미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

81.OpenStax 1권 · 3.2절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 도함수의 정의를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x-6}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the definition of a derivative to find ${f}^{'}(x).$

$f(x)=\sqrt{x-6}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 24번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

82.OpenStax 1권 · 3.2절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 도함수의 정의를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=\frac{9}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the definition of a derivative to find ${f}^{'}(x).$

$f(x)=\frac{9}{x}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{-9}{{x}^{2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{-9}{{x}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.4절 · 11번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

83.OpenStax 1권 · 3.2절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 도함수의 정의를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x+\frac{1}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the definition of a derivative to find ${f}^{'}(x).$

$f(x)=x+\frac{1}{x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 13번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

84.OpenStax 1권 · 3.2절 · 10번우리말 번역

다음 문제에서 도함수의 정의를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the definition of a derivative to find ${f}^{'}(x).$

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{-1}{2{x}^{3/2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{-1}{2{x}^{3/2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 26번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

85.OpenStax 1권 · 3.2절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 그 도함수 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

함수 f(x)는 (−2, 20)에서 시작하여 감소하면서 원점을 지나고, 대략 (0.5, −1)에서 극솟값을 갖는다. 그 후 증가하여 (1, 0)을 지나고 (2.25, 2)에서 극댓값을 갖는다. 이어서 다시 감소하여 (3, 0)을 지나 (4, −20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−2, 20) and decreases to pass through the origin and achieve a local minimum at roughly (0.5, −1). Then, it increases and passes through (1, 0) and achieves a local maximum at (2.25, 2) before decreasing again through (3, 0) to (4, −20).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 30번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

86.OpenStax 1권 · 3.2절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 그 도함수 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

함수 f(x)는 (−2.25, −20)에서 시작하여 빠르게 증가하면서 (−2, 0)을 지나고, (−1.4, 8)에서 극댓값을 갖는다. 그 후 함수는 감소하여 원점에 이른다. 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로, 원점에서 증가하여 (1.4, 8)에 이르고, 다시 감소하면서 (2, 0)을 지나 계속 내려가 (2.25, −20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−2.25, −20) and increases rapidly to pass through (−2, 0) before achieving a local maximum at (−1.4, 8). Then the function decreases to the origin. The graph is symmetric about the y-axis, so the graph increases to (1.4, 8) before decreasing through (2, 0) and heading on down to (2.25, −20).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 11번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

87.OpenStax 1권 · 3.2절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 그 도함수 ${f}^{'}(x)$ 의 그래프를 그리세요.

함수 f(x)는 (−3, −1)에서 시작하여 증가하면서 (−1.5, 0)을 지나고, (1, 0)에서 극솟값을 갖는다. 그 후 감소하면서 (1.5, 0)을 지나 계속 감소하여 (3, −1)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−3, −1) and increases to pass through (−1.5, 0) and achieve a local minimum at (1, 0). Then, it decreases and passes through (1.5, 0) and continues decreasing to (3, −1).

정답·풀이 보기

함수는 (−3, 0)에서 시작하여 증가하다가 (−1.5, 1)에서 최댓값을 갖고, 감소하면서 원점을 지나 (1.5, −1)에서 최솟값을 가진 다음, 다시 증가하여 x = 3에서 x축에 이른다.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts at (−3, 0), increases to a maximum at (−1.5, 1), decreases through the origin and to a minimum at (1.5, −1), and then increases to the x axis at x = 3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 22번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

88.OpenStax 1권 · 3.2절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 극한은 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 와 $a$ 를 구하세요.

$\lim_{h\to 0}\frac{{(1+h)}^{2/3}-1}{h}$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function $y=f(x)$ at $x=a.$ Find $f(x)$ and $a.$

$\lim_{h\to 0}\frac{{(1+h)}^{2/3}-1}{h}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 8번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

89.OpenStax 1권 · 3.2절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 극한은 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 와 $a$ 를 구하세요.

$\lim_{h\to 0}\frac{[3{(2+h)}^{2}+2]-14}{h}$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function $y=f(x)$ at $x=a.$ Find $f(x)$ and $a.$

$\lim_{h\to 0}\frac{[3{(2+h)}^{2}+2]-14}{h}$

정답·풀이 보기

$f(x)=3{x}^{2}+2,a=2$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)=3{x}^{2}+2,a=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 24번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

90.OpenStax 1권 · 3.2절 · 17번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 극한은 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 와 $a$ 를 구하세요.

$\lim_{h\to 0}\frac{\cos (\pi +h)+1}{h}$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function $y=f(x)$ at $x=a.$ Find $f(x)$ and $a.$

$\lim_{h\to 0}\frac{\cos (\pi +h)+1}{h}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 20번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

91.OpenStax 1권 · 3.2절 · 18번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 극한은 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 와 $a$ 를 구하세요.

$\lim_{h\to 0}\frac{{(2+h)}^{4}-16}{h}$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function $y=f(x)$ at $x=a.$ Find $f(x)$ and $a.$

$\lim_{h\to 0}\frac{{(2+h)}^{4}-16}{h}$

정답·풀이 보기

$f(x)={x}^{4},a=2$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)={x}^{4},a=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 10번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

92.OpenStax 1권 · 3.2절 · 19번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 극한은 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 와 $a$ 를 구하세요.

$\lim_{h\to 0}\frac{[2{(3+h)}^{2}-(3+h)]-15}{h}$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function $y=f(x)$ at $x=a.$ Find $f(x)$ and $a.$

$\lim_{h\to 0}\frac{[2{(3+h)}^{2}-(3+h)]-15}{h}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 4번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

93.OpenStax 1권 · 3.2절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극한은 $x=a$ 에서 함수 $y=f(x)$ 의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 와 $a$ 를 구하세요.

$\lim_{h\to 0}\frac{{e}^{h}-1}{h}$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function $y=f(x)$ at $x=a.$ Find $f(x)$ and $a.$

$\lim_{h\to 0}\frac{{e}^{h}-1}{h}$

정답·풀이 보기

$f(x)={e}^{x},a=0$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)={e}^{x},a=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 4번

# 도함수의 뜻계산자동 분류

94.OpenStax 1권 · 3.2절 · 21번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 $x=1$ 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x},0\le x\le 1 \\ 3x-1,x>1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x=1.$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x},0\le x\le 1 \\ 3x-1,x>1\end{array}\right.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 24번

# 도함수의 뜻증명·논술자동 분류

95.OpenStax 1권 · 3.2절 · 22번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 $x=1$ 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3,x<1 \\ 3x,x\ge 1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x=1.$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3,x<1 \\ 3x,x\ge 1\end{array}\right.$

정답·풀이 보기

a.

함수는 점 (1, 3)에 이르기까지 y = 3인 직선이고, 그 점부터는 기울기가 3인 직선으로 증가한다.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{3-3}{h}=0$ $\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3(1+h)-3(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3h}{h}=3$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 이므로 $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

The function is linear at y = 3 until it reaches (1, 3), at which point it increases as a line with slope 3.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{3-3}{h}=0$ $\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3(1+h)-3(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3h}{h}=3$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ , so $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 2번

# 도함수의 뜻증명·논술자동 분류

96.OpenStax 1권 · 3.2절 · 23번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 $x=1$ 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+2,x\le 1 \\ x,x>1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x=1.$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+2,x\le 1 \\ x,x>1\end{array}\right.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 6번

# 도함수의 뜻증명·논술자동 분류

97.OpenStax 1권 · 3.2절 · 24번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 $x=1$ 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x,x\le 1 \\ \frac{2}{x},x>1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x=1.$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x,x\le 1 \\ \frac{2}{x},x>1\end{array}\right.$

정답·풀이 보기

a.

함수는 제3사분면에서 직선으로 시작하여 기울기 2로 원점을 지나고, 이어서 (1, 2)에서부터는 2/x를 따라 아래로 볼록하게 감소한다.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2(1+h)-2}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2h}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}2=2$ $\begin{array}{cc}\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2}{1+h}-\frac{2}{1}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2-2(1+h)}{1+h}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2h}{h(1+h)} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2}{1+h} \\ & =-2\end{array}$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 이므로 $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

The function starts in the third quadrant as a straight line and passes through the origin with slope 2; then at (1, 2) it decreases convexly as 2/x.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2(1+h)-2}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2h}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}2=2$ $\begin{array}{cc}\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2}{1+h}-\frac{2}{1}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2-2(1+h)}{1+h}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2h}{h(1+h)} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2}{1+h} \\ & =-2\end{array}$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ , so $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 1번

# 도함수의 뜻증명·논술자동 분류

98.OpenStax 1권 · 3.2절 · 25번우리말 번역

다음 그래프에 대해,

a. $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하지만 $f$ 가 $x=a$ 에서 연속이 아닌 $x=a$ 의 값을 모두 구하세요. b. 함수가 $x=a$ 에서 연속이지만 미분가능하지 않은 $x=a$ 의 값을 모두 구하세요.

함수는 (−6, 2)에서 시작하여 증가해 (−5.3, 4)에서 최댓값을 가진 뒤, (−4, 3)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (−4, −2)에서 다시 시작하여 (−2.25, 0)을 지나며 천천히 증가하고, (−1, 4)를 지나 (−0.1, 5.3)에서 극댓값을 가진 뒤 감소하여 (2, −1)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (2, 5)에서 다시 시작하여 (2.6, 6)까지 증가한 뒤 (4.5, −3)까지 감소하며, (4, 2)에서 불연속이 있다.

영어 원문 보기

For the following graphs,

a. determine for which values of $x=a$ the $\lim_{x\to a}f(x)$ exists but $f$ is not continuous at $x=a,$ and b. determine for which values of $x=a$ the function is continuous but not differentiable at $x=a.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 2번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

99.OpenStax 1권 · 3.2절 · 26번우리말 번역

다음 그래프에 대해,

a. $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하지만 $f$ 가 $x=a$ 에서 연속이 아닌 $x=a$ 의 값을 모두 구하세요. b. 함수가 $x=a$ 에서 연속이지만 미분가능하지 않은 $x=a$ 의 값을 모두 구하세요.

함수는 (−3, −1)에서 시작하여 증가해 극댓값을 가지는 (−1, 3)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (−1, 1)에서 다시 시작하여 빠르게 증가해 극댓값을 가지는 (0, 4)에서 끝나며 이 점을 포함한다. 그다음 (0, 3)에서 다시 시작하여 (1, 1)까지 직선으로 감소하는데, 이 점에서 불연속이 있고 x = 1 에서 이 함수의 값은 2이다. 함수는 (1, 1)에서 이어져 (2, 3.5)까지 직선으로 증가한 뒤 (3, 2)까지 직선으로 감소한다.

영어 원문 보기

For the following graphs,

a. determine for which values of $x=a$ the $\lim_{x\to a}f(x)$ exists but $f$ is not continuous at $x=a,$ and b. determine for which values of $x=a$ the function is continuous but not differentiable at $x=a.$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

a. $x=1,$ b. $x=2$

원본 교재 풀이(영어)

a. $x=1,$ b. $x=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 16번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

100.OpenStax 1권 · 3.2절 · 27번우리말 번역

주어진 $f(x)$ 의 그래프를 이용하여 a. ${f}^{'}(-0.5),$ b. ${f}^{'}(0),$ c. ${f}^{'}(1),$ d. ${f}^{'}(2),$ e. ${f}^{'}(3)$ 이 존재하면 그 값을 구하세요.

함수는 (−3, 0)에서 시작하여 (0, 3)에서 극댓값을 가질 때까지 직선으로 증가한다. 그다음 (2, 1)까지 직선으로 감소하고, 이 점에서부터 (4, 5)까지 직선으로 증가한다.

영어 원문 보기

Use the graph of $f(x)$ shown to evaluate a. ${f}^{'}(-0.5),$ b. ${f}^{'}(0),$ c. ${f}^{'}(1),$ d. ${f}^{'}(2),$ and e. ${f}^{'}(3),$ if it exists.

The function starts at (−3, 0) and increases linearly to a local maximum at (0, 3). Then it decreases linearly to (2, 1), at which point it increases linearly to (4, 5).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.4절 · 11번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석자동 분류

미분 전체 문제