빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

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736문제 · 28 / 37쪽

541.APEX · 3.2절 · 9번우리말 번역

연습문제 3–10번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. [a,b][a,b] 에서 ff 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있으면 f ′(c)=0f\,'(c)=0 인 cc 를 (a,b)(a,b) 에서 구하세요.

f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x, 구간 [0,π][0,\pi].

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find cc in (a,b)(a,b) such that f ′(c)=0f\,'(c)=0.

f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x on [0,π][0,\pi].

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롤의 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Rolle's Thm. does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
542.APEX · 3.2절 · 10번우리말 번역

연습문제 3–10번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. [a,b][a,b] 에서 ff 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있으면 f ′(c)=0f\,'(c)=0 인 cc 를 (a,b)(a,b) 에서 구하세요.

f(x)=1x2−2x+1\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2-2x+1}, 구간 [0,2][0,2].

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find cc in (a,b)(a,b) such that f ′(c)=0f\,'(c)=0.

f(x)=1x2−2x+1\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2-2x+1} on [0,2][0,2].

정답·풀이 보기

롤의 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Rolle's Theorem does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 14번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
543.APEX · 3.2절 · 11번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있다. 평균값 정리를 [a,b][a,b] 에서 ff 에 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=x2+3x−1\displaystyle f(x) = x^2+3x-1 ([−2,2][-2,2] 에서).

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=x2+3x−1\displaystyle f(x) = x^2+3x-1 on [−2,2][-2,2].

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c=0c=0

원본 교재 풀이(영어)

c=0c=0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 5번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
544.APEX · 3.2절 · 12번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있다. 평균값 정리를 [a,b][a,b] 에서 ff 에 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=5x2−6x+8\displaystyle f(x) = 5x^2-6x+8 ([0,5][0,5] 에서).

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=5x2−6x+8\displaystyle f(x) = 5x^2-6x+8 on [0,5][0,5].

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c=5/2c=5/2

원본 교재 풀이(영어)

c=5/2c=5/2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 16번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
545.APEX · 3.2절 · 13번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있다. 평균값 정리를 [a,b][a,b] 에서 ff 에 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=9−x2\displaystyle f(x) = \sqrt{9-x^2} ([0,3][0,3] 에서).

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=9−x2\displaystyle f(x) = \sqrt{9-x^2} on [0,3][0,3].

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c=3/2c=3/\sqrt{2}

원본 교재 풀이(영어)

c=3/2c=3/\sqrt{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 1번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
546.APEX · 3.2절 · 14번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있다. 평균값 정리를 [a,b][a,b] 에서 ff 에 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=25−x\displaystyle f(x) = \sqrt{25-x} ([0,9][0,9] 에서).

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=25−x\displaystyle f(x) = \sqrt{25-x} on [0,9][0,9].

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c=19/4c=19/4

원본 교재 풀이(영어)

c=19/4c=19/4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
547.APEX · 3.2절 · 15번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있다. 평균값 정리를 [a,b][a,b] 에서 ff 에 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=x2−9x2−1\displaystyle f(x) =\frac{x^2-9}{x^2-1} ([0,2][0,2] 에서).

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=x2−9x2−1\displaystyle f(x) =\frac{x^2-9}{x^2-1} on [0,2][0,2].

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평균값 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 5번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
548.APEX · 3.2절 · 16번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. [a,b][a,b] 에서 ff 에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x) = \ln x, 구간 [1,5][1,5].

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x) = \ln x on [1,5][1,5].

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c=4/ln⁡5c=4/\ln 5

원본 교재 풀이(영어)

c=4/ln⁡5c=4/\ln 5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 9번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
549.APEX · 3.2절 · 17번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. [a,b][a,b] 에서 ff 에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=tan⁡x\displaystyle f(x) = \tan x, 구간 [−π/4,π/4][-\pi/4,\pi/4].

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=tan⁡x\displaystyle f(x) = \tan x on [−π/4,π/4][-\pi/4,\pi/4].

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c=±sec⁡−1(2/π)c=\pm \sec^{-1} (2/\sqrt{\pi})

원본 교재 풀이(영어)

c=±sec⁡−1(2/π)c=\pm \sec^{-1} (2/\sqrt{\pi})

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 12번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
550.APEX · 3.2절 · 18번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. [a,b][a,b] 에서 ff 에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=x3−2x2+x+1\displaystyle f(x) = x^3-2x^2+x+1, 구간 [−2,2][-2,2].

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=x3−2x2+x+1\displaystyle f(x) = x^3-2x^2+x+1 on [−2,2][-2,2].

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c=−2/3c=-2/3

원본 교재 풀이(영어)

c=−2/3c=-2/3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 7번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
551.APEX · 3.2절 · 19번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. [a,b][a,b] 에서 ff 에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=2x3−5x2+6x+1\displaystyle f(x) = 2x^3-5x^2+6x+1, 구간 [−5,2][-5,2].

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=2x3−5x2+6x+1\displaystyle f(x) = 2x^3-5x^2+6x+1 on [−5,2][-5,2].

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c=5−776c=\frac{5-7\sqrt{7}}{6}

원본 교재 풀이(영어)

c=5−776c=\frac{5-7\sqrt{7}}{6}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 46번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
552.APEX · 3.2절 · 20번우리말 번역

연습문제 11–20번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. [a,b][a,b] 에서 ff 에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 평균값 정리가 보장하는 [a,b][a,b] 안의 값 cc 를 구하세요.

f(x)=sin⁡−1x\displaystyle f(x) = \sin^{-1} x, 구간 [−1,1][-1,1].

영어 원문 보기

In Exercises 11–20, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if the Mean Value Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find a value cc in [a,b][a,b] guaranteed by the Mean Value Theorem.

f(x)=sin⁡−1x\displaystyle f(x) = \sin^{-1} x on [−1,1][-1,1].

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정답·풀이 보기

c=±π2−4πc=\frac{\pm\sqrt{\pi^2-4}}{\pi}

원본 교재 풀이(영어)

c=±π2−4πc=\frac{\pm\sqrt{\pi^2-4}}{\pi}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 24번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
553.APEX · 3.3절 · 1번우리말 번역

자신의 말로 함수가 증가한다는 것이 무슨 뜻인지 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words describe what it means for a function to be increasing.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 1번
# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
554.APEX · 3.3절 · 2번우리말 번역

감소하는 함수는 어떤 "모양"인가요?

영어 원문 보기

What does a decreasing function “look like”?

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 3번
# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
555.APEX · 3.3절 · 3번우리말 번역

[0,2][0,2] 에서 증가하는 함수의 그래프를 그리세요. 단, x=0x=0 근처에서는 "빠르게" 증가하고 x=2x=2 근처에서는 "느리게" 증가해야 합니다.

영어 원문 보기

Sketch a graph of a function on [0,2][0,2] that is increasing, where it is increasing “quickly” near x=0x=0 and increasing “slowly” near x=2x=2.

정답·풀이 보기

답은 다양하다. 그래프는 x=2x=2 근처보다 x=0x=0 근처에서 더 가팔라야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary; graphs should be steeper near x=0x=0 than near x=2x=2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 1번
# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
556.APEX · 3.3절 · 4번우리말 번역

증가하는 것이 "나쁘고" 감소하는 것이 "좋은" 상황을 나타내는 함수의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a function describing a situation where it is “bad” to be increasing and “good” to be decreasing.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 4번
# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
557.APEX · 3.3절 · 5번우리말 번역

참/거짓: 함수는 임계점에서 항상 증가에서 감소로, 또는 감소에서 증가로 바뀐다.

영어 원문 보기

T/F: Functions always switch from increasing to decreasing, or decreasing to increasing, at critical points.

정답·풀이 보기

거짓이다. 예를 들어 y=x3y=x^3 은 x=0x=0 에서 임계점을 갖지만 항상 증가한다.

원본 교재 풀이(영어)

False; for instance, y=x3y=x^3 is always increasing though it has a critical point at x=0x=0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 48번
# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
558.APEX · 3.3절 · 6번우리말 번역

함수 ff 의 도함수가 f ′(x)=(sin⁡x+2)ex2+1f\,'(x) = (\sin x+2)e^{x^2+1} 이고, 모든 xx 에 대해 f ′(x)>1f\,'(x) >1 이다. ff 는 증가하는가, 감소하는가, 아니면 주어진 정보로는 알 수 없는가?

영어 원문 보기

A function ff has derivative f ′(x)=(sin⁡x+2)ex2+1f\,'(x) = (\sin x+2)e^{x^2+1}, where f ′(x)>1f\,'(x) >1 for all xx. Is ff increasing, decreasing, or can we not tell from the given information?

정답·풀이 보기

증가

원본 교재 풀이(영어)

Increasing

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 2번
# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
559.APEX · 3.3절 · 15번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 f(x)f(x) 가 주어져 있다.

(a) ff 의 정의역을 구하세요. (b) ff 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 ff 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 제1 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 또는 둘 다 아닌지 판단하세요.

f(x)=x2+2x−3\displaystyle f(x) =x^2+2x-3

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function f(x)f(x) is given.

(a) Give the domain of ff. (b) Find the critical numbers of ff. (c) Create a number line to determine the intervals on which ff is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

f(x)=x2+2x−3\displaystyle f(x) =x^2+2x-3

정답·풀이 보기

정의역: (−∞,∞)(-\infty,\infty)

임계점: c=−1c=-1;

(−∞,−1)(-\infty,-1) 에서 감소;

(−1,∞)(-1,\infty) 에서 증가;

x=−1x=-1 에서 극솟값.

원본 교재 풀이(영어)

domain: (−∞,∞)(-\infty,\infty)

c.p. at c=−1c=-1;

decreasing on (−∞,−1)(-\infty,-1);

increasing on (−1,∞)(-1,\infty);

rel. min at x=−1x=-1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 36번
# 함수의 증가와 감소계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
560.APEX · 3.3절 · 16번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 f(x)f(x) 가 주어져 있다.

(a) ff 의 정의역을 구하세요. (b) ff 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 ff 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 제1 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 또는 둘 다 아닌지 판단하세요.

f(x)=x3+3x2+3\displaystyle f(x) =x^3+3x^2+3

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function f(x)f(x) is given.

(a) Give the domain of ff. (b) Find the critical numbers of ff. (c) Create a number line to determine the intervals on which ff is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

f(x)=x3+3x2+3\displaystyle f(x) =x^3+3x^2+3

정답·풀이 보기

정의역=(−∞,∞)(-\infty,\infty)

임계점: c=−2,0c=-2,0;

(−∞,−2)(-\infty,-2) 와 (0,∞)(0,\infty) 에서 증가;

(−2,0)(-2,0) 에서 감소;

x=0x=0 에서 극솟값;

x=−2x=-2 에서 극댓값.

원본 교재 풀이(영어)

domain=(−∞,∞)(-\infty,\infty)

c.p. at c=−2,0c=-2,0;

increasing on (−∞,−2)(-\infty,-2) and (0,∞)(0,\infty);

decreasing on (−2,0)(-2,0);

rel. min at x=0x=0;

rel. max at x=−2x=-2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 5번
# 함수의 증가와 감소계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)