미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

561.APEX · 3.3절 · 17번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 제1 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 또는 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =2 x^3+x^2-x+3$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =2 x^3+x^2-x+3$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,\infty)$

임계점: $c=\frac16(-1\pm\sqrt{7})$ ;

$(\frac16(-1-\sqrt{7}),\frac16(-1+\sqrt{7})))$ 에서 감소;

$(-\infty,\frac16(-1-\sqrt{7}))$ 와 $(\frac16(-1+\sqrt{7}),\infty)$ 에서 증가;

$x=\frac16(-1+\sqrt{7})$ 에서 극솟값;

$x=\frac16(-1-\sqrt{7})$ 에서 극댓값.

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,\infty)$

c.p. at $c=\frac16(-1\pm\sqrt{7})$ ;

decreasing on $(\frac16(-1-\sqrt{7}),\frac16(-1+\sqrt{7})))$ ;

increasing on $(-\infty,\frac16(-1-\sqrt{7}))$ and $(\frac16(-1+\sqrt{7}),\infty)$ ;

rel. min at $x=\frac16(-1+\sqrt{7})$ ;

rel. max at $x=\frac16(-1-\sqrt{7})$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 32번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

562.APEX · 3.3절 · 18번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 제1 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 또는 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =x^3-3x^2+3x-1$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =x^3-3x^2+3x-1$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,\infty)$

임계점: $c=1$ ;

$(-\infty,\infty)$ 에서 증가;

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,\infty)$

c.p. at $c=1$ ;

increasing on $(-\infty,\infty)$ ;

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 48번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

563.APEX · 3.3절 · 19번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있습니다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 첫 번째 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값인지, 극솟값인지, 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =\frac{1}{x^2-2x+2}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =\frac{1}{x^2-2x+2}$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,\infty)$

임계점: $c=1$ ;

$(1,\infty)$ 에서 감소

$(-\infty,1)$ 에서 증가;

$x=1$ 에서 극댓값.

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,\infty)$

c.p. at $c=1$ ;

decreasing on $(1,\infty)$

increasing on $(-\infty,1)$ ;

rel. max at $x=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 8번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

564.APEX · 3.3절 · 20번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 또는 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x^2-1}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x^2-1}$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$

임계점: $c=0$ ;

$(-\infty,-1)$ 과 $(-1,0)$ 에서 감소;

$(0,1)$ 과 $(1,\infty)$ 에서 증가;

$x=0$ 에서 극솟값;

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$

c.p. at $c=0$ ;

decreasing on $(-\infty,-1)$ and $(-1,0)$ ;

increasing on $(0,1)$ and $(1,\infty)$ ;

rel. min at $x=0$ ;

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 16번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

565.APEX · 3.3절 · 21번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있습니다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값인지, 극솟값인지, 아니면 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =\frac{x}{x^2-2x-8}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =\frac{x}{x^2-2x-8}$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,-2)\cup(-2,4)\cup(4,\infty)$

임계점 없음;

정의역 전체에서 감소, 즉 $(-\infty,-2)$ , $(-2,4)$ , $(4,\infty)$ 에서 감소

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,-2)\cup(-2,4)\cup(4,\infty)$

no c.p.;

decreasing on entire domain, $(-\infty,-2)$ , $(-2,4)$ and $(4,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 3번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

566.APEX · 3.3절 · 22번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 그려서 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값인지, 극솟값인지, 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =\frac{(x-2)^{2/3}}{x}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =\frac{(x-2)^{2/3}}{x}$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ ;

임계점은 $c=2,6$ ;

$(-\infty,0)$ , $(0,2)$ , $(6,\infty)$ 에서 감소;

$(2,6)$ 에서 증가;

$x=2$ 에서 극소; $x=6$ 에서 극대.

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ ;

c.p. at $c=2,6$ ;

decreasing on $(-\infty,0)$ , $(0,2)$ and $(6,\infty)$ ;

increasing on $(2,6)$ ;

rel. min at $x=2$ ; rel. max at $x=6$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 22번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

567.APEX · 3.3절 · 23번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있습니다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극대인지, 극소인지, 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =\sin x\cos x$ , 구간은 $(-\pi,\pi)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =\sin x\cos x$ on $(-\pi,\pi)$ .

정답·풀이 보기

정의역 $(-\infty,\infty)$

임계점: $c=-3\pi/4,-\pi/4,\pi/4,3\pi/4$ ;

$(-3\pi/4,-\pi/4)$ 와 $(\pi/4,3\pi/4)$ 에서 감소;

$(-\pi,-3\pi/4)$ , $(-\pi/4,\pi/4)$ 와 $(3\pi/4,\pi)$ 에서 증가;

$x=-\pi/4,3\pi/4$ 에서 극소;

$x=-3\pi/4,\pi/4$ 에서 극대.

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,\infty)$

c.p. at $c=-3\pi/4,-\pi/4,\pi/4,3\pi/4$ ;

decreasing on $(-3\pi/4,-\pi/4)$ and $(\pi/4,3\pi/4)$ ;

increasing on $(-\pi,-3\pi/4)$ , $(-\pi/4,\pi/4)$ and $(3\pi/4,\pi)$ ;

rel. min at $x=-\pi/4,3\pi/4$ ;

rel. max at $x=-3\pi/4,\pi/4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 1번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

568.APEX · 3.3절 · 24번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있습니다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 1계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점에서 극대인지, 극소인지, 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =x^5-5x$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =x^5-5x$

정답·풀이 보기

정의역 = $(-\infty,\infty)$ ;

임계점: $c=-1,1$ ;

$(-1,1)$ 에서 감소;

$(-\infty,-1)$ 과 $(1,\infty)$ 에서 증가;

$x=1$ 에서 극소;

$x=-1$ 에서 극대

원본 교재 풀이(영어)

domain = $(-\infty,\infty)$ ;

c.p. at $c=-1,1$ ;

decreasing on $(-1,1)$ ;

increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$ ;

rel. min at $x=1$ ;

rel. max at $x=-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 38번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

569.APEX · 3.5절 · 1번우리말 번역

기술이 어디에나 있는데도 손으로 곡선을 그리는 것이 유익한 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why is sketching curves by hand beneficial even though technology is ubiquitous?

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 2번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

570.APEX · 3.5절 · 2번우리말 번역

“편재하는”은 무슨 뜻인가요?

영어 원문 보기

What does “ubiquitous” mean?

정답·풀이 보기

어디에서나 발견된다.

원본 교재 풀이(영어)

Found everywhere.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 3번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

571.APEX · 3.5절 · 3번우리말 번역

참/거짓: 함수의 그래프를 그릴 때 임계점을 찾는 것은 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching graphs of functions, it is useful to find the critical points.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 31번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

572.APEX · 3.5절 · 4번우리말 번역

참/거짓: 함수의 그래프를 그릴 때 변곡점이 될 수 있는 점을 찾는 것은 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching graphs of functions, it is useful to find the possible points of inflection.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 5번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

573.APEX · 3.5절 · 5번우리말 번역

참/거짓: 함수의 그래프를 그릴 때 수평 점근선과 수직 점근선을 찾는 것은 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching graphs of functions, it is useful to find the horizontal and vertical asymptotes.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.4절 · 6번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

574.APEX · 3.5절 · 6번우리말 번역

참/거짓: 함수의 그래프를 그릴 때, 점을 전혀 찍지 않아도 된다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching graphs of functions, one need not plot any points at all.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 2번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인자동 분류

575.APEX · 3.5절 · 27번우리말 번역

연습문제 27–30에서 매개변수 $a$ , $b$ 를 포함한 함수가 주어져 있다. $a$ 와 $b$ 에 대한 식으로 $f$ 의 임계점과 변곡점 후보를 설명하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{a}{x^2+b^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, a function with the parameters $a$ and $b$ are given. Describe the critical points and possible points of inflection of $f$ in terms of $a$ and $b$ .

$\displaystyle f(x) = \frac{a}{x^2+b^2}$

정답·풀이 보기

임계점: $x=0$ 변곡점: $\pm b/\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

Critical point: $x=0$ Points of inflection: $\pm b/\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 6번

# 함수의 그래프 그리기계산자동 분류

576.APEX · 3.5절 · 28번우리말 번역

연습문제 27–30에서 매개변수 $a$ , $b$ 를 포함한 함수가 주어져 있다. $a$ 와 $b$ 로 $f$ 의 임계점과 변곡점이 될 수 있는 점을 설명하세요.

$\displaystyle f(x) = ax^2+bx+1$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, a function with the parameters $a$ and $b$ are given. Describe the critical points and possible points of inflection of $f$ in terms of $a$ and $b$ .

$\displaystyle f(x) = ax^2+bx+1$

정답·풀이 보기

임계점: $x=-b/(2a)$ 변곡점 없음

원본 교재 풀이(영어)

Critical point: $x=-b/(2a)$ No points of inflection

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.5절 · 31번

# 함수의 그래프 그리기계산자동 분류

577.APEX · 3.5절 · 29번우리말 번역

연습문제 27–30에서 매개변수 $a$ , $b$ 를 포함한 함수가 주어져 있다. $a$ 와 $b$ 로 $f$ 의 임계점과 변곡점이 될 수 있는 점을 설명하세요.

$\displaystyle f(x) = \sin (ax+b)$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, a function with the parameters $a$ and $b$ are given. Describe the critical points and possible points of inflection of $f$ in terms of $a$ and $b$ .

$\displaystyle f(x) = \sin (ax+b)$

정답·풀이 보기

임계점: $x=\frac{n\pi/2-b}{a}$ , 여기서 $n$ 은 홀수인 정수이다 변곡점: $(n\pi-b)/a$ , 여기서 $n$ 은 정수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Critical points: $x=\frac{n\pi/2-b}{a}$ , where $n$ is an odd integer Points of inflection: $(n\pi-b)/a$ , where $n$ is an integer.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 5번

# 함수의 그래프 그리기계산자동 분류

578.APEX · 3.5절 · 30번우리말 번역

연습문제 27–30에서 매개변수 $a$ , $b$ 를 포함한 함수가 주어져 있다. $a$ 와 $b$ 로 $f$ 의 임계점과 변곡점이 될 수 있는 점을 설명하세요.

$\displaystyle f(x) = (x-a)(x-b)$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, a function with the parameters $a$ and $b$ are given. Describe the critical points and possible points of inflection of $f$ in terms of $a$ and $b$ .

$\displaystyle f(x) = (x-a)(x-b)$

정답·풀이 보기

임계점: $x=(a+b)/2$ 변곡점: 없음

원본 교재 풀이(영어)

Critical point: $x=(a+b)/2$ Points of inflection: none

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 5번

# 함수의 그래프 그리기계산자동 분류

579.APEX · 3.5절 · 31번우리말 번역

$x^2+y^2=1$ 이 주어졌을 때, 음함수 미분을 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 와 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 을 구하세요. 이 결과를 이용하여 단위원의 그래프 개형이 타당함을 설명하세요.

영어 원문 보기

Given $x^2+y^2=1$ , use implicit differentiation to find $\frac{dy}{dx}$ and $\frac{d^2y}{dx^2}$ . Use this information to justify the sketch of the unit circle.

정답·풀이 보기

$\frac{dy}{dx} = -x/y$ 이므로 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 증가하고, 제1사분면과 제3사분면에서 감소한다.

$\frac{d^2y}{dx^2} = -1/y - x^2/y^3$ 이고, 이 값은 $y<0$ 일 때 양수이고 $y>0$ 일 때 음수이다. 따라서 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 위로 볼록하고, 제3사분면과 제4사분면에서 아래로 볼록하다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx} = -x/y$ , so the function is increasing in second and fourth quadrants, decreasing in the first and third quadrants.

$\frac{d^2y}{dx^2} = -1/y - x^2/y^3$ , which is positive when $y<0$ and is negative when $y>0$ . Hence the function is concave down in the first and second quadrants and concave up in the third and fourth quadrants.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 13번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술자동 분류

580.APEX · 4.3절 · 1번우리말 번역

참/거짓: "최적화 문제"는 본질적으로 "이야기 문제" 형태로 나타낸 "극값" 문제이다.

영어 원문 보기

T/F: An “optimization problem” is essentially an “extreme values” problem in a “story problem” setting.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 16번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

미분 전체 문제