벡터와 공간 전체 연습문제

1061.CLP-3 · 1.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 명제를 생각하세요: " $\mathbf{a}\ne\mathbf{0}$ 이고 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ 이면 $\mathbf{b}=\mathbf{c}$ 이다." 이 명제가 참이면 증명하세요. 거짓이면 반례를 드세요.

영어 원문 보기

Consider the following statement: “If $\mathbf{a}\ne\mathbf{0}$ and if $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ then $\mathbf{b}=\mathbf{c}$ .” If the statment is true, prove it. If the statement is false, give a counterexample.

정답·풀이 보기

이 명제는 거짓이다. 두 수 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ , $\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ 가 같을 필요충분조건은 $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})= 0$ 이다. 이는 다시 $\mathbf{a}$ 가 $\mathbf{b}-\mathbf{c}$ 와 수직인 것과 필요충분조건이다( $\mathbf{0}$ 은 모든 벡터와 수직이라는 약속에 따른다). 예를 들어 $\mathbf{a}=\left< 1,0,0\right>$ , $\mathbf{b}=\left< 0,1,0\right> ,\ \mathbf{c}=\left< 0,0,1\right>$ 이면 $\mathbf{b}-\mathbf{c}=\left< 0,1,-1\right>$ 은 $\mathbf{a}$ 와 수직이므로 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This statement is false. The two numbers $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ , $\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ are equal if and only if $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})= 0$ . This in turn is the case if and only if $\mathbf{a}$ is perpendicular to $\mathbf{b}-\mathbf{c}$ (under the convention that $\mathbf{0}$ is perpendicular to all vectors). For example, if $\mathbf{a}=\left< 1,0,0\right>$ , $\mathbf{b}=\left< 0,1,0\right> ,\ \mathbf{c}=\left< 0,0,1\right>$ , then $\mathbf{b}-\mathbf{c}=\left< 0,1,-1\right>$ is perpendicular to $\mathbf{a}$ so that $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 16번

# 벡터의 연산증명·논술기본자동 분류

1062.CLP-3 · 1.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 명제를 생각하세요. "벡터 $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$ 는 어떤 실수 $\alpha$ 와 $\beta$ 에 대해 $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ 의 꼴이다." 이 명제가 참이면 증명하세요. 거짓이면 반례를 드세요.

영어 원문 보기

Consider the following statement: “The vector $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$ is of the form $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ for some real numbers $\alpha$ and $\beta$ .” If the statement is true, prove it. If the statement is false, give a counterexample.

정답·풀이 보기

이 명제는 참이다. $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 가 평행한 경우에는 $\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 이므로 $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{0}=0\mathbf{b}+0\mathbf{c}$ 이다. 따라서 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 가 평행하지 않다고 가정해도 된다. 그러면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 $\mathbb{R}$ 전체를 움직일 때, 벡터 $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ 는 원점과 벡터 $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 를 포함하는 평면 위를 움직인다. 이 평면을 $P$ 라 하자. $\mathbf{d}=\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 는 영벡터가 아니고 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 모두에 수직이므로, $P$ 는 원점을 포함하고 $\mathbf{d}$ 에 수직인 평면이다. $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{d}$ 는 언제나 $\mathbf{d}$ 에 수직이므로 $P$ 위에 놓인다.

원본 교재 풀이(영어)

This statement is true. In the event that $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ are parallel, $\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\mathbf{0}$ so that $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{0}=0\mathbf{b}+0\mathbf{c}$ , so we may assume that $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ are not parallel. Then as $\alpha$ and $\beta$ run over $\mathbb{R}$ , the vector $\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$ runs over the plane that contains the origin and the vectors $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ . Call this plane $P$ . Because $\mathbf{d}=\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ is nonzero and perpendicular to both $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ , $P$ is the plane that contains the origin and is perpendicular to $\mathbf{d}$ . As $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{d}$ is always perpendicular to $\mathbf{d}$ , it lies in $P$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 8번

# 벡터의 연산증명·논술기본자동 분류

1063.CLP-3 · 1.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\left< 1,2,3\right>$ 로부터 어떤 기하학적 결론을 이끌어 낼 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

What geometric conclusions can you draw from $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\left< 1,2,3\right>$ ?

정답·풀이 보기

없다. 주어진 등식은 말이 되지 않는다. 좌변은 수이고 우변은 벡터이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

None. The given equation is nonsense. The left hand side is a number while the right hand side is a vector.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 10번

# 벡터의 연산계산기본자동 분류

1064.CLP-3 · 1.2절 · 16번대학 수준우리말 번역

구의 지름 하나의 양 끝점이 $(2,1,4)$ 와 $(4,3,10)$ 일 때, 이 구의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of a sphere if one of its diameters has end points $(2,1,4)$ and $(4,3,10)$ .

정답·풀이 보기

구의 중심은 $\tfrac{1}{2}\big\{(2,1,4)+(4,3,10)\big\}=(3,2,7)$ 이다. 지름(즉 반지름의 2배)은 $|(2,1,4)-(4,3,10)|=|(-2,-2,-6)|=2|(1,1,3)|=2\sqrt{11}$ 이다. 따라서 구의 반지름은 $\sqrt{11}$ 이고 구의 방정식은 다음과 같다.

$(x-3)^2+(y-2)^2+(z-7)^2=11$

원본 교재 풀이(영어)

The center of the sphere is $\tfrac{1}{2}\big\{(2,1,4)+(4,3,10)\big\}=(3,2,7)$ . The diameter (i.e. twice the radius) is $|(2,1,4)-(4,3,10)|=|(-2,-2,-6)|=2|(1,1,3)|=2\sqrt{11}$ . So the radius of the sphere is $\sqrt{11}$ and the equation of the sphere is

$(x-3)^2+(y-2)^2+(z-7)^2=11$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 17번

# 벡터의 연산계산보통자동 분류

1065.CLP-3 · 1.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

벡터를 이용하여 삼각형의 두 변의 중점을 잇는 선분이 나머지 한 변과 평행하고 그 길이가 나머지 한 변의 길이의 절반임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Use vectors to prove that the line joining the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half its length.

정답·풀이 보기

삼각형의 꼭짓점을 $A$ , $B$ , $C$ 라 하고, $C$ 는 두 변이 만나는 꼭짓점이라 하자. 좌표계는 언제든지 $C$ 가 원점에 오도록 잡을 수 있다. $C$ 에서 $A$ 로 향하는 벡터를 $\mathbf{a}$ , $C$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터를 $\mathbf{b}$ 라 하자.

그러면 $C$ 에서 $C$ 와 $A$ 를 잇는 변의 중점으로 향하는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ 이고,
$C$ 에서 $C$ 와 $B$ 를 잇는 변의 중점으로 향하는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ 이므로,
두 중점을 잇는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ 이다.

$A$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터는 $\mathbf{b}-\mathbf{a}=2\big[\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\big]$ 이므로, 두 중점을 잇는 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 절반이다.

원본 교재 풀이(영어)

Call the vertices of the triangle $A$ , $B$ and $C$ with $C$ being the vertex that joins the two sides. We can always choose our coordinate system so that $C$ is at the origin. Let $\mathbf{a}$ be the vector from $C$ to $A$ and $\mathbf{b}$ be the vector from $C$ to $B$ .

Then the vector from $C$ to the midpoint of the side from $C$ to $A$ is $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ and
the vector from $C$ to the midpoint of the side from $C$ to $B$ is $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ so that
the vector joining the two midpoints is $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ .

As the vector from $A$ to $B$ is $\mathbf{b}-\mathbf{a}=2\big[\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\big]$ , the line joining the midpoints is indeed parallel to the third side and half its length.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 7번

# 벡터의 연산증명·논술보통자동 분류

1066.CLP-3 · 1.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 정의된 평면 $W$ 를 생각하세요.

$W\ :\ -x + 3y + 3z = 6,\qquad$

$W$ 위에서 $0 \le x \le 3$ , $0 \le y \le 2$ 로 정의되는 평행사변형의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the plane $W$ , defined by:

$W\ :\ -x + 3y + 3z = 6,\qquad$

Find the area of the parallelogram on $W$ defined by $0 \le x \le 3$ , $0 \le y \le 2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

다음에 유의한다.

$W$ 위의 점 중 $x=0$ , $y=0$ 인 점은 $-0+3(0)+3z=6$ 을 만족시키므로 $z=2$ 이다.
$W$ 위의 점 중 $x=0$ , $y=2$ 인 점은 $-0+3(2)+3z=6$ 을 만족시키므로 $z=0$ 이다.
$W$ 위의 점 중 $x=3$ , $y=0$ 인 점은 $-3+3(0)+3z=6$ 을 만족시키므로 $z=3$ 이다.
$W$ 위의 점 중 $x=3$ , $y=2$ 인 점은 $-3+3(2)+3z=6$ 을 만족시키므로 $z=1$ 이다.

따라서 평행사변형의 네 꼭짓점은 $(0,0,2)$ , $(0,2,0)$ , $(3,0,3)$ , $(3,2,1)$ 이다. 벡터

$\begin{aligned} \mathbf{d}_1&=\left< 0-0 \,,\, 2-0 \,,\, 0-2 \right> = \left< 0 \,,\, 2 \,,\, -2\right> \\ \mathbf{d}_2&=\left< 3-0 \,,\, 0-0 \,,\, 3-2 \right> = \left< 3 \,,\, 0 \,,\, 1\right> \end{aligned}$

는 평행사변형의 두 변을 이룬다. 따라서 평행사변형의 넓이는

$\begin{aligned} \big|\mathbf{d}_1\times\mathbf{d}_2\big| =\left|\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\right| =\left| 2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - 6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -6\hat{\mathbf{k}} \right| =\sqrt{76} =2\sqrt{19} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Note that

the point on $W$ with $x=0$ , $y=0$ obeys $-0+3(0)+3z=6$ and so has $z=2$
the point on $W$ with $x=0$ , $y=2$ obeys $-0+3(2)+3z=6$ and so has $z=0$
the point on $W$ with $x=3$ , $y=0$ obeys $-3+3(0)+3z=6$ and so has $z=3$
the point on $W$ with $x=3$ , $y=2$ obeys $-3+3(2)+3z=6$ and so has $z=1$

So the four corners of the parallelogram are $(0,0,2)$ , $(0,2,0)$ , $(3,0,3)$ and $(3,2,1)$ . The vectors

$\begin{aligned} \mathbf{d}_1&=\left< 0-0 \,,\, 2-0 \,,\, 0-2 \right> = \left< 0 \,,\, 2 \,,\, -2\right> \\ \mathbf{d}_2&=\left< 3-0 \,,\, 0-0 \,,\, 3-2 \right> = \left< 3 \,,\, 0 \,,\, 1\right> \end{aligned}$

form two sides of the paralleogram. So the area of the parallelogram is

$\begin{aligned} \big|\mathbf{d}_1\times\mathbf{d}_2\big| =\left|\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\right| =\left| 2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - 6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -6\hat{\mathbf{k}} \right| =\sqrt{76} =2\sqrt{19} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2장 복습 · 15번

# 벡터의 연산활용보통자동 분류

1067.CLP-3 · 1.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{u}=-2\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $\mathbf{v}=\alpha \hat{\boldsymbol{\imath}}-2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 라 하자. 다음을 만족시키는 $\alpha$ 를 구하세요.

(a) $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$ (b) $\mathbf{u} \| \mathbf{v}$ (c) $\mathbf{u}$ 와 $\mathbf{v}$ 가 이루는 각이 $60^\circ$ 이다.

영어 원문 보기

Let $\mathbf{u}=-2\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ and $\mathbf{v}=\alpha \hat{\boldsymbol{\imath}}-2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ . Find $\alpha$ so that

(a) $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$ (b) $\mathbf{u} \| \mathbf{v}$ (c) The angle between $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ is $60^\circ$ .

정답·풀이 보기

(a) $0=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10$ 이어야 하므로 $\alpha =-5$ 이다.

(b) $-2/\alpha =5/(-2)$ 이어야 하므로 $\alpha =0.8$ 이다.

(c) $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10 =|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\cos 60^\circ =\sqrt{29}\,\sqrt{\alpha ^2+4}\,\tfrac{1}{2}$ 이어야 한다. 양변을 제곱하면

$\begin{aligned} & & 4\alpha ^2+40\alpha +100&=\frac{29}{4}(\alpha ^2+4) \\ &\implies\quad & 13\alpha ^2-160\alpha -284&=0 \\ &\implies\quad & \alpha &=\frac{160\pm\sqrt{160^2+4\times13\times284}}{26} \approx 13.88\text{ 또는 }-1.574 \end{aligned}$

이 두 $\alpha$ 값 모두 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0$ 이므로 조건을 만족시키는 $\alpha$ 는 없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We want $0=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10$ or $\alpha =-5$ .

(b) We want $-2/\alpha =5/(-2)$ or $\alpha =0.8$ .

(c) We want $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10 =|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\cos 60^\circ =\sqrt{29}\,\sqrt{\alpha ^2+4}\,\tfrac{1}{2}$ . Squaring both sides gives

$\begin{aligned} & & 4\alpha ^2+40\alpha +100&=\frac{29}{4}(\alpha ^2+4) \\ &\implies\quad & 13\alpha ^2-160\alpha -284&=0 \\ &\implies\quad & \alpha &=\frac{160\pm\sqrt{160^2+4\times13\times284}}{26} \approx 13.88\text{ or }-1.574 \end{aligned}$

Both of these $\alpha$ 's give $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0$ so no $\alpha$ works.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.1절 · 17번

# 벡터의 연산계산보통자동 분류

1068.CLP-3 · 1.2절 · 25번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{a}=\left< 1,2,3\right>$ , $\mathbf{b}=\left< 4,10,6\right>$ 이라 하자.

(a) $\mathbf{a}$ 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 성분을 구하세요. (b) $\mathbf{a}$ 위로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영을 구하세요. (c) $\mathbf{a}$ 에 수직인 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영을 구하세요.

영어 원문 보기

Define $\mathbf{a}=\left< 1,2,3\right>$ and $\mathbf{b}=\left< 4,10,6\right>$ .

(a) Find the component of $\mathbf{b}$ in the direction $\mathbf{a}$ . (b) Find the projection of $\mathbf{b}$ on $\mathbf{a}$ . (c) Find the projection of $\mathbf{b}$ perpendicular to $\mathbf{a}$ .

정답·풀이 보기

(a) $\mathbf{a}$ 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 성분은 $\mathbf{b}\cdot\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} =\frac{1\times 4+2\times 10+3\times 6}{\sqrt{1+4+9}} =\text{$\frac{42}{\sqrt{14}}$}$ 이다.

(b) $\mathbf{a}$ 위로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영은 길이가 $42/\sqrt{14}$ 이고 방향이 $\mathbf{a}/|\mathbf{a}|$ 인 벡터, 즉 $\frac{42}{14}\left< 1,2,3\right>=\left< 3,6,9\right>$ 이다.

(c) $\mathbf{a}$ 에 수직인 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영은 $\mathbf{b}$ 에서 $\mathbf{a}$ 위로의 정사영을 뺀 벡터, 즉 $\left< 4,10,6\right>-\left< 3,6,9\right>=\left< 1,4,-3\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The component of $\mathbf{b}$ in the direction $\mathbf{a}$ is $\mathbf{b}\cdot\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} =\frac{1\times 4+2\times 10+3\times 6}{\sqrt{1+4+9}} =\text{$\frac{42}{\sqrt{14}}$}$

(b) The projection of $\mathbf{b}$ on $\mathbf{a}$ is a vector of length $42/\sqrt{14}$ in direction $\mathbf{a}/|\mathbf{a}|$ , namely $\frac{42}{14}\left< 1,2,3\right>=\left< 3,6,9\right>$ .

(c) The projection of $\mathbf{b}$ perpendicular to $\mathbf{a}$ is $\mathbf{b}$ minus its projection on $\mathbf{a}$ , namely $\left< 4,10,6\right>-\left< 3,6,9\right>=\left< 1,4,-3\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2장 복습 · 11번

# 벡터의 연산계산보통자동 분류

1069.CLP-3 · 1.2절 · 26번대학 수준우리말 번역

$\left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right>$ 을 계산하세요.

영어 원문 보기

Compute $\left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right>$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right> &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&2&3 \\ 4&5&6\end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}\,(2\times 6-3\times 5) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,(1\times 6-3\times 4) +\hat{\mathbf{k}}\,(1\times 5-2\times 4) \\ &=-3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right> &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&2&3 \\ 4&5&6\end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}\,(2\times 6-3\times 5) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,(1\times 6-3\times 4) +\hat{\mathbf{k}}\,(1\times 5-2\times 4) \\ &=-3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.1절 · 11번

# 벡터의 연산계산보통자동 분류

1070.CLP-3 · 1.2절 · 30번대학 수준우리말 번역

단위 질량의 입자 $P$ 의 시각 $t$ 에서의 공간상 위치가 $\mathbf{r}(t)$ 일 때, 이 입자의 각운동량은 $L(t)=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)$ 이다. 어떤 스칼라 함수 $\rho$ 에 대해 $\mathbf{r}''(t)=\rho(t)\mathbf{r}(t)$ 이면, $L$ 이 상수, 즉 시간에 따라 변하지 않음을 보이세요. 여기서 $'$ 은 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 를 뜻한다.

영어 원문 보기

A particle $P$ of unit mass whose position in space at time $t$ is $\mathbf{r}(t)$ has angular momentum $L(t)=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)$ . If $\mathbf{r}''(t)=\rho(t)\mathbf{r}(t)$ for a scalar function $\rho$ , show that $L$ is constant, i.e. does not change with time. Here $'$ denotes $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ .

정답·풀이 보기

$L$ 의 도함수는

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)\big) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}''(t) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\big(\rho(t)\mathbf{r}(t)\big) \end{aligned}$

이다. 평행한 두 벡터의 외적은 영벡터이므로 두 항이 모두 0이 된다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=0$ 이고, $L(t)$ 는 $t$ 에 관계없이 일정하다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of $L$ is

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)\big) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}''(t) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\big(\rho(t)\mathbf{r}(t)\big) \end{aligned}$

Both terms vanish because the cross product of any two parallel vectors is zero. So $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=0$ and $L(t)$ is independent of $t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 26번

# 벡터의 연산증명·논술보통자동 분류

1071.CLP-3 · 1.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the diagonals of a parallelogram bisect each other.

정답·풀이 보기

벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 로 결정되는 평행사변형의 꼭짓점은 $\mathbf{0},\ \mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 이다. $t$ 가 $0$ 에서 $1$ 까지 변할 때, $t(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 는 $\mathbf{0}$ 에서 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 까지의 대각선을 지난다. $s$ 가 $0$ 에서 $1$ 까지 변할 때, $\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ 는 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 까지의 대각선을 지난다. 이 두 직선은 $s$ 와 $t$ 가 다음을 만족할 때 만난다.

$t(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

즉

$(t+s-1)\mathbf{a}=(s-t)\mathbf{b}$

$\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 평행하지 않다고 가정하면(즉 평행사변형이 선분으로 퇴화하지 않았다면), 이는 $t+s-1=0$ 이고 $s-t=0$ 일 때에만 성립한다. 즉 $s=t=\tfrac{1}{2}$ 이다. 따라서 두 직선은 각각의 중점에서 만난다.

원본 교재 풀이(영어)

The parallelogram determined by the vectors $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ has vertices $\mathbf{0},\ \mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ . As $t$ varies from $0$ to $1$ , $t(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ traverses the diagonal from $\mathbf{0}$ to $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ . As $s$ varies from $0$ to $1$ , $\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ traverses the diagonal from $\mathbf{a}$ to $\mathbf{b}$ . These two straight lines meet when $s$ and $t$ are such that

$t(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

or

$(t+s-1)\mathbf{a}=(s-t)\mathbf{b}$

Assuming that $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ are not parallel (i.e. the parallelogram has not degenerated to a line segment), this is the case only when $t+s-1=0$ and $s-t=0$ . That is, $s=t=\tfrac{1}{2}$ . So the two lines meet at their midpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 25번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

1072.CLP-3 · 1.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

한 모서리의 길이가 $s$ 인 정육면체를 생각하세요. 정육면체 아래쪽의 네 꼭짓점을 차례로 $A, B, C, D$ 라 하고, 위쪽의 대응하는 네 꼭짓점을 $A', B', C', D'$ 이라 하세요.

(a) 사면체 $A'C'BD$ 의 모든 모서리의 길이가 같음을 보이세요. (b) $E$ 를 정육면체의 중심이라 할 때, $EA$ 와 $EC$ 가 이루는 각을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider a cube such that each side has length $s$ . Name, in order, the four vertices on the bottom of the cube $A, B, C, D$ and the corresponding four vertices on the top of the cube $A', B', C', D'$ .

(a) Show that all edges of the tetrahedron $A'C'BD$ have the same length. (b) Let $E$ be the center of the cube. Find the angle between $EA$ and $EC$ .

정답·풀이 보기

좌표축을 $A=(0,0,0)$ , $B=(s,0,0)$ , $C=(s,s,0)$ , $D=(0,s,0)$ 이고 $A'=(0,0,s)$ , $B'=(s,0,s)$ , $C'=(s,s,s)$ , $D'=(0,s,s)$ 가 되도록 잡을 수 있다.

(a) 그러면

$\begin{aligned} |A'C'|&=\big|\left< s,s,s\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,-s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< -s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |BD|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,0,0\right> \big| &&=\big|\left< -s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s \end{aligned}$

(b) $E=\tfrac{1}{2}(s,s,s)$ 이므로 $EA=\left< 0,0,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =-\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right>$ 이고 $EC=\left< s,s,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =\tfrac{1}{2}\left< s,s,-s\right>$ 이다. $\cos\theta =\frac{-\left< s,s,s\right> \cdot\left< s,s,-s\right>} {|\left< s,s,s\right> |\,|\left< s,s,-s\right> |} =\frac{-s^2}{3s^2} =-\frac{1}{3} \qquad \implies\quad \theta=109.5^\circ$

원본 교재 풀이(영어)

We may choose our coordinate axes so that $A=(0,0,0)$ , $B=(s,0,0)$ , $C=(s,s,0)$ , $D=(0,s,0)$ and $A'=(0,0,s)$ , $B'=(s,0,s)$ , $C'=(s,s,s)$ , $D'=(0,s,s)$ .

(a) Then

$\begin{aligned} |A'C'|&=\big|\left< s,s,s\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,-s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< -s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |BD|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,0,0\right> \big| &&=\big|\left< -s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s \end{aligned}$

(b) $E=\tfrac{1}{2}(s,s,s)$ so that $EA=\left< 0,0,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =-\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right>$ and $EC=\left< s,s,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =\tfrac{1}{2}\left< s,s,-s\right>$ . $\cos\theta =\frac{-\left< s,s,s\right> \cdot\left< s,s,-s\right>} {|\left< s,s,s\right> |\,|\left< s,s,-s\right> |} =\frac{-s^2}{3s^2} =-\frac{1}{3} \qquad \implies\quad \theta=109.5^\circ$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 24번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

1073.CLP-3 · 1.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

정육면체의 대각선과 그 면 중 한 면의 대각선 사이의 각을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the angle between the diagonal of a cube and the diagonal of one of its faces.

정답·풀이 보기

정육면체의 높이, 길이, 너비가 $s$ 라고 하자. 정육면체의 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(s,0,0)$ , $(0,s,0)$ , $(0,0,s)$ , $(s,s,0)$ , $(0,s,s)$ , $(s,0,s)$ , $(s,s,s)$ 에 오도록 좌표축을 잡을 수 있다.

먼저 몇 가지 예를 살펴보자. $(0,0,0)$ 에서 $(s,s,s)$ 까지의 대각선은 $\left< s,s,s\right>$ 이다. 정육면체의 한 면은 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(s,0,0)$ , $(0,s,0)$ , $(s,s,0)$ 이다. 이 면의 한 대각선은 $(0,0,0)$ 에서 $(s,s,0)$ 까지이므로 $\left< s,s,0\right>$ 이다. $\left< s,s,s\right>$ 와 $\left< s,s,0\right>$ 사이의 각은

$\begin{aligned} \cos^{-1}\left(\frac{\left< s,s,s\right>\cdot\left< s,s,0\right>} {|\left< s,s,s\right>|\,|\left< s,s,0\right>|}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{2s^2}{\sqrt{3}s\,\sqrt{2}s}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)\approx 35.26^\circ \end{aligned}$

꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(s,0,0)$ , $(0,s,0)$ , $(s,s,0)$ 인 면의 다른 대각선은 $(s,0,0)$ 에서 $(0,s,0)$ 까지의 대각선이다. 이 대각선은 $\left< -s,s,0\right>$ 이다. $\left< s,s,s\right>$ 와 $\left< -s,s,0\right>$ 사이의 각은

$\begin{aligned} \cos^{-1}\left(\frac{\left< s,s,s\right>\cdot\left< -s,s,0\right>} {|\left< s,s,s\right>|\,|\left< -s,s,0\right>|}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{0}{\sqrt{3}s\,\sqrt{2}s}\right) =\cos^{-1}(0)=90^\circ \end{aligned}$

이제 일반적인 경우를 살펴보자. 정육면체의 모든 꼭짓점의 모든 성분은 $0$ 또는 $s$ 이다. 일반적으로 정육면체의 두 꼭짓점은 두 꼭짓점의 세 성분이 모두 서로 다르면 정육면체의 대각선의 반대쪽 양 끝에 있다. 예를 들어 대각선의 한 끝이 $(s,0,s)$ 이면 다른 끝은 $(0,s,0)$ 이다. 정육면체의 대각선은 모두 $\left< \pm s,\pm s,\pm s\right>$ 꼴이다. 이 대각선의 길이는 모두 $\sqrt{3}s$ 이다. 두 꼭짓점은 성분 중 하나가 같으면 정육면체의 같은 면 위에 있다. 나머지 두 성분이 서로 다르면 그 두 꼭짓점은 그 면의 대각선의 반대쪽 양 끝에 있다. 예를 들어 $(0,s,s)$ 와 $(s,0,s)$ 는 모두 $z=s$ 인 면 위에 있다. $x$ 성분 $0,\ s$ 가 서로 다르고 $y$ 성분 $s,\ 0$ 도 서로 다르므로 $(0,s,s)$ 와 $(s,0,s)$ 는 $z=s$ 인 면의 대각선의 양 끝이다. $z=0$ 또는 $z=s$ 인 면의 대각선은 $\left< \pm s,\pm s,0\right>$ 이다. $y=0$ 또는 $y=s$ 인 면의 대각선은 $\left< \pm s,0, \pm s\right>$ 이다. $x=0$ 또는 $x=s$ 인 면의 대각선은 $\left< 0,\pm s,\pm s\right>$ 이다. 이 대각선의 길이는 모두 $\sqrt{2}s$ 이다. 정육면체의 대각선 $\left< \pm s,\pm s,\pm s\right>$ 중 하나와 면의 대각선 $\left< \pm s,\pm s,0\right>$ , $\left< \pm s,0, \pm s\right>$ , $\left< 0,\pm s,\pm s\right>$ 중 하나의 내적은 $\pm s^2\pm s^2+0$ 꼴이므로 $2s^2$ 또는 $0$ 또는 $-2s^2$ 이어야 한다. 일반적으로 정육면체의 대각선과 면의 대각선 사이의 각은

$\begin{aligned} \cos^{-1}\left(\frac{\text{$2s^2$ 또는 0 또는 $-2s^2$}}{\sqrt{3}s\,\sqrt{2}s}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{\text{$2$ 또는 $0$ 또는 $-2$}}{\sqrt{6}}\right)\approx \text{$35.26^\circ$ 또는 $90^\circ$ 또는 $144.74^\circ$}. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Suppose that the cube has height, length and width $s$ . We may choose our coordinate axes so that the vertices of the cube are at $(0,0,0)$ , $(s,0,0)$ , $(0,s,0)$ , $(0,0,s)$ , $(s,s,0)$ , $(0,s,s)$ , $(s,0,s)$ and $(s,s,s)$ .

We'll start with a couple of examples. The diagonal from $(0,0,0)$ to $(s,s,s)$ is $\left< s,s,s\right>$ . One face of the cube has vertices $(0,0,0)$ , $(s,0,0)$ , $(0,s,0)$ and $(s,s,0)$ . One diagonal of this face runs from $(0,0,0)$ to $(s,s,0)$ and hence is $\left< s,s,0\right>$ . The angle between $\left< s,s,s\right>$ and $\left< s,s,0\right>$ is

$\begin{aligned} \cos^{-1}\left(\frac{\left< s,s,s\right>\cdot\left< s,s,0\right>} {|\left< s,s,s\right>|\,|\left< s,s,0\right>|}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{2s^2}{\sqrt{3}s\,\sqrt{2}s}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)\approx 35.26^\circ \end{aligned}$

A second diagonal for the face with vertices $(0,0,0)$ , $(s,0,0)$ , $(0,s,0)$ and $(s,s,0)$ is that running from $(s,0,0)$ to $(0,s,0)$ . This diagonal is $\left< -s,s,0\right>$ . The angle between $\left< s,s,s\right>$ and $\left< -s,s,0\right>$ is

$\begin{aligned} \cos^{-1}\left(\frac{\left< s,s,s\right>\cdot\left< -s,s,0\right>} {|\left< s,s,s\right>|\,|\left< -s,s,0\right>|}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{0}{\sqrt{3}s\,\sqrt{2}s}\right) =\cos^{-1}(0)=90^\circ \end{aligned}$

Now we'll consider the general case. Note that every component of every vertex of the cube is either $0$ or $s$ . In general, two vertices of the cube are at opposite ends of a diagonal of the cube if all three components of the two vertices are different. For example, if one end of the diagonal is $(s,0,s)$ , the other end is $(0,s,0)$ . The diagonals of the cube are all of the form $\left< \pm s,\pm s,\pm s\right>$ . All of these diagonals are of length $\sqrt{3}s$ . Two vertices are on the same face of the cube if one of their components agree. They are on opposite ends of a diagonal for the face if their other two components differ. For example $(0,s,s)$ and $(s,0,s)$ are both on the face with $z=s$ . Because the $x$ components $0,\ s$ are different and the $y$ components $s,\ 0$ are different, $(0,s,s)$ and $(s,0,s)$ are the ends of a diagonal of the face with $z=s$ . The diagonals of the faces with $z=0$ or $z=s$ are $\left< \pm s,\pm s,0\right>$ . The diagonals of the faces with $y=0$ or $y=s$ are $\left< \pm s,0, \pm s\right>$ . The diagonals of the faces with $x=0$ or $x=s$ are $\left< 0,\pm s,\pm s\right>$ . All of these diagonals have length $\sqrt{2}s$ . The dot product of one the cube diagonals $\left< \pm s,\pm s,\pm s\right>$ with one of the face diagonals $\left< \pm s,\pm s,0\right>$ , $\left< \pm s,0, \pm s\right>$ , $\left< 0,\pm s,\pm s\right>$ is of the form $\pm s^2\pm s^2+0$ and hence must be either $2s^2$ or $0$ or $-2s^2$ . In general, the angle between a cube diagonal and a face diagonal is

$\begin{aligned} \cos^{-1}\left(\frac{\text{$2s^2$ or 0 or $-2s^2$}}{\sqrt{3}s\,\sqrt{2}s}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{\text{$2$ or $0$ or $-2$}}{\sqrt{6}}\right)\approx \text{$35.26^\circ$ or $90^\circ$ or $144.74^\circ$}. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2장 복습 · 17번

# 벡터의 연산계산도전자동 분류

1074.CLP-3 · 1.2절 · 34번대학 수준우리말 번역

2차원 세계에서 마찰 없이 언덕 $y=h(x)$ 위를 미끄러져 내려가는 스키 선수를 생각하세요. 스키 선수에게는 두 힘이 작용합니다. 하나는 중력입니다. 다른 하나는 언덕에 수직으로 작용합니다. 이 두 번째 힘은 스키 선수가 언덕 속으로 파고들지 않도록 크기가 저절로 조절됩니다. 스키 선수가 $y_0=h(x_0)$ 인 어떤 점 $(x_0,y_0)$ 에서 공중으로 떠올랐다고 합시다. 이때 스키 선수의 속력은 얼마였는지 구하세요.

영어 원문 보기

Consider a skier who is sliding without friction on the hill $y=h(x)$ in a two dimensional world. The skier is subject to two forces. One is gravity. The other acts perpendicularly to the hill. The second force automatically adjusts its magnitude so as to prevent the skier from burrowing into the hill. Suppose that the skier became airborne at some $(x_0,y_0)$ with $y_0=h(x_0)$ . How fast was the skier going?

정답·풀이 보기

시각 $t$ 에서 스키 선수의 위치를 $\big(x(t),y(t)\big)$ 로 나타내자. 스키 선수가 언덕 표면 위에 있는 동안

$\begin{aligned} y(t)&=h\big(x(t)\big) \\ \implies y'(t)&=h'\big(x(t)\big)\,x'(t) \\ \implies y''(t)&=h''\big(x(t)\big)\, x'(t)^2+h'\big(x(t)\big)\,x''(t) \end{aligned}$

따라서 스키 선수의 속도 벡터와 가속도 벡터는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\left< 1,h'\big(x(t)\big)\right> x'(t) \\ \mathbf{a}(t)&=\left< 1,h'\big(x(t)\big)\right> x''(t) +\left< 0,h''\big(x(t)\big)\right> x'(t)^2 \end{aligned}$

스키 선수에게는 두 힘이 작용한다. 하나는 중력이다. 다른 하나는 언덕에 수직으로 작용하며, 스키 선수가 언덕 표면 위에 머물도록 하는 크기를 가진다. 스키 선수가 언덕 표면 위에 있는 동안에는 속도 벡터가 언덕에 접하므로, 이 속도 벡터로부터 $\big(x(t),y(t)\big)$ 에서 언덕에 수직인 벡터 하나가 $\mathbf{n}(t)=\left<-h'\big(x(t)\big),1\right>$ 임을 알 수 있다. 이 벡터는 단위벡터가 아니지만 상관없다. 뉴턴의 운동 법칙에 의해

$m\mathbf{a}=-mg\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+p(t)\,\mathbf{n}(t)$

이다. 여기서 $p(t)$ 는 어떤 함수이다. 이 등식의 양변에 $\mathbf{n}(t)$ 를 내적한다.

$m\mathbf{a}(t)\cdot\mathbf{n}(t)=-mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\mathbf{n}(t)+p(t)|\mathbf{n}(t)|^2$

대입하면

$\begin{aligned} mh''\big(x(t)\big)\,x'(t)^2&=-mg+p(t)\left[1+h'\big(x(t)\big)^2\right] \\ \implies p(t)\left[1+h'\big(x(t)\big)^2\right] &=m\Big(g+h''\big(x(t)\big)\,x'(t)^2\Big) \end{aligned}$

이다. $p(t)\ge 0$ 인 동안에는 언덕이 스키 선수를 표면 위에 머물게 하려고 위로 밀고 있다. $p(t)$ 가 음수가 되면 언덕이 스키 선수를 표면에 붙잡아 두기 위해 잡아당겨야 한다. 그러나 언덕은 잡아당길 수 없으므로 스키 선수는 대신 공중으로 떠오른다. 이는

$g+h''\big(x(t)\big)x'(t)^2=0$

일 때 일어난다. 즉 $x'(t)=\sqrt{-g/h''\big(x(t)\big)}$ 일 때이다. 이때 $x(t)=x_0$ , $y(t)=y_0$ 이고 스키 선수의 속력은

$\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} =\sqrt{1+h'\big(x_0\big)^2}\sqrt{-g/h''\big(x_0\big)}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote by $\big(x(t),y(t)\big)$ the position of the skier at time $t$ . As long as the skier remains on the surface of the hill

$\begin{aligned} y(t)&=h\big(x(t)\big) \\ \implies y'(t)&=h'\big(x(t)\big)\,x'(t) \\ \implies y''(t)&=h''\big(x(t)\big)\, x'(t)^2+h'\big(x(t)\big)\,x''(t) \end{aligned}$

So the velocity and acceleration vectors of the skier are

$\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\left< 1,h'\big(x(t)\big)\right> x'(t) \\ \mathbf{a}(t)&=\left< 1,h'\big(x(t)\big)\right> x''(t) +\left< 0,h''\big(x(t)\big)\right> x'(t)^2 \end{aligned}$

The skier is subject to two forces. One is gravity. The other acts perpendicularly to the hill and has a magnitude such that the skier remains on the surface of the hill. From the velocity vector of the skier (which remain tangential to the hill as long as the skier remains of the surface of the hill),we see that one vector normal to the hill at $\big(x(t),y(t)\big)$ is $\mathbf{n}(t)=\left<-h'\big(x(t)\big),1\right>$ This vector is not a unit vector, but that's ok. By Newton's law of motion

$m\mathbf{a}=-mg\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+p(t)\,\mathbf{n}(t)$

for some function $p(t)$ . Dot both sides of this equation with $\mathbf{n}(t)$ .

$m\mathbf{a}(t)\cdot\mathbf{n}(t)=-mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\mathbf{n}(t)+p(t)|\mathbf{n}(t)|^2$

Substituting in

$\begin{aligned} mh''\big(x(t)\big)\,x'(t)^2&=-mg+p(t)\left[1+h'\big(x(t)\big)^2\right] \\ \implies p(t)\left[1+h'\big(x(t)\big)^2\right] &=m\Big(g+h''\big(x(t)\big)\,x'(t)^2\Big) \end{aligned}$

As long as $p(t)\ge 0$ , the hill is pushing up in order to keep the skier on the surface. When $p(t)$ becomes negative, the hill has to pull on the skier in order to keep her on the surface. But the hill can't pull, so the skier becomes airborne instead. This happens when

$g+h''\big(x(t)\big)x'(t)^2=0$

That is when $x'(t)=\sqrt{-g/h''\big(x(t)\big)}$ . At this time $x(t)=x_0$ , $y(t)=y_0$ and the speed of the skier is

$\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} =\sqrt{1+h'\big(x_0\big)^2}\sqrt{-g/h''\big(x_0\big)}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 35번

# 벡터의 연산활용도전자동 분류

1075.CLP-3 · 1.2절 · 35번대학 수준우리말 번역

구슬 하나가 평면 $ax+by+cz=d$ 위에 놓여 있다. 좌표계는 양의 $z$ 축이 똑바로 위를 향하도록 잡았다. 계수 $c$ 는 0이 아니고, 계수 $a$ 와 $b$ 는 둘 다 0은 아니다. 구슬은 어느 방향으로 구르는가? " $c\ne 0$ " 과 " $a,b$ 가 둘 다 0은 아니다"라는 조건은 왜 붙였는지 설명하세요.

영어 원문 보기

A marble is placed on the plane $ax+by+cz=d$ . The coordinate system has been chosen so that the positive $z$ –axis points straight up. The coefficient $c$ is nonzero and the coefficients $a$ and $b$ are not both zero. In which direction does the marble roll? Why were the conditions “ $c\ne 0$ ” and “ $a,b$ not both zero” imposed?

정답·풀이 보기

구슬에는 두 힘이 작용한다. 첫째는 중력으로 $-mg\,\hat{\mathbf{k}}$ 이며, $m$ 은 구슬의 질량이다. 둘째는 평면이 가하는 수직항력이다. 이 힘은 평면에 수직인 방향으로 작용한다. 평면에 수직인 벡터 하나는 $a\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+b\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}$ 이다. 따라서 평면에 의한 힘은 $T\left< a,b,c\right>$ 이다. 여기서 $T$ 는 평면에 수직인 알짜힘이 정확히 0이어야 한다는 성질로 정해지는데, 그래야 구슬이 평면 속으로 파고들지도, 평면에서 튀어 오르지도 않고 평면 위에 머문다. 중력을 법선 벡터 $\left< a,b,c\right>$ 위로 정사영한 것은 다음과 같다.

$\frac{-mg\left< 0,0,1\right>\cdot\left< a,b,c\right>}{|\left< a,b,c\right>|^2}\left< a,b,c\right> =\frac{-mgc}{a^2+b^2+c^2}\left< a,b,c\right>$

따라서 $T$ 를 정하는 조건은 다음과 같다.

$T\left< a,b,c\right>+\frac{-mgc}{a^2+b^2+c^2}\left< a,b,c\right> =0 \implies T=\frac{mgc}{a^2+b^2+c^2}$

그러면 구슬에 작용하는 전체 힘은 다음과 같다(마찰은 무시한다. 마찰은 운동 방향에 영향을 주지 않는다).

$\begin{aligned} T\left< a,b,c\right>-mg\left< 0,0,1\right>&=\frac{mgc}{a^2+b^2+c^2}\left< a,b,c\right>-mg\left< 0,0,1\right>\\ &=mg\frac{c\left< a,b,c\right>-\left< 0,0,a^2+b^2+c^2\right>}{a^2+b^2+c^2}\\ &=mg\frac{\left< ac,bc,-a^2-b^2\right>}{a^2+b^2+c^2}\\ \end{aligned}$

운동 방향은 $\left< ac,bc,-a^2-b^2\right>$ 이다. 이를 단위벡터로 바꾸려면 $\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}$ 으로 나누면 된다. 이 방향 벡터는 $\left< a,b,c\right>$ 에 수직이므로 평면에 평행하다. $c=0$ 이면 평면은 수직이다. 이 경우 구슬은 구르지 않고 곧장 아래로 떨어진다. $a=b=0$ 이면 평면은 수평이다. 이 경우 구슬은 구르지 않고 정지해 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The marble is subject to two forces. The first, gravity, is $-mg\,\hat{\mathbf{k}}$ with $m$ being the mass of the marble. The second is the normal force imposed by the plane. This forces acts in a direction perpendicular to the plane. One vector normal to the plane is $a\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+b\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}$ . So the force due to the plane is $T\left< a,b,c\right>$ with $T$ determined by the property that the net force perpendicular to the plane must be exactly zero, so that the marble remains on the plane, neither digging into nor flying off of it. The projection of the gravitational force onto the normal vector $\left< a,b,c\right>$ is

$\frac{-mg\left< 0,0,1\right>\cdot\left< a,b,c\right>}{|\left< a,b,c\right>|^2}\left< a,b,c\right> =\frac{-mgc}{a^2+b^2+c^2}\left< a,b,c\right>$

The condition that determines $T$ is thus

$T\left< a,b,c\right>+\frac{-mgc}{a^2+b^2+c^2}\left< a,b,c\right> =0 \implies T=\frac{mgc}{a^2+b^2+c^2}$

The total force on the marble is then (ignoring friction – which will have no effect on the direction of motion)

$\begin{aligned} T\left< a,b,c\right>-mg\left< 0,0,1\right>&=\frac{mgc}{a^2+b^2+c^2}\left< a,b,c\right>-mg\left< 0,0,1\right>\\ &=mg\frac{c\left< a,b,c\right>-\left< 0,0,a^2+b^2+c^2\right>}{a^2+b^2+c^2}\\ &=mg\frac{\left< ac,bc,-a^2-b^2\right>}{a^2+b^2+c^2}\\ \end{aligned}$

The direction of motion $\left< ac,bc,-a^2-b^2\right>$ . If you want to turn this into a unit vector, just divide by $\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}$ . Note that the direction vector in perpendicular $\left< a,b,c\right>$ and hence is parallel to the plane. If $c=0$ , the plane is vertical. In this case, the marble doesn't roll – it falls straight down. If $a=b=0$ , the plane is horizontal. In this case, the marble doesn't roll — it remains stationary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.1절 · 13번

# 벡터의 연산계산도전자동 분류

1076.CLP-3 · 1.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$ .

정답·풀이 보기

정의에 의해,

$\begin{aligned} \mathbf{b}\times\mathbf{c} \ =\ &(b_2c_3-b_3c_2)\hat{\boldsymbol{\imath}}-(b_1c_3-b_3c_1)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(b_1c_2-b_2c_1)\hat{\mathbf{k}} \\ \\ \text{따라서 좌변과 우변은 다음과 같다} \\ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) \ =\ &\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_2c_3-b_3c_2&-b_1c_3+b_3c_1&b_1c_2-b_2c_1\end{matrix}\right]\\ \ =\ &\hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(-b_1c_3+b_3c_1)]\\ {-}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_2c_3-b_3c_2)]\\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1(-b_1c_3+b_3c_1)-a_2(b_2c_3-b_3c_2)]&{\rm (lhs)}\\ (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c} \ =\ &(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\hat{\boldsymbol{\imath}}+b_2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b_3\hat{\mathbf{k}}) -(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)(c_1\hat{\boldsymbol{\imath}}+c_2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c_3\hat{\mathbf{k}})\\ {=}\ & \hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_1b_1c_1+a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_1b_1c_1-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1] \\ {+}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1b_2c_1+a_2b_2c_2+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_2b_2c_2-a_3b_3c_2] \\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2+a_3b_3c_3-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3-a_3b_3c_3]\\ {=}\ & \hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1] \\ {+}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1b_2c_1+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_3b_3c_2] \\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3] &{\rm (rhs)} \end{aligned}$

(lhs)와 (rhs)는 같다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition,

$\begin{aligned} \mathbf{b}\times\mathbf{c} \ =\ &(b_2c_3-b_3c_2)\hat{\boldsymbol{\imath}}-(b_1c_3-b_3c_1)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(b_1c_2-b_2c_1)\hat{\mathbf{k}} \\ \\ \text{so that the left and right hand sides are} \\ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) \ =\ &\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_2c_3-b_3c_2&-b_1c_3+b_3c_1&b_1c_2-b_2c_1\end{matrix}\right]\\ \ =\ &\hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(-b_1c_3+b_3c_1)]\\ {-}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_2c_3-b_3c_2)]\\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1(-b_1c_3+b_3c_1)-a_2(b_2c_3-b_3c_2)]&{\rm (lhs)}\\ (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c} \ =\ &(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\hat{\boldsymbol{\imath}}+b_2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b_3\hat{\mathbf{k}}) -(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)(c_1\hat{\boldsymbol{\imath}}+c_2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c_3\hat{\mathbf{k}})\\ {=}\ & \hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_1b_1c_1+a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_1b_1c_1-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1] \\ {+}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1b_2c_1+a_2b_2c_2+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_2b_2c_2-a_3b_3c_2] \\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2+a_3b_3c_3-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3-a_3b_3c_3]\\ {=}\ & \hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1] \\ {+}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1b_2c_1+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_3b_3c_2] \\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3] &{\rm (rhs)} \end{aligned}$

(lhs) and (rhs) are the same.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2장 복습 · 13번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

1077.CLP-3 · 1.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

각기둥의 여섯 꼭짓점이 다음과 같다.

$\begin{aligned} A&=(1,0,0)\qquad & A'&=(5,0,1) \\ B&=(0,3,0) & B'&=(4,3,1) \\ C&=(0,0,4) & C'&=(4,0,5) \end{aligned}$

(a) 면 중 세 개가 평행사변형임을 확인하세요. 이 면들은 직사각형인가요? (b) $AA'$ 의 길이를 구하세요. (c) 삼각형 $ABC$ 의 넓이를 구하세요. (d) 이 각기둥의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

A prism has the six vertices

$\begin{aligned} A&=(1,0,0)\qquad & A'&=(5,0,1) \\ B&=(0,3,0) & B'&=(4,3,1) \\ C&=(0,0,4) & C'&=(4,0,5) \end{aligned}$

(a) Verify that three of the faces are parallelograms. Are they rectangular? (b) Find the length of $AA'$ . (c) Find the area of the triangle $ABC$ . (d) Find the volume of the prism.

정답·풀이 보기

(a) $AA'=\left< 4,0,1\right>$ 와 $BB'=\left< 4,0,1\right>$ 는 사각형 $AA'B'B$ 의 마주 보는 변이다. 두 변은 길이와 방향이 같다. $AB=\left< -1,3,0\right>$ 와 $A'B'=\left< -1,3,0\right>$ 도 마찬가지이다. 따라서 $AA'B'B$ 는 평행사변형이다. $AA'\cdot AB=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,3,0\right> =-4\ne 0$ 이므로 $AA'B'B$ 의 이웃한 두 변은 수직이 아니고, 따라서 $AA'B'B$ 는 직사각형이 아니다.

마찬가지로 사각형 $ACC'A'$ 의 마주 보는 변은 $AA'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ 이고 $AC=\left< -1,0,4\right> =A'C'=\left< -1,0,4\right>$ 이므로 평행사변형이다. $AA'\cdot AC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,0,4\right> = 0$ 이므로 $ACC'A'$ 의 이웃한 두 변은 수직이고, 따라서 $ACC'A'$ 는 직사각형이다.

마지막으로 사각형 $BCC'B'$ 의 마주 보는 변은 $BB'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ 이고 $BC=\left< 0,-3,4\right> =B'C'=\left< 0,-3,4\right>$ 이므로 평행사변형이다. $BB'\cdot BC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< 0,-3,4\right> = 4\ne 0$ 이므로 $BCC'B'$ 의 이웃한 두 변은 수직이 아니고, 따라서 $BCC'B'$ 는 직사각형이 아니다.

(b) $AA'$ 의 길이는 $|\left< 4,0,1\right> |=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$ 이다.

(c) 삼각형의 넓이는 밑변의 길이와 높이의 곱의 2분의 1이다. 즉, $|AB|$ 와 $|AC|\sin\theta$ 의 곱의 2분의 1이며, 여기서 $\theta$ 는 $AB$ 와 $AC$ 가 이루는 각이다. 이것은 바로 $\tfrac{1}{2} |AB\times AC|=\tfrac{1}{2}|\left< -1,3,0\right> \times\left< -1,0,4\right> | =\tfrac{1}{2} |\left< 12,4,3\right>|=\frac{13}{2}$ 이다.

(d) 각기둥의 부피는 밑면 $ABC$ 의 넓이에 높이를 곱한 것이다. 높이는 $AA'$ 의 길이에 $AA'$ 와 $ABC$ 의 법선이 이루는 각의 코사인 값을 곱한 것이다. 이것은 $\tfrac{1}{2} \left< 12,4,3\right> \cdot\left< 4,0,1\right> =\tfrac{1}{2}(48+3)=\frac{51}{2}$ 과 같으며, 이는 $\left< 12,4,3\right>$ 의 길이( $ABC$ 의 넓이)와 $\left< 4,0,1\right>$ 의 길이( $AA'$ 의 길이)와 $\left< 12,4,3\right>$ 와 $\left< 4,0,1\right>$ 가 이루는 각( $ABC$ 의 법선과 $AA'$ 가 이루는 각)의 코사인 값을 모두 곱한 것의 2분의 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $AA'=\left< 4,0,1\right>$ and $BB'=\left< 4,0,1\right>$ are opposite sides of the quadrilateral $AA'B'B$ . They have the same length and direction. The same is true for $AB=\left< -1,3,0\right>$ and $A'B'=\left< -1,3,0\right>$ . So $AA'B'B$ is a parallelogram. Because, $AA'\cdot AB=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,3,0\right> =-4\ne 0$ , the neighbouring edges of $AA'B'B$ are not perpendicular and so $AA'B'B$ is not a rectangle.

Similarly, the quadilateral $ACC'A'$ has opposing sides $AA'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ and $AC=\left< -1,0,4\right> =A'C'=\left< -1,0,4\right>$ and so is a parallelogram. Because $AA'\cdot AC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,0,4\right> = 0$ , the neighbouring edges of $ACC'A'$ are perpendicular, so $ACC'A'$ is a rectangle.

Finally, the quadilateral $BCC'B'$ has opposing sides $BB'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ and $BC=\left< 0,-3,4\right> =B'C'=\left< 0,-3,4\right>$ and so is a parallelogram. Because $BB'\cdot BC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< 0,-3,4\right> = 4\ne 0$ , the neighbouring edges of $BCC'B'$ are not perpendicular, so $BCC'B'$ is not a rectangle.

(b) The length of $AA'$ is $|\left< 4,0,1\right> |=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$ .

(c) The area of a triangle is one half its base times its height. That is, one half times $|AB|$ times $|AC|\sin\theta$ , where $\theta$ is the angle between $AB$ and $AC$ . This is precisely $\tfrac{1}{2} |AB\times AC|=\tfrac{1}{2}|\left< -1,3,0\right> \times\left< -1,0,4\right> | =\tfrac{1}{2} |\left< 12,4,3\right>|=\frac{13}{2}$ .

(d) The volume of the prism is the area of its base $ABC$ , times its height, which is the length of $AA'$ times the cosine of the angle between $AA'$ and the normal to $ABC$ . This coincides with $\tfrac{1}{2} \left< 12,4,3\right> \cdot\left< 4,0,1\right> =\tfrac{1}{2}(48+3)=\frac{51}{2}$ , which is one half times the length of $\left< 12,4,3\right>$ (the area of $ABC$ ) times the length of $\left< 4,0,1\right>$ (the length of $AA'$ ) times the cosine of the angle between $\left< 12,4,3\right>$ and $\left< 4,0,1\right>$ (the angle between the normal to $ABC$ and $AA'$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 9번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

1078.CLP-3 · 1.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

(3차원 피타고라스 정리) 공간에서 꼭짓점이 정확히 네 개인 입체를 사면체라고 한다. $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 를 사면체의 네 면의 넓이라고 하자. 넓이가 $D$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점에서 만나는 세 모서리가 서로 수직이라고 하자. $D^2=A^2+B^2+C^2$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

(Three dimensional Pythagorean Theorem) A solid body in space with exactly four vertices is called a tetrahedron. Let $A$ , $B$ , $C$ and $D$ be the areas of the four faces of a tetrahedron. Suppose that the three edges meeting at the vertex opposite the face of area $D$ are perpendicular to each other. Show that $D^2=A^2+B^2+C^2$ .

정답·풀이 보기

넓이가 $D$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점이 원점에 오도록 좌표축을 잡는다. 넓이가 각각 $A$ , $B$ , $C$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점을 각각 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 로 나타내자. 그러면 넓이가 $A$ 인 면은 모서리 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 를 가지므로 $A=\tfrac{1}{2} |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ 이다. 마찬가지로 $B=\tfrac{1}{2}|\mathbf{c}\times\mathbf{a}|$ 이고 $C=\tfrac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ 이다. 넓이가 $D$ 인 면은 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 가 이루는 삼각형이므로

$\begin{aligned} D&=\tfrac{1}{2}|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a})|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}-\mathbf{a}\times\mathbf{c}-\mathbf{b}\times\mathbf{a}|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}| \end{aligned}$

이다.

가정에 의해 벡터 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 는 모두 서로 수직이다. 따라서 벡터 $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ (이는 $\mathbf{a}$ 의 스칼라배이다), $\mathbf{c}\times\mathbf{a}$ (이는 $\mathbf{b}$ 의 스칼라배이다), $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ (이는 $\mathbf{c}$ 의 스칼라배이다)도 서로 수직이다. 그러므로 다음을 전개하면

$D^2=\frac{1}{4}\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]\cdot\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]$

교차항은 모두 0이 되어 다음이 남는다.

$D^2=\frac{1}{4}\big[(\mathbf{b}\times \mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) +(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) +(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\big]=A^2+B^2+C^2$

원본 교재 풀이(영어)

Choose our coordinate axes so that the vertex opposite the face of area $D$ is at the origin. Denote by $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ the vertices opposite the sides of area $A$ , $B$ and $C$ respectively. Then the face of area $A$ has edges $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ so that $A=\tfrac{1}{2} |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ . Similarly $B=\tfrac{1}{2}|\mathbf{c}\times\mathbf{a}|$ and $C=\tfrac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ . The face of area $D$ is the triangle spanned by $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ and $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ so that

$\begin{aligned} D&=\tfrac{1}{2}|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a})|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}-\mathbf{a}\times\mathbf{c}-\mathbf{b}\times\mathbf{a}|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}| \end{aligned}$

By hypothesis, the vectors $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ are all perpendicular to each other. Consequently the vectors $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ (which is a scalar times $\mathbf{a}$ ), $\mathbf{c}\times\mathbf{a}$ (which is a scalar times $\mathbf{b}$ ) and $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ (which is a scalar times $\mathbf{c}$ ) are also mutually perpendicular. So, when we multiply out

$D^2=\frac{1}{4}\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]\cdot\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]$

all the cross terms vanish, leaving

$D^2=\frac{1}{4}\big[(\mathbf{b}\times \mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) +(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) +(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\big]=A^2+B^2+C^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.1절 · 49번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

1079.CLP-3 · 1.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\mathbb R^2$ 에서 직선이 방향 $\mathbf d$ 를 가지고 점 $\mathbf c$ 를 지납니다.

다음 중 이 직선의 매개변수 방정식은 $\left< x,y\right> =\mathbf c + t\mathbf d$ 와 $\left< x,y\right> =\mathbf c - t\mathbf d$ 중 어느 것인가요?

영어 원문 보기

A line in $\mathbb R^2$ has direction $\mathbf d$ and passes through point $\mathbf c$ .

Which of the following gives its parametric equation: $\left< x,y\right> =\mathbf c + t\mathbf d$ , or $\left< x,y\right> =\mathbf c - t\mathbf d$ ?

정답·풀이 보기

$t$ 는 어떤 실수라도 될 수 있으므로 두 방정식은 같은 직선을 나타낸다. 둘 다 옳다. 예를 들어, 첫 번째 매개변수 방정식에서 $t=7$ 일 때의 점, 즉 $\mathbf c + 7\mathbf d$ 는 두 번째 매개변수 방정식에서 $t=-7$ 일 때의 점, 즉 $\mathbf c -(-7)\mathbf d$ 와 정확히 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $t$ can be any real number, these equation describe the same line. They're both valid. For example, the point given by the first parametric equation with $t=7$ , namely $\mathbf c + 7\mathbf d$ , is exactly the same as the point given by the second parametric equation with $t=-7$ , namely $\mathbf c -(-7)\mathbf d$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 18번

# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류

1080.CLP-3 · 1.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

두 점은 하나의 직선을 결정합니다. 두 직선 위에 모두 놓이는 서로 다른 두 점을 구하여, 방정식

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ 과 $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이 같은 직선을 나타냄을 확인하세요.

영어 원문 보기

Two points determine a line. Verify that the equations

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ and $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

describe the same line by finding two different points that lie on both lines.

정답·풀이 보기

여러 답 중 하나는 다음과 같다.

첫 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(1,9)$ 가 첫 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(1,9)$ 가 두 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 두 번째 방정식에 $x=1$ , $y=9$ 를 대입하면

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이다. 이 방정식은 $t=-8$ 일 때 성립한다. 따라서 $(1,9)$ 는 두 직선 위에 모두 있다.

두 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(9,13)$ 이 두 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(9,13)$ 이 첫 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 첫 번째 방정식에 $x=9$ , $y=13$ 을 대입하면

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

이다. 이 방정식은 $t=1$ 일 때 성립한다. 따라서 $(9,13)$ 은 두 직선 위에 모두 있다.

두 직선 모두 $(1,9)$ 와 $(9,13)$ 을 지나므로 두 직선은 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

Here is one answer of many.

Setting $t=0$ in the first equation shows that $(1,9)$ is on the first line. To see that $(1,9)$ is also on the second line, we substitute $x=1$ , $y=9$ into the second equation to give

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{or}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

This equation is satisfied when $t=-8$ . So $(1,9)$ is on both lines.

Setting $t=0$ in the second equation shows that $(9,13)$ is on the second line. To see that $(9,13)$ is also on the first line, we substitute $x=9$ , $y=13$ into the first equation to give

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{or}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

This equation is satisfied when $t=1$ . So $(9,13)$ is on both lines.

Since both lines pass through $(1,9)$ and $(9,13)$ , the lines are identical.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 19번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술기본자동 분류

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