빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

벡터함수를 미분해 접선벡터를 구하고, 성분별로 적분한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

159문제 · 7 / 8쪽

121.APEX · 11.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–40에서 주어진 초깃값 문제를 푸세요.

r⃗ ′(t)=⟨1/(t+1),tan⁡t⟩\vec r\,'(t) = \left\langle 1/(t+1),\tan t\right\rangle 이고 r⃗(0)=⟨1,2⟩\vec r(0) = \left\langle 1,2\right\rangle 일 때, r⃗(t)\vec r(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, solve the given initial value problems.

Find r⃗(t)\vec r(t), given that r⃗ ′(t)=⟨1/(t+1),tan⁡t⟩\vec r\,'(t) = \left\langle 1/(t+1),\tan t\right\rangle and r⃗(0)=⟨1,2⟩\vec r(0) = \left\langle 1,2\right\rangle .

정답·풀이 보기

r⃗(t)=⟨ln⁡∣t+1∣+1,−ln⁡∣cos⁡t∣+2⟩\vec r(t) = \left\langle \ln |t+1| + 1, -\ln |\cos t| + 2\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

r⃗(t)=⟨ln⁡∣t+1∣+1,−ln⁡∣cos⁡t∣+2⟩\vec r(t) = \left\langle \ln |t+1| + 1, -\ln |\cos t| + 2\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 27번
# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
122.APEX · 11.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–40에서 주어진 초깃값 문제를 푸세요.

r⃗ ′′(t)=⟨t2,t,1⟩\vec r\,''(t) = \left\langle t^2,t,1\right\rangle , r⃗ ′(0)=⟨1,2,3⟩\vec r\,'(0) = \left\langle 1,2,3\right\rangle 이고 r⃗(0)=⟨4,5,6⟩\vec r(0) = \left\langle 4,5,6\right\rangle 일 때, r⃗(t)\vec r(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, solve the given initial value problems.

Find r⃗(t)\vec r(t), given that r⃗ ′′(t)=⟨t2,t,1⟩\vec r\,''(t) = \left\langle t^2,t,1\right\rangle , r⃗ ′(0)=⟨1,2,3⟩\vec r\,'(0) = \left\langle 1,2,3\right\rangle and r⃗(0)=⟨4,5,6⟩\vec r(0) = \left\langle 4,5,6\right\rangle .

정답·풀이 보기

r⃗(t)=⟨t4/12+t+4, t3/6+2t+5, t2/2+3t+6⟩\vec r(t) = \left\langle t^4/12+t+4,\ t^3/6+2t+5,\ t^2/2+3t+6\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

r⃗(t)=⟨t4/12+t+4, t3/6+2t+5, t2/2+3t+6⟩\vec r(t) = \left\langle t^4/12+t+4,\ t^3/6+2t+5,\ t^2/2+3t+6\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 23번
# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
123.APEX · 11.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–40에서 주어진 초깃값 문제를 푸세요.

r⃗ ′′(t)=⟨cos⁡t,sin⁡t,et⟩\vec r\,''(t) = \left\langle \cos t,\sin t,e^t\right\rangle , r⃗ ′(0)=⟨0,0,0⟩\vec r\,'(0) = \left\langle 0,0,0\right\rangle 이고 r⃗(0)=⟨0,0,0⟩\vec r(0) = \left\langle 0,0,0\right\rangle 일 때, r⃗(t)\vec r(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, solve the given initial value problems.

Find r⃗(t)\vec r(t), given that r⃗ ′′(t)=⟨cos⁡t,sin⁡t,et⟩\vec r\,''(t) = \left\langle \cos t,\sin t,e^t\right\rangle , r⃗ ′(0)=⟨0,0,0⟩\vec r\,'(0) = \left\langle 0,0,0\right\rangle and r⃗(0)=⟨0,0,0⟩\vec r(0) = \left\langle 0,0,0\right\rangle .

정답·풀이 보기

r⃗(t)=⟨−cos⁡t+1,t−sin⁡t,et−t−1⟩\vec r(t) = \left\langle -\cos t+1,t-\sin t,e^t-t-1 \right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

r⃗(t)=⟨−cos⁡t+1,t−sin⁡t,et−t−1⟩\vec r(t) = \left\langle -\cos t+1,t-\sin t,e^t-t-1 \right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 29번
# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
124.APEX · 11.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

연습문제 41–44에서 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 곡선의 길이를 구하세요.

구간 [0,2π][0,2\pi] 에서 r⃗(t)=⟨2cos⁡t,2sin⁡t,3t⟩\vec r(t) = \left\langle 2\cos t, 2\sin t, 3t \right\rangle .

영어 원문 보기

In Exercises 41–44 , find the arc length of r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval.

r⃗(t)=⟨2cos⁡t,2sin⁡t,3t⟩\vec r(t) = \left\langle 2\cos t, 2\sin t, 3t \right\rangle on [0,2π][0,2\pi].

답 쓰고 채점
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213π2\sqrt{13}\pi

원본 교재 풀이(영어)

213π2\sqrt{13}\pi

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 37번
# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
125.APEX · 11.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

연습문제 41–44에서 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 곡선의 길이를 구하세요.

구간 [0,2π][0,2\pi] 에서 r⃗(t)=⟨5cos⁡t,3sin⁡t,4sin⁡t⟩\vec r(t) = \left\langle 5\cos t, 3\sin t, 4\sin t \right\rangle .

영어 원문 보기

In Exercises 41–44 , find the arc length of r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval.

r⃗(t)=⟨5cos⁡t,3sin⁡t,4sin⁡t⟩\vec r(t) = \left\langle 5\cos t, 3\sin t, 4\sin t \right\rangle on [0,2π][0,2\pi].

답 쓰고 채점
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10π10\pi

원본 교재 풀이(영어)

10π10\pi

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 53번
# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
126.APEX · 11.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

연습문제 41–44에서 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 곡선의 길이를 구하세요.

r⃗(t)=⟨t3,t2,t3⟩\vec r(t) = \left\langle t^3,t^2,t^3 \right\rangle , 구간 [0,1][0,1].

영어 원문 보기

In Exercises 41–44 , find the arc length of r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval.

r⃗(t)=⟨t3,t2,t3⟩\vec r(t) = \left\langle t^3,t^2,t^3 \right\rangle on [0,1][0,1].

답 쓰고 채점
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154((22)3/2−8)\frac1{54}\left((22)^{3/2}-8\right)

원본 교재 풀이(영어)

154((22)3/2−8)\frac1{54}\left((22)^{3/2}-8\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 31번
# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
127.APEX · 11.2절 · 44번대학 수준우리말 번역

연습문제 41–44에서 주어진 구간에서 r⃗(t)\vec r(t) 의 곡선의 길이를 구하세요.

r⃗(t)=⟨e−tcos⁡t,e−tsin⁡t⟩\vec r(t) = \left\langle e^{-t}\cos t,e^{-t}\sin t \right\rangle , 구간 [0,1][0,1].

영어 원문 보기

In Exercises 41–44 , find the arc length of r⃗(t)\vec r(t) on the indicated interval.

r⃗(t)=⟨e−tcos⁡t,e−tsin⁡t⟩\vec r(t) = \left\langle e^{-t}\cos t,e^{-t}\sin t \right\rangle on [0,1][0,1].

답 쓰고 채점
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2(1−e−1)\sqrt{2}(1-e^{-1})

원본 교재 풀이(영어)

2(1−e−1)\sqrt{2}(1-e^{-1})

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 19번
# 벡터함수의 미분과 적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
128.CLP-3 · 1.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속력을 구하세요.

r(t)=52 t ı^+e5t ȷ^−e−5t k^\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

옳은 답을 고르세요:

(a) ∣v(t)∣=(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (b) ∣v(t)∣=10+5et+5e−t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}} (c) ∣v(t)∣=10+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}} (d) ∣v(t)∣=5(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (e) ∣v(t)∣=5(et+e−t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)

영어 원문 보기

Find the speed of a particle with the given position function

r(t)=52 t ı^+e5t ȷ^−e−5t k^\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

Select the correct answer:

(a) ∣v(t)∣=(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (b) ∣v(t)∣=10+5et+5e−t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}} (c) ∣v(t)∣=10+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}} (d) ∣v(t)∣=5(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (e) ∣v(t)∣=5(et+e−t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)

정답·풀이 보기

다음과 같다.

v(t)=r′(t)=52 ı^+5e5t ȷ^+5e−5t k^\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

따라서

∣v(t)∣=∣r′(t)∣=5∣2 ı^+e5t ȷ^+e−5t k^∣=52+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}

2+e10t+e−10t=(e5t+e−5t)22+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2 이므로 답은 (d)이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have

v(t)=r′(t)=52 ı^+5e5t ȷ^+5e−5t k^\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

and hence

∣v(t)∣=∣r′(t)∣=5∣2 ı^+e5t ȷ^+e−5t k^∣=52+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}

Since 2+e10t+e−10t=(e5t+e−5t)22+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2, that's (d).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 29번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
129.CLP-3 · 1.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

위치가 r(t)\mathbf{r}(t) 인 입자의 시각 tt 에서의 속도, 속력, 가속도를 구하세요. 입자의 경로를 설명하세요. a>0a>0 이라 하세요.

(a) r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + ct\,\hat{\mathbf{k}} (b) r(t)=acos⁡tsin⁡t ı^+asin⁡2t ȷ^+acos⁡t k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}

영어 원문 보기

Find the velocity, speed and acceleration at time tt of the particle whose position is r(t)\mathbf{r}(t). Describe the path of the particle. Let a>0a>0.

(a) r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + ct\,\hat{\mathbf{k}} (b) r(t)=acos⁡tsin⁡t ı^+asin⁡2t ȷ^+acos⁡t k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}

정답·풀이 보기

(a) 정의에 의해,

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^v(t)=r′(t)=−asin⁡t ı^+acos⁡t ȷ^+c k^dsdt(t)=∣v(t)∣=a2+c2a(t)=r′′(t)=−acos⁡t ı^−asin⁡t ȷ^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= -a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= \sqrt{a^2+c^2}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(x,y)=a(cos⁡t,sin⁡t)(x,y)= a(\cos t,\sin t) 좌표는 반지름이 aa 이고 중심이 (0,0)(0,0) 인 원을 반시계 방향으로 돈다. tt 가 2π2\pi 증가할 때마다 원을 한 바퀴 돈다. 동시에 zz 좌표는 일정한 비율로 증가한다. (x,y)(x,y) 좌표가 원을 한 바퀴 돌 때마다 zz 좌표는 2πc2 \pi c 만큼 증가한다. 경로는 반지름이 aa 이고 한 바퀴 돌 때마다 높이가 2πc2\pi c 만큼 올라가는 나선이다.

(b) 정의에 의해,

r(t)=acos⁡tsin⁡t ı^+asin⁡2t ȷ^+acos⁡t k^=a2sin⁡2t ı^+a1−cos⁡2t2 ȷ^+acos⁡t k^v(t)=r′(t)=acos⁡2t ı^+asin⁡2t ȷ^−asin⁡t k^dsdt(t)=∣v(t)∣=a1+sin⁡2ta(t)=r′′(t)=−2asin⁡2t ı^+2acos⁡2t ȷ^−acos⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &= \frac{a}{2} \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\frac{1-\cos 2t}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= a \cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -2a \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2a\cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

다음과 같이 놓자.

x(t)=a2sin⁡2ty(t)=a1−cos⁡2t2z(t)=acos⁡t\begin{aligned} x(t)=\tfrac{a}{2} \sin 2t \qquad y(t)=a\tfrac{1-\cos 2t}{2} \qquad z(t)=a\cos t \end{aligned}

그러면

x(t)2+[y(t)−a2]2=a24sin⁡22t+a24cos⁡22t=a24\begin{aligned} x(t)^2+\big[y(t)-\tfrac{a}{2}\big]^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t =\tfrac{a^2}{4} \end{aligned}

이므로 (x,y)(x,y) 좌표는 반지름이 a2\frac{a}{2} 이고 중심이 (0,a2)\big(0,\frac{a}{2}\big) 인 원을 반시계 방향으로 돈다. 동시에 zz 좌표는 절반의 빠르기로 11 과 −1-1 사이의 구간에서 진동한다. 사실 이 곡선에 대해서는 더 말할 수 있다.

x(t)2+y(t)2=a24sin⁡22t+a24(1−cos⁡2t)2=a24sin⁡22t+a24−a22cos⁡2t+a24cos⁡22t=a22−a22(1−2sin⁡2t)=a2sin⁡2tx(t)2+y(t)2+z(t)2=a2sin⁡2t+a2cos⁡2t=a2\begin{aligned} x(t)^2+y(t)^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4}\big(1-\cos 2t\big)^2 \\ &=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} - \tfrac{a^2}{2}\cos 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t \\ &= \tfrac{a^2}{2} - \tfrac{a^2}{2} (1- 2\sin^2 t) \\ &= a^2\sin^2 t \\ x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 &= a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t =a^2 \end{aligned}

따라서 이 곡선은 원기둥 x2+[y−a2]2=a24x^2+\big[y-\tfrac{a}{2}\big]^2=\tfrac{a^2}{4} 과 구 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2 의 교선 위에 놓여 있다. (x(t)2+y(t)2+z(t)2x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 의 값을 구해 볼 생각을 하지 못했더라도 걱정하지 않아도 된다.)

원본 교재 풀이(영어)

(a) By definition,

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^v(t)=r′(t)=−asin⁡t ı^+acos⁡t ȷ^+c k^dsdt(t)=∣v(t)∣=a2+c2a(t)=r′′(t)=−acos⁡t ı^−asin⁡t ȷ^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= -a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= \sqrt{a^2+c^2}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

The (x,y)=a(cos⁡t,sin⁡t)(x,y)= a(\cos t,\sin t) coordinates go around a circle of radius aa and centre (0,0)(0,0) counterclockwise. One circle is completed for each increase of tt by 2π2\pi. At the same time, the zz coordinate increases at a constant rate. Each time the (x,y)(x,y) coordinates complete one circle, the zz coordinate increases by 2πc2 \pi c. The path is a helix with radius aa and with each turn having height 2πc2\pi c.

(b) By definition,

r(t)=acos⁡tsin⁡t ı^+asin⁡2t ȷ^+acos⁡t k^=a2sin⁡2t ı^+a1−cos⁡2t2 ȷ^+acos⁡t k^v(t)=r′(t)=acos⁡2t ı^+asin⁡2t ȷ^−asin⁡t k^dsdt(t)=∣v(t)∣=a1+sin⁡2ta(t)=r′′(t)=−2asin⁡2t ı^+2acos⁡2t ȷ^−acos⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &= \frac{a}{2} \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\frac{1-\cos 2t}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= a \cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -2a \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2a\cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Write

x(t)=a2sin⁡2ty(t)=a1−cos⁡2t2z(t)=acos⁡t\begin{aligned} x(t)=\tfrac{a}{2} \sin 2t \qquad y(t)=a\tfrac{1-\cos 2t}{2} \qquad z(t)=a\cos t \end{aligned}

Then

x(t)2+[y(t)−a2]2=a24sin⁡22t+a24cos⁡22t=a24\begin{aligned} x(t)^2+\big[y(t)-\tfrac{a}{2}\big]^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t =\tfrac{a^2}{4} \end{aligned}

Thus the (x,y)(x,y) coordinates go around a circle of radius a2\frac{a}{2} and centre (0,a2)\big(0,\frac{a}{2}\big) counterclockwise. At the same time the zz coordinate oscillates over the interval between 11 and −1-1 half as fast. In fact, one can say more about the curve.

x(t)2+y(t)2=a24sin⁡22t+a24(1−cos⁡2t)2=a24sin⁡22t+a24−a22cos⁡2t+a24cos⁡22t=a22−a22(1−2sin⁡2t)=a2sin⁡2tx(t)2+y(t)2+z(t)2=a2sin⁡2t+a2cos⁡2t=a2\begin{aligned} x(t)^2+y(t)^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4}\big(1-\cos 2t\big)^2 \\ &=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} - \tfrac{a^2}{2}\cos 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t \\ &= \tfrac{a^2}{2} - \tfrac{a^2}{2} (1- 2\sin^2 t) \\ &= a^2\sin^2 t \\ x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 &= a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t =a^2 \end{aligned}

So our curve lies on the intersection of the cylinder x2+[y−a2]2=a24x^2+\big[y-\tfrac{a}{2}\big]^2=\tfrac{a^2}{4} and the sphere x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2. (Don't worry if you didn't think of trying to evaluate x(t)2+y(t)2+z(t)2x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 28번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
130.CLP-3 · 1.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 곡선을 생각하세요.

r(t)=13cos⁡3t ı^+13sin⁡3t ȷ^+sin⁡3t k^\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이를 구하세요. (b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the curve

r(t)=13cos⁡3t ı^+13sin⁡3t ȷ^+sin⁡3t k^\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) Compute the arc length of the curve from t=0t = 0 to t=π2t = \frac{\pi}{2}. (b) Compute the arc length of the curve from t=0t = 0 to t=πt = \pi.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) r′(t)=−sin⁡tcos⁡2t ı^+sin⁡2tcos⁡t ı^+3sin⁡2tcos⁡t k^=sin⁡tcos⁡t(−cos⁡t ı^+sin⁡t ȷ^+3sin⁡t k^)dsdt(t)=∣sin⁡tcos⁡t∣cos⁡2t+sin⁡2t+9sin⁡2t=∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}

이므로 t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이는

∫0π/2dsdt(t) dt=∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt=118∫110u du여기서 u=1+9sin⁡2t, du=18sin⁡tcos⁡t dt=118[23u3/2]110=127(1010−1)\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{여기서 } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}

이다.

(b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는

∫0πdsdt(t) dt=∫0π∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt절댓값 기호를 잊지 마세요!=2∫0π/2∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{절댓값 기호를 잊지 마세요!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

이다. 피적분함수가 t→π−tt\rightarrow\pi-t 에 대해 변하지 않기 때문이다. 따라서 t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는 (a)에서 구한 곡선의 길이의 2배, 즉 227(1010−1)\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) As

r′(t)=−sin⁡tcos⁡2t ı^+sin⁡2tcos⁡t ı^+3sin⁡2tcos⁡t k^=sin⁡tcos⁡t(−cos⁡t ı^+sin⁡t ȷ^+3sin⁡t k^)dsdt(t)=∣sin⁡tcos⁡t∣cos⁡2t+sin⁡2t+9sin⁡2t=∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}

the arclength from t=0t = 0 to t=π2t = \frac{\pi}{2} is

∫0π/2dsdt(t) dt=∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt=118∫110u duwith u=1+9sin⁡2t, du=18sin⁡tcos⁡t dt=118[23u3/2]110=127(1010−1)\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{with } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}

(b) The arclength from t=0t = 0 to t=πt = \pi is

∫0πdsdt(t) dt=∫0π∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dtDon’t forget the absolute value signs!=2∫0π/2∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{Don't forget the absolute value signs!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

since the integrand is invariant under t→π−tt\rightarrow\pi-t. So the arc length from t=0t = 0 to t=πt = \pi is just twice the arc length from part (a), namely 227(1010−1)\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 26번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
131.CLP-3 · 1.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0 이라 하자. 시각 tt 에서 곡선의 길이 s(ts(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0. Compute s(ts(t), the arclength of the curve at time tt.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

the length of the curve is

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 19번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
132.CLP-3 · 1.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

0≤a≤t≤b0 \le a \le t \le b 이고 m>0m > 0 일 때, 곡선 r(t)=(tm , tm , t3m/2)\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big) 의 길이를 구하세요. 결과를 mm, aa, bb 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve r(t)=(tm , tm , t3m/2)\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big) for 0≤a≤t≤b0 \le a \le t \le b, and where m>0m > 0. Express your result in terms of mm, aa, and bb.

정답·풀이 보기

r(t)=tm ı^+tm ȷ^+t3m/2 k^r′(t)=mtm−1 ı^+mtm−1 ȷ^+3m2t3m/2−1 k^dsdt=∣r′(t)∣=2m2t2m−2+9m24t3m−2=mtm−12+94tm\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는

∫abdsdt(t) dt=∫abmtm−12+94tm dt=49∫2+94am2+94bmu du여기서 u=2+94tm, du=9m4tm−1=49[23u3/2]2+94am2+94bm=827[(2+94bm)3/2−(2+94am)3/2]\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{여기서 } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

r(t)=tm ı^+tm ȷ^+t3m/2 k^r′(t)=mtm−1 ı^+mtm−1 ȷ^+3m2t3m/2−1 k^dsdt=∣r′(t)∣=2m2t2m−2+9m24t3m−2=mtm−12+94tm\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}

the arc length is

∫abdsdt(t) dt=∫abmtm−12+94tm dt=49∫2+94am2+94bmu duwith u=2+94tm, du=9m4tm−1=49[23u3/2]2+94am2+94bm=827[(2+94bm)3/2−(2+94am)3/2]\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{with } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3장 복습 · 20번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
133.CLP-3 · 1.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

입자의 질량이 상수 mm 이고 위치가 r\mathbf{r} 이며 속도 v\mathbf{v} 로 움직이고 있다면, 이 입자의 각운동량은 L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}) 이다.

질량이 m=1m=1 이고 위치 함수가 r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t) 인 입자에 대해 ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right| 를 구하세요.

영어 원문 보기

If a particle has constant mass mm, position r\mathbf{r}, and is moving with velocity v\mathbf{v}, then its angular momentum is L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}).

For a particle with mass m=1m=1 and position function r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t), find ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

입자의 위치가 주어졌으므로 속도를 구할 수 있다. v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) 주어진 공식을 적용하면, L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • 풀이 1: 먼저 외적을 계산한 다음 미분하면 된다.

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • 풀이 2: 곱의 미분법을 이용한다.

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Given the position of the particle, we can find its velocity: v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) Applying the given formula, L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • Solution 1: We can first compute the cross product, then differentiate:

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • Solution 2: Using the product rule:

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 27번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
134.CLP-3 · 1.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

벡터방정식이 다음과 같은 공간곡선 Γ\Gamma 를 생각하세요.

r(t)=tsin⁡(πt) ı^+tcos⁡(πt) ȷ^+t2k^ 0≤t<∞\mathbf{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t<\infty

이 곡선은 원점에서 출발하여 결국 방정식이 2x2+2y2+z2=242x^2+2y^2+z^2=24 인 타원면 EE 에 도달한다.

(a) Γ\Gamma 가 EE 와 만나는 점 PP 의 좌표를 구하세요. (b) 점 PP 에서 Γ\Gamma 의 접벡터를 구하세요. (c) Γ\Gamma 는 EE 와 직각으로 만나나요? 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the space curve Γ\Gamma whose vector equation is

r(t)=tsin⁡(πt) ı^+tcos⁡(πt) ȷ^+t2k^ 0≤t<∞\mathbf{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t<\infty

This curve starts from the origin and eventually reaches the ellipsoid EE whose equation is 2x2+2y2+z2=242x^2+2y^2+z^2=24.

(a) Determine the coordinates of the point PP where Γ\Gamma intersects EE. (b) Find the tangent vector of Γ\Gamma at the point PP. (c) Does Γ\Gamma intersect EE at right angles? Why or why not?

정답·풀이 보기

(a) 곡선이 EE 와 만나는 것은 다음과 같을 때이다.

2(tsin⁡(πt))2+2(tcos⁡(πt))2+(t2)2=24  ⟺  2t2+t4=24  ⟺  (t2−4)(t2+6)=02\big(t\sin(\pi t)\big)^2+2\big(t\cos(\pi t)\big)^2 +\big(t^2\big)^2=24 \iff 2t^2+t^4=24 \iff (t^2-4)(t^2+6)=0

t>0t>0 이어야 하므로 구하는 시각은 t=2t=2 이고, 이에 대응하는 점은 r(2)=2 ȷ^+4 k^\mathbf{r}(2)=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}} 이다.

(b)

r′(t)=[sin⁡(πt)+πtcos⁡(πt)]ı^+[cos⁡(πt)−πtsin⁡(πt)]ȷ^+2tk^\mathbf{r}'(t)=\big[\sin(\pi t)+\pi t\cos(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\cos(\pi t)-\pi t\sin(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2t\hat{\mathbf{k}}

이므로, 점 PP 에서 Γ\Gamma 의 접벡터는 다음의 0이 아닌 임의의 배수이다.

r′(2)=2π ı^+ȷ^+4 k^\mathbf{r}'(2)=2\pi\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(c) 점 PP 에서 EE 의 법선벡터는 다음과 같다.

∇(2x2+2y2+z2)∣(0,2,4)=<4x,4y,2z>∣(0,2,4)=<0,8,8>{ \boldsymbol{\nabla} }(2x^2+2y^2+z^2)\big|_{(0,2,4)}= \left< 4x,4y,2z\right>\big|_{(0,2,4)} =\left< 0,8,8\right>

r′(2)\mathbf{r}'(2) 와 <0,8,8>\left< 0,8,8\right> 는 평행하지 않으므로 Γ\Gamma 와 EE 는 직각으로 만나지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The curve intersects EE when

2(tsin⁡(πt))2+2(tcos⁡(πt))2+(t2)2=24  ⟺  2t2+t4=24  ⟺  (t2−4)(t2+6)=02\big(t\sin(\pi t)\big)^2+2\big(t\cos(\pi t)\big)^2 +\big(t^2\big)^2=24 \iff 2t^2+t^4=24 \iff (t^2-4)(t^2+6)=0

Since we need t>0t>0, the desired time is t=2t=2 and the corresponding point is r(2)=2 ȷ^+4 k^\mathbf{r}(2)=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}.

(b) Since

r′(t)=[sin⁡(πt)+πtcos⁡(πt)]ı^+[cos⁡(πt)−πtsin⁡(πt)]ȷ^+2tk^\mathbf{r}'(t)=\big[\sin(\pi t)+\pi t\cos(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\cos(\pi t)-\pi t\sin(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2t\hat{\mathbf{k}}

a tangent vector to Γ\Gamma at PP is any nonzero multiple of

r′(2)=2π ı^+ȷ^+4 k^\mathbf{r}'(2)=2\pi\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(c) A normal vector to EE at PP is

∇(2x2+2y2+z2)∣(0,2,4)=<4x,4y,2z>∣(0,2,4)=<0,8,8>{ \boldsymbol{\nabla} }(2x^2+2y^2+z^2)\big|_{(0,2,4)}= \left< 4x,4y,2z\right>\big|_{(0,2,4)} =\left< 0,8,8\right>

Since r′(2)\mathbf{r}'(2) and <0,8,8>\left< 0,8,8\right> are not parallel, Γ\Gamma and EE do not intersect at right angles.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 20번
# 벡터함수의 미분과 적분개념 확인보통자동 분류
135.CLP-3 · 1.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

3차원 공간에서 한 입자가 위치 벡터 r(t)\mathbf{r}(t) 로 움직이고, r′′(t)=−r(t)\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t) 를 만족한다고 하자. "에너지" ∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2 이 상수임(즉, tt 에 무관함)을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose a particle in 3-dimensional space travels with position vector r(t)\mathbf{r}(t), which satisfies r′′(t)=−r(t)\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t). Show that the “energy” ∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2 is constant (that is, independent of tt).

정답·풀이 보기

ddt[∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2]=ddt[r(t)⋅r(t)+r′(t)⋅r′(t)]=2r(t)⋅r′(t)+2r′(t)⋅r′′(t)=2r′(t)⋅[r(t)+r′′(t)]=0 since r′′(t)=−r(t) \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\big]\\ &=2\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)+2\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}''(t)\\ &=2\mathbf{r}'(t)\cdot\big[\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}''(t)\big]\\ &=0\qquad \text{ since $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ } \end{aligned}

모든 tt 에 대해 ddt[∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2]=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big]=0 이므로, ∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2 은 tt 에 무관하다.

원본 교재 풀이(영어)

ddt[∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2]=ddt[r(t)⋅r(t)+r′(t)⋅r′(t)]=2r(t)⋅r′(t)+2r′(t)⋅r′′(t)=2r′(t)⋅[r(t)+r′′(t)]=0 since r′′(t)=−r(t) \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\big]\\ &=2\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)+2\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}''(t)\\ &=2\mathbf{r}'(t)\cdot\big[\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}''(t)\big]\\ &=0\qquad \text{ since $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ } \end{aligned}

Since ddt[∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2]=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big]=0 for all tt, ∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2 is independent of tt.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 21번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
136.CLP-3 · 1.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

입자가 곡면 z2=12yz^2=12y 와 18x=yz18x=yz 의 교선 C\mathcal{C} 를 따라 위쪽 방향으로 움직인다. 입자가 (1,3,6)(1,3,6) 에 있을 때 속도 v\mathbf{v} 와 가속도 a\mathbf{a} 는 다음과 같다. v=6 ı^+12 ȷ^+12 k^a=27 ı^+30 ȷ^+6 k^\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}

(a) u=z6u=\frac{z}{6} 를 매개변수로 사용하여 C\mathcal{C} 의 벡터 매개변수 방정식을 쓰세요. (b) (0,0,0)(0,0,0) 에서 (1,3,6)(1,3,6) 까지 C\mathcal{C} 의 길이를 구하세요. (c) u=u(t)u=u(t) 가 시각 tt 에서 입자의 위치에 해당하는 매개변수 값일 때, 입자가 (1,3,6)(1,3,6) 에 있을 때의 dudt\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} 를 구하세요. (d) 입자가 (1,3,6)(1,3,6) 에 있을 때의 d2udt2\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} 를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moves along the curve C\mathcal{C} of intersection of the surfaces z2=12yz^2=12y and 18x=yz18x=yz in the upward direction. When the particle is at (1,3,6)(1,3,6) its velocity v\mathbf{v} and acceleration a\mathbf{a} are given by v=6 ı^+12 ȷ^+12 k^a=27 ı^+30 ȷ^+6 k^\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}

(a) Write a vector parametric equation for C\mathcal{C} using u=z6u=\frac{z}{6} as a parameter. (b) Find the length of C\mathcal{C} from (0,0,0)(0,0,0) to (1,3,6)(1,3,6). (c) If u=u(t)u=u(t) is the parameter value for the particle's position at time tt, find dudt\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} when the particle is at (1,3,6)(1,3,6). (d) Find d2udt2\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} when the particle is at (1,3,6)(1,3,6).

정답·풀이 보기

(a) z=6uz=6u, y=z212=3u2y=\frac{z^2}{12}=3u^2, x=yz18=u3x=\frac{yz}{18}=u^3 이므로

r(u)=u3 ı^+3u2 ȷ^+6u k^\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}

(b)

r′(u)=3u2 ı^+6u ȷ^+6 k^r′′(u)=6u ı^+6 ȷ^dsdu(u)=∣r′(u)∣=9u4+36u2+36=3(u2+2)\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}

∫C ds=∫01dsdu du=∫013(u2+2) du=[u3+6u]01=7\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7

(c) 시각 tt 에서 입자의 위치를 R(t)\mathbf{R}(t) 라 하자. 그러면 R(t)=r(u(t))  ⟹  R′(t)=r′(u(t))dudt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} 특히 입자가 시각 t1t_1 에 (1,3,6)(1,3,6) 에 있으면 u(t1)=1u(t_1)=1 이고 6 ı^+12 ȷ^+12 k^=R′(t1)=r′(1)dudt(t1)=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)dudt(t1)6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) 이므로 dudt(t1)=2\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2 이다.

(d) 곱의 미분법과 합성함수의 미분법에 의해 R′(t)=r′(u(t))dudt  ⟹  R′′(t)=r′′(u(t))(dudt)2+r′(u(t))d2udt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} 특히

27 ı^+30 ȷ^+6 k^=R′′(t1)=r′′(1)(dudt(t1))2+r′(1)d2udt2(t1)=(6 ı^+6 ȷ^)22+(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}

간단히 하면 3 ı^+6 ȷ^+6 k^=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)  ⟹  d2udt2(t1)=13\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since z=6uz=6u, y=z212=3u2y=\frac{z^2}{12}=3u^2 and x=yz18=u3x=\frac{yz}{18}=u^3,

r(u)=u3 ı^+3u2 ȷ^+6u k^\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}

(b)

r′(u)=3u2 ı^+6u ȷ^+6 k^r′′(u)=6u ı^+6 ȷ^dsdu(u)=∣r′(u)∣=9u4+36u2+36=3(u2+2)\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}

∫C ds=∫01dsdu du=∫013(u2+2) du=[u3+6u]01=7\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7

(c) Denote by R(t)\mathbf{R}(t) the position of the particle at time tt. Then R(t)=r(u(t))  ⟹  R′(t)=r′(u(t))dudt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} In particular, if the particle is at (1,3,6)(1,3,6) at time t1t_1, then u(t1)=1u(t_1)=1 and 6 ı^+12 ȷ^+12 k^=R′(t1)=r′(1)dudt(t1)=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)dudt(t1)6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) which implies that dudt(t1)=2\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2.

(d) By the product and chain rules, R′(t)=r′(u(t))dudt  ⟹  R′′(t)=r′′(u(t))(dudt)2+r′(u(t))d2udt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} In particular,

27 ı^+30 ȷ^+6 k^=R′′(t1)=r′′(1)(dudt(t1))2+r′(1)d2udt2(t1)=(6 ı^+6 ȷ^)22+(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}

Simplifying 3 ı^+6 ȷ^+6 k^=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)  ⟹  d2udt2(t1)=13\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 22번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
137.CLP-3 · 1.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

질량이 m=1m = 1 인 입자가 시각 00 에서 위치 r0=12 k^\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 와 속도 v0=π22 ı^\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 를 가진다. 이 입자는 다음 힘을 받아 움직인다.

F(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^.\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) 시각 tt 에 따른 입자의 위치 r(t)\mathbf{r}(t) 를 구하세요. (b) 시각 t=0t = 0 이후 입자가 평면 x=0x = 0 을 처음으로 지나가는 시각은 언제인지 구하세요. (c) (b)에서 입자가 평면 x=0x = 0 을 지나갈 때의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle of mass m=1m = 1 has position r0=12 k^\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} and velocity v0=π22 ı^\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} at time 00. It moves under a force

F(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^.\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) Determine the position r(t)\mathbf{r}(t) of the particle depending on tt. (b) At what time after time t=0t = 0 does the particle cross the plane x=0x = 0 for the first time? (c) What is the velocity of the particle when it crosses the plane x=0x = 0 in part (b)?

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 따라

mr′′(t)=F(t)이므로r′′(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{이므로}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}

한 번 적분하면

r′(t)=−3t22 ı^−cos⁡t ȷ^+e2t k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 r′(0)=v0=π22 ı^\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 이다. 따라서 c=π22 ı^+ȷ^−k^\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} 이므로

r′(t)=(π22−3t22) ı^+(1−cos⁡t) ȷ^+(e2t−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

두 번째로 적분하면

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 (앞의 것과는 다른) 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 r(0)=r0=12 k^\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 이다. 따라서 c=0\mathbf{c}=\mathbf{0} 이므로

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) 입자가 평면 x=0x=0 위에 있는 때는 다음과 같다.

0=(π2t2−t32)=t2(π2−t2)  ⟺  t=0,±π\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}

따라서 구하는 시각은 t=πt=\pi 이다.

(c) 시각 t=πt=\pi 에서의 속도는 다음과 같다.

r′(π)=(π22−3π22) ı^+(1−cos⁡π) ȷ^+(e2π−1) k^=−π2 ı^+2 ȷ^+(e2π−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) According to Newton,

mr′′(t)=F(t)so thatr′′(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{so that}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}

Integrating once gives

r′(t)=−3t22 ı^−cos⁡t ȷ^+e2t k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}

for some constant vector c\mathbf{c}. We are told that r′(0)=v0=π22 ı^\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}. This forces c=π22 ı^+ȷ^−k^\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} so that

r′(t)=(π22−3t22) ı^+(1−cos⁡t) ȷ^+(e2t−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Integrating a second time gives

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}

for some (other) constant vector c\mathbf{c}. We are told that r(0)=r0=12 k^\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}. This forces c=0\mathbf{c}=\mathbf{0} so that

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) The particle is in the plane x=0x=0 when

0=(π2t2−t32)=t2(π2−t2)  ⟺  t=0,±π\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}

So the desired time is t=πt=\pi.

(c) At time t=πt=\pi, the velocity is

r′(π)=(π22−3π22) ı^+(1−cos⁡π) ȷ^+(e2π−1) k^=−π2 ı^+2 ȷ^+(e2π−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 10번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
138.CLP-3 · 1.6절 · 25번대학 수준우리말 번역

CC 를 곡면 y=x2y=x^2 과 z=23x3z=\frac{2}{3}x^3 의 교선이라 하자. 한 입자가 dxdt>0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0 이도록 일정한 속력으로 CC 를 따라 움직인다. 이 입자는 시각 t=0t=0 에 (0,0,0)(0,0,0) 에 있고, 시각 t=72t=\frac{7}{2} 에 (3,9,18)(3,9,18) 에 있다.

(a) CC 에서 (0,0,0)(0,0,0) 과 (3,9,18)(3,9,18) 사이의 부분의 길이를 구하세요. (b) 입자의 일정한 속력을 구하세요. (c) 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때의 속도를 구하세요. (d) 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Let CC be the curve of intersection of the surfaces y=x2y=x^2 and z=23x3z=\frac{2}{3}x^3. A particle moves along CC with constant speed such that dxdt>0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0. The particle is at (0,0,0)(0,0,0) at time t=0t=0 and is at (3,9,18)(3,9,18) at time t=72t=\frac{7}{2}.

(a) Find the length of the part of CC between (0,0,0)(0,0,0) and (3,9,18)(3,9,18). (b) Find the constant speed of the particle. (c) Find the velocity of the particle when it is at (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big). (d) Find the acceleration of the particle when it is at (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big).

정답·풀이 보기

(a) CC 를 xx 로 매개화한다. y=x2y=x^2 이고 z=23x3z=\frac{2}{3}x^3 이므로,

r(x)=x ı^+x2 ȷ^+23x3 k^r′(x)=ı^+2x ȷ^+2x2 k^r′′(x)=2 ȷ^+4x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+4x2+4x4=1+2x2\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2\\ \end{aligned}

이고 ∫C ds=∫03dsdx dx=∫03(1+2x2) dx=[x+23x3]03=21\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21

(b) 입자는 72\frac{7}{2} 시간 단위 동안 21 단위의 거리를 움직였다. 따라서 속력은 217/2=6\frac{21}{7/2}=6 이다.

(c) 시각 tt 에서 입자의 위치를 R(t)\mathbf{R}(t) 라 하자. 그러면 R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} (a), (b)의 결과와 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)에 의해 6=dsdt=dsdxdxdt=(1+2x2)dxdt  ⟹  dxdt=61+2x26=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2} 특히 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때는 x=1x=1 이다. 이때 dxdt=61+2×1=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2 이고 R′=r′(1)dxdt=(ı^+2 ȷ^+2 k^)2=2ı^+4 ȷ^+4 k^\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해 R′(t)=r′(x(t))dxdt  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt)2+r′(x(t))d2xdt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 6=(1+2x(t)2)dxdt(t)6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) 의 양변에 ddt\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} 를 적용하면 0=4x(dxdt)2+(1+2x2)d2xdt20=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 특히 x=1x=1 이고 dxdt=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2 일 때, 0=4×1(2)2+(3)d2xdt20=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 에서 d2xdt2=−163\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3} 이고 R′′=(2 ȷ^+4 k^)(2)2−(ı^+2 ȷ^+2 k^)163=−83(2ı^+ ȷ^−2 k^)\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)

원본 교재 풀이(영어)

(a) Parametrize CC by xx. Since y=x2y=x^2 and z=23x3z=\frac{2}{3}x^3,

r(x)=x ı^+x2 ȷ^+23x3 k^r′(x)=ı^+2x ȷ^+2x2 k^r′′(x)=2 ȷ^+4x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+4x2+4x4=1+2x2\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2\\ \end{aligned}

and ∫C ds=∫03dsdx dx=∫03(1+2x2) dx=[x+23x3]03=21\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21

(b) The particle travelled a distance of 21 units in 72\frac{7}{2} time units. This corresponds to a speed of 217/2=6\frac{21}{7/2}=6.

(c) Denote by R(t)\mathbf{R}(t) the position of the particle at time tt. Then R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} By parts (a) and (b) and the chain rule 6=dsdt=dsdxdxdt=(1+2x2)dxdt  ⟹  dxdt=61+2x26=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2} In particular, the particle is at (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) at x=1x=1. At this time dxdt=61+2×1=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2 and R′=r′(1)dxdt=(ı^+2 ȷ^+2 k^)2=2ı^+4 ȷ^+4 k^\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(d) By the product and chain rules, R′(t)=r′(x(t))dxdt  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt)2+r′(x(t))d2xdt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} Applying ddt\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} to 6=(1+2x(t)2)dxdt(t)6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) gives 0=4x(dxdt)2+(1+2x2)d2xdt20=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} In particular, when x=1x=1 and dxdt=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2, 0=4×1(2)2+(3)d2xdt20=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} gives d2xdt2=−163\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3} and R′′=(2 ȷ^+4 k^)(2)2−(ı^+2 ȷ^+2 k^)163=−83(2ı^+ ȷ^−2 k^)\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 24번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
139.CLP-3 · 1.6절 · 26번대학 수준우리말 번역

기둥에 설치된 카메라는 한 바퀴 전체를 돌 수 있다. 이 카메라는 시각 tt 초일 때 기둥에서 동쪽으로 x(t)x(t) 미터, 북쪽으로 y(t)y(t) 미터 떨어진 곳에 있는 물체를 추적하고 있다.

카메라가 항상 물체를 정면으로 향하게 하려면, 시각 tt 에서 카메라가 얼마나 빠르게 회전하도록 설정해야 하는지 구하세요. (답은 x(t)x(t), y(t)y(t) 와 이들의 도함수를 이용하여 단위 rad/sec 로 나타내세요.)

영어 원문 보기

A camera mounted to a pole can swivel around in a full circle. It is tracking an object whose position at time tt seconds is x(t)x(t) metres east of the pole, and y(t)y(t) metres north of the pole.

In order to always be pointing directly at the object, how fast should the camera be programmed to rotate at time tt? (Give your answer in terms of x(t)x(t) and y(t)y(t) and their derivatives, in the units rad/sec.)

정답·풀이 보기

이 문제는 카메라를 원점에 둔 xyxy–평면으로 이미 설정되어 있으므로, 카메라가 향하는 방향의 벡터는 (x(t),y(t))(x(t),y(t)) 이다. θ\theta 를 카메라가 양의 xx축(정동쪽)과 이루는 각이라 하자. 카메라, 물체, 정동쪽 방향(양의 xx축)은 직각삼각형을 이룬다.

그림

tan⁡θ=yxt에 대해 음함수 미분하면:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{$t$에 대해 음함수 미분하면:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The question is already set up as an xyxy–plane, with the camera at the origin, so the vector in the direction the camera is pointing is (x(t),y(t))(x(t),y(t)). Let θ\theta be the angle the camera makes with the positive xx-axis (due east). The camera, the object, and the due-east direction (positive xx-axis) make a right triangle.

figure

tan⁡θ=yxDifferentiating implicitly with respect to t:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{Differentiating implicitly with respect to $t$:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 25번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
140.CLP-3 · 1.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

중력의 영향을 받아 떨어지면서 속력에 비례하는 공기 저항 때문에 느려지는 발사체의 위치가 다음을 만족한다. d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{d\mathbf{r}}{dt} 여기서 α\alpha 는 양의 상수이다. 시각 t=0t=0 에서 r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 이고 drdt=v0\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}_0 일 때, r(t)\mathbf{r}(t) 를 구하세요. (힌트: u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하고, 주어진 미분방정식에 drdt(t)=e−αtu(t)\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)=e^{-\alpha t}\mathbf{u}(t) 를 대입하여 u\mathbf{u} 에 대한 미분방정식을 구하세요.)

영어 원문 보기

A projectile falling under the influence of gravity and slowed by air resistance proportional to its speed has position satisfying d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{d\mathbf{r}}{dt} where α\alpha is a positive constant. If r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 and drdt=v0\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}_0 at time t=0t=0, find r(t)\mathbf{r}(t). (Hint: Define u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) and substitute drdt(t)=e−αtu(t)\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)=e^{-\alpha t}\mathbf{u}(t) into the given differential equation to find a differential equation for u\mathbf{u}.)

정답·풀이 보기

u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하자. 그러면

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{d\mathbf{u}}{dt}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}

이 식의 양변을 t=0t=0 에서 t=Tt=T 까지 적분하면

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^  ⟹  u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\begin{aligned} &\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{d\mathbf{r}}{dt}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) 를 대입하고 양변에 e−αTe^{-\alpha T} 를 곱하면 drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} 이 식의 양변을 T=0T=0 에서 T=tT=t 까지 적분하면

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^  ⟹  r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} &\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Define u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t). Then

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{d\mathbf{u}}{dt}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}

Integrating both sides of this equation from t=0t=0 to t=Tt=T gives

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^  ⟹  u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\begin{aligned} &\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{d\mathbf{r}}{dt}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Substituting in u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) and multiplying through by e−αTe^{-\alpha T} drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} Integrating both sides of this equation from T=0T=0 to T=tT=t gives

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^  ⟹  r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} &\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 17번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류