

general form: $4x-2y-2z=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 53번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

85.APEX · 10.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–20번에서, 설명된 평면의 방정식을 표준형과 일반형으로 구하세요.

점 $(5,7,3)$ 을 포함하고 직선

$\vec\ell(t) = \left\langle 4,5,6\right\rangle + t\left\langle 1,1,1\right\rangle$ 에 수직이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–20, give the equation of the described plane in standard and general forms.

Contains the point $(5,7,3)$ and is orthogonal to the line

$\vec\ell(t) = \left\langle 4,5,6\right\rangle + t\left\langle 1,1,1\right\rangle$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다.

표준형: $(x-5)+(y-7)+(z-3)=0$

일반형: $x+y+z=15$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary;

Standard form: $(x-5)+(y-7)+(z-3)=0$

general form: $x+y+z=15$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 33번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

86.APEX · 10.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–20에서, 설명된 평면의 방정식을 표준형과 일반형으로 나타내세요.

점 $(4,1,1)$ 을 포함하고 직선

$\ell(t) = \left\{\begin{aligned} x&=4+4t \\ y&=1+1t \\ z&=1+1t \end{aligned}\right.$

에 수직인 평면입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–20, give the equation of the described plane in standard and general forms.

Contains the point $(4,1,1)$ and is orthogonal to the line

$\ell(t) = \left\{\begin{aligned} x&=4+4t \\ y&=1+1t \\ z&=1+1t \end{aligned}\right.$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 있을 수 있다.

표준형: $4(x-4)+(y-1)+(z-1)=0$

일반형: $4x+y+z=18$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary;

Standard form: $4(x-4)+(y-1)+(z-1)=0$

general form: $4x+y+z=18$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 11번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

87.APEX · 10.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–20에서, 설명하는 평면의 방정식을 표준형과 일반형으로 나타내세요.

점 $(-4,7,2)$ 를 지나고 평면

$3(x-2)+8(y+1) -10z=0$

에 평행한 평면.

영어 원문 보기

In Exercises 7–20, give the equation of the described plane in standard and general forms.

Contains the point $(-4,7,2)$ and is parallel to the plane

$3(x-2)+8(y+1) -10z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다;

표준형: $3(x+4)+8(y-7)-10(z-2)=0$

일반형: $3x+8y-10z=24$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary;

Standard form: $3(x+4)+8(y-7)-10(z-2)=0$

general form: $3x+8y-10z=24$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 11번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

88.APEX · 10.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–20에서, 설명하는 평면의 방정식을 표준형과 일반형으로 나타내세요.

점 $(1,2,3)$ 을 지나고 평면

$x=5$

에 평행한 평면.

영어 원문 보기

In Exercises 7–20, give the equation of the described plane in standard and general forms.

Contains the point $(1,2,3)$ and is parallel to the plane

$x=5$ .

정답·풀이 보기

표준형: $x-1=0$

일반형: $x=1$

원본 교재 풀이(영어)

Standard form: $x-1=0$

general form: $x=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 45번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

89.APEX · 10.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–22에서, 주어진 두 평면의 교선인 직선의 방정식을 구하세요.

$p1:\ 3 (x - 2) + (y - 1) + 4 z=0$ , 그리고

$p2:\ 2 (x - 1) - 2 (y + 3) + 6 (z - 1)=0$ .

영어 원문 보기

In Exercises 21–22, give the equation of the line that is the intersection of the given planes.

$p1:\ 3 (x - 2) + (y - 1) + 4 z=0$ , and

$p2:\ 2 (x - 1) - 2 (y + 3) + 6 (z - 1)=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다:

$\ell = \left\{\begin{aligned} x &= 14t\\ y &= -1-10t\\ z&= 2-8t\end{aligned} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary:

$\ell = \left\{\begin{aligned} x &= 14t\\ y &= -1-10t\\ z&= 2-8t\end{aligned} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 8번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

90.APEX · 10.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–22에서, 주어진 두 평면의 교선인 직선의 방정식을 구하세요.

$p1:\ 5 (x - 5) + 2 (y + 2) + 4 (z - 1)=0$ , 그리고

$p2:\ 3 x - 4 (y - 1) + 2 (z - 1)=0$ .

영어 원문 보기

In Exercises 21–22, give the equation of the line that is the intersection of the given planes.

$p1:\ 5 (x - 5) + 2 (y + 2) + 4 (z - 1)=0$ , and

$p2:\ 3 x - 4 (y - 1) + 2 (z - 1)=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다:

$\ell = \left\{\begin{aligned} x &=1+20t\\ y &= 3+2t\\ z&= 3.5-26t\end{aligned} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary:

$\ell = \left\{\begin{aligned} x &=1+20t\\ y &= 3+2t\\ z&= 3.5-26t\end{aligned} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.3절 · 1번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

91.APEX · 10.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 직선과 평면이 만나는 점을 구하세요.

직선: $\left\langle 5,1,-1\right\rangle + t\left\langle 2,2,1\right\rangle$ ,

평면: $5x-y-z=-3$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, find the point of intersection between the line and the plane.

line: $\left\langle 5,1,-1\right\rangle + t\left\langle 2,2,1\right\rangle$ ,

plane: $5x-y-z=-3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(-3,-7,-5)$

원본 교재 풀이(영어)

$(-3,-7,-5)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 59번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

92.APEX · 10.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 직선과 평면이 만나는 점을 구하세요.

직선: $\left\langle 4,1,0\right\rangle + t\left\langle 1,0,-1\right\rangle$ ,

평면: $3x+y-2z=8$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, find the point of intersection between the line and the plane.

line: $\left\langle 4,1,0\right\rangle + t\left\langle 1,0,-1\right\rangle$ ,

plane: $3x+y-2z=8$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(3,1,1)$

원본 교재 풀이(영어)

$(3,1,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 12번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

93.APEX · 10.6절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 직선과 평면이 만나는 점을 구하세요.

직선: $\left\langle 1,2,3\right\rangle + t\left\langle 3,5,-1\right\rangle$ ,

평면: $3x-2y-z=4$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, find the point of intersection between the line and the plane.

line: $\left\langle 1,2,3\right\rangle + t\left\langle 3,5,-1\right\rangle$ ,

plane: $3x-2y-z=4$

정답·풀이 보기

교점이 없다. 평면과 직선이 평행하다.

원본 교재 풀이(영어)

No point of intersection; the plane and line are parallel.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 59번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

94.APEX · 10.6절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 직선과 평면이 만나는 점을 구하세요.

직선: $\left\langle 1,2,3\right\rangle + t\left\langle 3,5,-1\right\rangle$ ,

평면: $3x-2y-z=-4$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, find the point of intersection between the line and the plane.

line: $\left\langle 1,2,3\right\rangle + t\left\langle 3,5,-1\right\rangle$ ,

plane: $3x-2y-z=-4$

정답·풀이 보기

평면이 직선을 포함하므로 직선 위의 모든 점이 "교점"이다.

원본 교재 풀이(영어)

The plane contains the line, so every point on the line is a “point of intersection.”

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 23번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

95.APEX · 10.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 거리를 구하세요.

점 $(1,2,3)$ 에서 평면

$3(x-1)+(y-2)+5(z-2)=0$ 까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find the given distances.

The distance from the point $(1,2,3)$ to the plane

$3(x-1)+(y-2)+5(z-2)=0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\sqrt{5/7}$

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{5/7}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 29번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

96.APEX · 10.6절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30번에서 주어진 거리를 구하세요.

점 $(2,6,2)$ 에서 평면

$2(x-1)-y+4(z+1)=0$ 까지의 거리.

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find the given distances.

The distance from the point $(2,6,2)$ to the plane

$2(x-1)-y+4(z+1)=0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8/\sqrt{21}$

원본 교재 풀이(영어)

$8/\sqrt{21}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 1번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

97.APEX · 10.6절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30번에서 주어진 거리를 구하세요.

평행한 두 평면

$x+y+z=0$ 과

$(x-2)+(y-3)+(z+4)=0$ 사이의 거리

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find the given distances.

The distance between the parallel planes

$x+y+z=0$ and

$(x-2)+(y-3)+(z+4)=0$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1/\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$1/\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 7번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

98.APEX · 10.6절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30번에서 주어진 거리를 구하세요.

평행한 두 평면

$2(x-1)+2(y+1)+(z-2)=0$ 과

$2(x-3)+2(y-1)+(z-3)=0$ 사이의 거리

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find the given distances.

The distance between the parallel planes

$2(x-1)+2(y+1)+(z-2)=0$ and

$2(x-3)+2(y-1)+(z-3)=0$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$3$

원본 교재 풀이(영어)

$3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 15번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

99.APEX · 10.6절 · 31번대학 수준우리말 번역

점 $Q$ 가 평면 위에 있으면 거리 공식이 점과 평면 사이의 거리를 올바르게 $0$ 으로 준다는 것을 보이세요.

영어 원문 보기

Show why if the point $Q$ lies in a plane, then the distance formula correctly gives the distance from the point to the plane as $0$ .

정답·풀이 보기

$P$ 가 평면 위의 임의의 점이고 $Q$ 도 평면 위에 있으면, $\overrightarrow{PQ}$ 는 평면과 평행하고 법선벡터 $\vec n$ 과 수직이다. 따라서 $\vec n\cdot \overrightarrow{PQ}=0$ 이므로 거리는 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $P$ is any point in the plane, and $Q$ is also in the plane, then $\overrightarrow{PQ}$ lies parallel to the plane and is orthogonal to $\vec n$ , the normal vector. Thus $\vec n\cdot \overrightarrow{PQ}=0$ , giving the distance as 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 14번

# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류

100.CLP-3 · 1.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\mathbb R^2$ 에서 직선이 방향 $\mathbf d$ 를 가지고 점 $\mathbf c$ 를 지납니다.

다음 중 이 직선의 매개변수 방정식은 $\left< x,y\right> =\mathbf c + t\mathbf d$ 와 $\left< x,y\right> =\mathbf c - t\mathbf d$ 중 어느 것인가요?

영어 원문 보기

A line in $\mathbb R^2$ has direction $\mathbf d$ and passes through point $\mathbf c$ .

Which of the following gives its parametric equation: $\left< x,y\right> =\mathbf c + t\mathbf d$ , or $\left< x,y\right> =\mathbf c - t\mathbf d$ ?

정답·풀이 보기

$t$ 는 어떤 실수라도 될 수 있으므로 두 방정식은 같은 직선을 나타낸다. 둘 다 옳다. 예를 들어, 첫 번째 매개변수 방정식에서 $t=7$ 일 때의 점, 즉 $\mathbf c + 7\mathbf d$ 는 두 번째 매개변수 방정식에서 $t=-7$ 일 때의 점, 즉 $\mathbf c -(-7)\mathbf d$ 와 정확히 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $t$ can be any real number, these equation describe the same line. They're both valid. For example, the point given by the first parametric equation with $t=7$ , namely $\mathbf c + 7\mathbf d$ , is exactly the same as the point given by the second parametric equation with $t=-7$ , namely $\mathbf c -(-7)\mathbf d$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 18번

# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류